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2015-2016学年高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修4


第一章
三角函数

第一章 1.6 三角函数模型的简单应用

1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接
1.函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图象与性质 (1)图象的画法:“五点法”和变换法.

π 2kπ+2-φ -A+b,A+b]. 当 x=_______________( (3)值域:[ ________________ k∈Z) ω π 2kπ-2-φ 时,y 取最大值 A+b;当 x=____________________( k∈Z)时, ω
y 取最小值-A+b.

R (2)定义域:___.

2π (4)周期:T=______. ω

(5)奇偶性: 当且仅当 φ=kπ(k∈Z)时, 函数 y=Asin(ωx+φ) π 奇 是____函数; 当且仅当 φ=kπ+2(k∈Z)时, 函数 y=Asin(ωx+φ)
偶 函数. 是_____

(6)单调性:单调递增区间是 π π ? ? 2 k π - - φ 2 k π + - φ ? ? 2 2 ? ? , ______________________________( k∈Z); ω ω ? ? π 3π ? ? ?2kπ+2-φ 2kπ+ 2 -φ? ? ? , ω ω 单递调减区间是_____________________________( k∈Z). ? ? x 轴的交点是对称中心,即对称 (7)对称性:函数图象与____ ?kπ-φ ? ? ? 纵 坐标是函数 中心是? ,对称轴与函数图象的交点的___ , 0 ? ? ω ? π kπ+2-φ 的最值,即对称轴是直线 x= ,其中 k∈Z. ω

(8)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,相邻的两
个对称中心或两条对称轴相距 ___半 个周期;相邻的一个对称中 心和一条对称轴相距周期的_______________ 四分之一. ?π π? 2.y=7sin?6x+6?的周期与最大值分别是( ? ?
A.12π,7 C.12,7 B.12π,-7 D.12,-7

)

[答案]

C

3.函数

? 4π? f(x)=sin?x+ 3 ?的一条对称轴方程为( ? ?

)

π A.x=-3 π C.x=2

π B.x=6 2π D.x= 3

[答案] B

π 4.f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,|φ|<2)的图象如图所示, 则 f(x)的解析式是________.

[答案]

? π? f(x)=2sin?πx+6? ? ?

[解析] 由图象得 A=2,周期 2π 则 ω =2,解得 ω=π. 则有 则 则

?5 1? T=4?6-3?=2, ? ?

?1 ? f(x)=2sin(πx+φ),函数图象经过点?3,2?, ? ? ?π ? 2=2sin?3+φ?, ? ?

?1? f?3?=2,即 ? ?

?π ? sin?3+φ?=1, ? ?

π π 又|φ|<2,则 φ=6.

5.将函数 y=sinx 的图象上每个点的纵坐标不变,横坐标 1 缩短为原来的2后,将图象沿 y 轴正方向平移 2 个单位,再沿 x π 轴正方向平移6个单位,得到的函数是( π A.y=sin(2x-3)+2 C.y=sin2x+2 )

π B.y=sin(2x+3)+2 π D.y=sin(2x-6)+2

[答案] A

? π? 1 6 . 函 数 y = 2 sin ?2x-6? 的 振 幅 是 ________ , 周 期 是 ? ?

________,初相为________,对称轴是直线________,对称中 心为________,单调增区间是________.

[答案]

1 2

π π -6

π kπ x=3+ 2 (k∈Z)
? π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z) 3 ? 6 ?

?π ? kπ ? + ,0?(k∈Z) 2 ?12 ?

●自主预习
建立三角函数模型解决实际问题 我们知道, 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题,得出关于实际 问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概 括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一 般数学方法.

建立数学模型解决实际问题的一般步骤: (1)审题 :逐字逐句的阅读题意,审清题目条件、要求,理 .. 解数量关系; (2)建模 :分析题目变化趋势,选择适当函数模型; .. (3) 求解 :对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结 .. 论;

(4)还原 :把数学结论还原为实际问题的解答. .. 如果某种现象的变化具有周期性,根据三角函数的性质, 我们可以根据这一现象的特征和条件,利用三角函数知识建立 数学模型,从而把这一具体现象转化为一个特定的数学模型 ——三角函数模型. .......

●预习自测
1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开 平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 π 式为 s=6sin(2πt+6), 那么单摆来回摆动一次 所需的时间为( A.2π s C.0.5 s ) B.π s D.1 s

[答案] D

[解析] 本题已给出了单摆离开平衡位置 O 的距离 s cm 和 时间 t s 的函数关系式, 单摆来回摆一次所需的时间即为此函数 2π 的一个周期.即 ω=2π,所以 T= ω =1.

2.如图所表示的是电流 I 与时间 t 的函 π 数关系 I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<2)在一个 周期内的图象. (1)根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解 析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中的 t 在任意一段100s 的时间内 电流 I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 ω 的最小值为 多少?

[分析] 对于第(1)小题, 根据最值求出 A, 根据周期求出 ω, 1 根据与 x 轴的交点求出 φ;第(2)小题抓住“任意一段100s”等 关键词.
1 [解析] (1)由图知 A=300,与 x 轴的第一个交点为(-300, 1 0),与 x 轴的第二个交点为(150,0), 1 1 1 T 1 ∴2=150-(-300)=100,即 T=50, 2π 2π ∴ω= T = 1 =100π.∴I=300sin(100πt+φ). 50

1 将点(-300,0)代入,得 1 π 300sin(-300×100π+φ)=0,解得 φ=3. π ∴I=300sin(100πt+3). 1 2π 1 (2)依题意,有 T≤100,即 ω ≤100,∴ω≥200π. ∵ω 为正整数,∴ωmin=629.

[点评] 体会数形结合的思想方法在本题的应用.

高效课堂

●互动探究 三角函数模型的应用
如图为一半径为 3 m 的水轮, 水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮自点 B 开始 1 min 旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面 距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系式 y= Asin(ωx+φ)+2,则有( 2π A.ω=15,A=3 2π C.ω=15,A=5 ) 15 B.ω=2π,A=3 15 D.ω=2π,A=5

1 [解析] 由 1 min 旋转 4 圈,则转 1 圈的时间为 T=4 min 1 2π 2π =4×60=15(s),则 ω= T =15.又由图可知,A=3.

[答案] A

[规律总结]

1.解决与三角函数模型相关问题,关键是将

实际问题转化为三角函数模型. 2 .三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动 中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其

要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示
方法.

如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时 针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角 速度为 1, 那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 的函数图象大致为( ) t

[答案] C

π [解析] ∵P0( 2, 2),∴∠P0Ox=4. π 按逆时针转时间 t 后得∠POP0=t,∠POx=t-4. π 此时 P 点纵坐标为 2sin(t-4), π ∵d=2|sin(t-4)|. π 当 t=0 时,d= 2,排除 A、D;当 t=4时,d=0,排除 B.

由实际数据求函数解析式 已 知 某 海 滨 浴 场 的 海 浪 高 度 y( 米 ) 是 时 间 t(0≤t≤24 ,单位:小时 ) 的函数,记作: y = f(t) .下表是某日各

时的浪高数据: t(时)
y(米)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt
+b. (1) 根据以上数据,求出函数 y = Acosωt + b 的最小正周期 T,振幅A及函数表达式; (2) 根据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开

放,请依据 (1) 的结论,判断一天的上午 8?00时至晚上 20?00
时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? [探究] 本题以实际问题引入,注意通过表格提供的数据

来抓住图形的特征.

[解析] (1)由表中数据,知周期 T=12, 2π π ∴ω= T =6. 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 又由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 ∴A=0.5,b=1.0,即振幅为2. 1 π ∴y=2cos6t+1.

(2)由题意知,当 y>1 时才对冲浪者开放, 1 π π ∴2cos6t+1>1,∴cos6t>0, π π π ∴2kπ-2<6t<2kπ+2, 即 12k-3<t<12k+3. ∵0≤t≤24,∴令 k 分别为 0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24, ∴在规定时间上午 8?00 时至晚上 20?00 时之间有 6 个小 时可供冲浪者进行活动,即上午 9?00 至下午 15?00.

[规律总结]

处理此类问题时,先要根据图表或数据正确

地画出简图,然后运用数形结合思想求出问题中的关键量,如

周期、振幅等.

以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商
店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元的基础上按 月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元, 7 月 份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在 8元基 础上按月份也是随正弦曲线波动的,并已知 5 月份销售价最高 为10元,9月份销售价最低为6元.请分别建立出厂价、销售价 随时间变化的函数关系式.

[解析] 设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1).由题 π 3π π 意,知 A=2,T1=8,ω1=4.当 x=3 时, 4 +φ1=2,∴φ1=- π π π 4,∴出厂价的函数关系为 y1=6+2sin(4x-4).设销售价波动 函数为 y2=8+Bsin(ω2x+φ2).由题意,知 B=2,T2=8,ω2= π 5π π 3π 4.当 x=5 时,有 4 +φ2=2,∴φ2=- 4 ,∴销售价的函数关系 π 3π 为 y2=8+2sin(4x- 4 ).

●探索延拓 函数解析式的实际应用
在波士顿, 估计某一天的白昼时间的小时数 D(t) 2π 的表达式是 D(t)=3sin[365(t-79)]+12,其中 t 表示某天的序 号,t=0 表示 1 月 1 日,以此类推. (1)问哪一天白昼最长?哪一天最短? (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时?

[探究] 抓住关键词,列出等式或不等式即可.

[解析]

(1)白昼时间最长的一天,即 D(t)取得最大值的一

天,此时 t=170,对应的是 6 月 20 日(闰年除外),类似地,t =353 时,D(t)取得最小值,即 12 月 20 日白昼最短. 2π (2)D(t)>10.5,即 3sin[365(t-79)]+12>10.5, 2π 1 ∴sin[365(t-79)]>-2,t∈[0,365], ∴49<t<292,292-49=243. 所以约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时. [规律总结] 利用解析式来研究相关问题,只需将具体的

值代入验算即可.

某地昆虫种群数量在七月份 1~ 13 日的变化如图所示,且
满足y=Asin(x+φ)+b(ω>0,φ>0).

(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷 或一个高峰?
[解析] (1)由图象可知 ymax=900,ymin=700, 且 A+b=ymax,-A+b=ymin, ymax+ymin 900-700 ∴A= = =100, 2 2 ymax+ymin b= =800, 2 2π π 且 T=12= ω ,所以 ω=6,

π π 将(7,900)看作函数的第二个特殊点应用6×7+φ=2. 2 ∴φ=-3π. 因此所求的函数解析式为: π 2π y=100sin(6x- 3 )+800.

(2) 由图可知,每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高 T 12 峰,又2 = 2 =6.∴从 7 月 1 日开始,每隔 6 天,种群数量就出 现一个低谷或一个高峰.

●误区警示
易错点 不能正确认识简谐运动的过程而导致错误
弹簧振子以点 O 为平衡位置,在 B、C 两点间 做简谐运动,B、C 两点相距 20 cm,某时刻振子处在 B 点,经 0.5 秒振子首先到达 C 点.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在 5 秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的 大小.

[错解] (1)因为 B、C 相距 20 cm,所以振幅 A=20cm. 因为振子从 B 点经 0.5 秒首次达到 C 点,所以周期 T=0.5 1 s,频率 f=T=2 Hz. (2)5 秒内的路程=位移=5A=100 cm.

[ 错因分析 ]

实际问题中,变量常常有一定的范围,因

此,在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围.

[ 思路分析 ]

振子以 O 为平衡位置,在 B 、 C 间做简谐运

动,B、C相距20 cm,说明振子离开平衡位置的最大值和最小 值点相距20 cm,即振幅的2倍等于20 cm;振子从B点经0.5秒首

次到达C点,再返回B点才是一个周期,因此,应有=0.5 s;路
程与位移有区别,路程只有大小,位移不仅有大小,还有方 向.

[正解] (1)设振幅为 A,则 2A=20 cm,A=10 cm. T 设周期为 T,则2 =0.5,T=1 s,f=1 Hz. (2)振子在 1 个周期内通过的距离为 4A,故在 t=5 s=5T 内,距离为 s=5×4A=20A=20×10=200(cm)=2(m). 5 秒末物体处在 B 点, 所以它相对平衡位置的位移为 10 cm.

交流电的电压 E(单位: 伏)与时间 t(单位: 秒)的关系可用 E π =220 3sin(100πt+6)来表示,求: (1)开始时电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.

[解析] (1)当 t=0 时,E=110 3(伏), 即开始时的电压为 110 3伏. 2π 1 (2)T=100π=50(秒),即时间间隔为 0.02 秒. (3)电压的最大值为 220 3伏, π π 1 当 100πt+6=2,即 t=300秒时第一次取得最大值.

当堂检测

1 .下图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )

A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

[答案] D

[解析]

该质点的振动周期为T=2(0.7-0.3)=0.8(s),故A

是错误的;该质点的振幅为5 cm,故B是错误的;该质点在0.1

s和0.5 s时的振动速度是零,故C是错误的.故选D.

2.如图,设点 A 是单位圆上的一定 点,运动 P 从点 A 出发在圆上按逆时针

︵ 方向旋转一周, 点 P 所旋转过的AP 的长
为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的 图象大致是( )

[答案] C

[解析]

l d 由 l=αR 可知 α=R,结合圆的几何性质可知2=

α α l l R·sin2,∴d=2Rsin2=2Rsin2R.又 R=1,∴d=2sin2,故结合 正弦函数的图象可知选 C.

2π 3.曲线 y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间[0, ω ]上截直线 y=2 及 y=-1 所得的弦长相等且不为 0,则下列对 A、a 的描 述正确的是( ) 1 3 B.a=2,A≤2 D.a=1,A≤1

1 3 A.a=2,A>2 C.a=1,A≥1

[答案] A
2+?-1? 1 [解析] 图象的上下部分的分界线为 y= =2, 得a 2 1 3 =2,且 2A>3,即 A>2.

4 .某人的血压满足函数 f(t) = 24sin(160πt) + 110 ,其中 f(t)
为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为________. [答案] 80
2π 2π 1 1 1 [解析] 由 T= ω =160π=80, 又 f=T= 1 =80, 故每分钟 80 心跳次数为 80.

5.如图某地夏天从 8~14 时用电量变 化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)这一天的最大用电量为________万 度,最小用电量为________万度; (2)这段曲线的函数解析式为________. π π [答案] (1)50 30 (2)y=10sin(6x+6)+40,x∈[8,14]

[解析] 由图知,b=40,A=10, 2π 2π π ω= T = =6 , 2· ?14-8? π ∴y=10sin(6x+φ)+40, 又 x=8 时,y=30, 4π π ∴sin( 3 +φ)=-1,∴φ=6.


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