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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题07


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.已知 a、b 是方程 log3x 3 ? log27 (3x) ? ?


4 的两个根,则 a ? b ? ____________ 3

2.已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是一个棱长为 1 的正方体,O1 是底面 A1 B1C1 D1 的中心, M 是棱 BB1 上的点, 且 S?DBM : S?O1B1M ? 2 : 3 ,则四面体 O1 ADM 的体积为_____________ 3.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球的编号互不相 同的概率为_____________ 4.使得 3n ? 81 是完全平方数的正整数 n 有_____________ 5. 设 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数, 集合 A ? {x | x 2 ? 2[ x] ? 3} ,B ? {x | 6.若数列 {an } 满足: a1 ?
2 , an ?1 ? an ? 3

1 则 A B ? _______ ? 2x ? 8} , 8

2 (an ?1 ? an ) ,则 a2013 ? _____________ 3

7.设复数 z1 ? (2 ? a) ? (1 ? b) i , z2 ? (3 ? 2a) ? (2 ? 3b) i , z3 ? (3 ? a) ? (3 ? 2b) i ,其中 a、b ? R , 当 z1 ? z2 ? z3 取得最小值时, 3a ? 4b ? _____________ 8.设 x ? (0,

?
2

) ,则函数 y ?

225 2 的最小值为_____________ ? 4sin 2 x cos x

9.对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ,存在一个正数 b ,使得 f ( x) 的定义域和值域相同,则非零实数 a 的 值为 ___________ 10.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点 P ( ?2, 0) 到其渐近线的距离为
2 6 ;若过 P 3

点作斜率为

2 的直线交双曲线于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,且 PM 是 PA 与 PB 的等比中项, 2

则双曲线的半焦距为_____________

1

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.过点 Q (?1, ? 1) 作已知直线 l : y ?

1 x2 x ? 1的平行线,交双曲线 ? y 2 ? 1 于点 M、N ; 4 4

(1)求证:点 Q 是线段 MN 的中点;
l2 ,求证:三条直线 l、l1、l2 相交于同一点; (2)分别过点 M、N 作双曲线的切线 l1、

(3)设 P 为直线 l 上一动点,过点 P 作双曲线的切线 PA 、PB ,切点分别为 A、B ;求证:点 Q 在直线 AB 上.

2

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

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12.已知数列 {an } 满足递推关系式: an ?1 ?

1 2 an ? an ? 2 , n ? 1, n ? N ; 2

3 (1)若 an ?1 ? an ,求证: (i) 当 n ? 2 时,有 an ?1 ? 2an ; (ii ) 当 n ? 1 时,有 an ?1 ? ( )n an ; 2
(2)若 a1 ? 1 ,求证:当 n ? 5 时,有 ?
1 ? n ?1. a k ?1 k
n

3

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

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13.⊙ O 分别切 ?ABC 的边 AB、BC 于点 E、C , BC 上有一点 D , DE // AC , ED、AC 分别与⊙ O 交于另两点 K、H ,延长 BK 交 AC 于点 G ,求证: AH ? CG .
A

E K B D O C

H G

14.求所有的正整数 n ,使得 n ? 36 是一个完全平方数,且除了 2 或 3 以外, n 无其它质因数.

4

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七答案
一、填空题: 1.解:原方程变形为:
log 3 3 log 3 (3 x) 1 ? log 3 x 4 1 4 ? ? ? ,即 ? ? ? ;令 1 ? log 3 x ? t , log 3 (3 x) log 3 27 3 1 ? log 3 x 3 3

1 t 4 1 1 10 则 ? ? ? ,解得 t1 ? ?1, t2 ? ?3 ;∴方程的两根分别为 和 ,所以 a ? b ? . t 3 3 81 9 81 2.解:易知 AC ? 平面 D1 B1 BD ,设 O 是底面 ABCD 的中心,则 AO ? 平面 DO1 M ;

S△DBM BM 1 BD ? BM BM 2 ? , ? ? 2? ? ,∴ B1 M 3 S△O1B1M O1 B1 ? B1 M B1 M 3
A D O B M C

1 3 故 BM ? , B1 M ? ; 4 4 于是 S?DO1M ? SD1B1BD ? S?DD1O1 ? S?O1B1M ? S?DBM

1 2 1 2 3 1 1 7 ? 1? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? 2, D1 C1 2 2 2 2 4 2 4 16 O1 1 1 7 2 7 A1 2? ? B1 ∴ VA-O1MD ? S ?DO1M ? AO ? ? . 3 3 16 2 48 4 ? 210 种,如果要求取出的球的编号互不相同, 3.解:从 10 个球中取出 4 个,不同的取法有 C10

可以先从 5 个编号中选取 4 个编号,有 C54 种选法;对于每一个编号,再选择球,有两种颜 80 8 色可供挑选,∴取出的球的编号互不相同的取法有 C54 ? 24 ? 80 种;∴概率为 . ? 210 21 4.解:当 n ? 4 时,易知 3n ? 81 不是完全平方数,故设 n ? k ? 4 ,其中 k 为正整数,
则 3n ? 81 ? 81(3k ? 1) ;∵ 3n ? 81 是完全平方数,而 81 是平方数,则一定存在正整数 x , 使得 3k ? 1 ? x 2 ,即: 3k ? x 2 ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ,∴ x ? 1, x ? 1 都是 3 的次幂; 又两个数 x ? 1, x ? 1 相差 2,∴只可能是 3 和 1,从而 x ? 2, k ? 1 ; ∴存在唯一的正整数 n ? k ? 4 ? 5 ,使得 3n ? 81 为完全平方数. 5.解:不等式

∴ ? x ? 只可能取值 ?3, ? 2, ? 1, 0, 1, 2 ;若 [ x ] ? ?2 ,则 x 2 ? 3 ? 2[ x] ? 0 ,没有实数解; 若 [ x ] ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ,解得 x ? ?1;若 [ x] ? 0 ,则 x 2 ? 3 ,没有符合条件的解;

? x 2 ? 2[ x] ? 3 1 , ? 2 x ? 8 的解为 ?3 ? x ? 3 ,∴ B ? (?3,3) ;若 x ? A B ,则 ? 8 ??3 ? x ? 3

若 [ x ] ? 1 ,则 x 2 ? 5 ,没有符合条件的解;若 [ x] ? 2 ,则 x 2 ? 7 ,有一个符合条件的解 x ? 7 . ∴ A B ? {?1, 6.解:由 an ?1 ? an ?

7} .
2 (an ?1 ? an ) ,两边平方 3(an ?1 ? an )2 ? 2(an ?1 ? an ) ,又 3(an ? an ?1 )2 ? 2(an ? an ?1 ) , 3

2 2 , an ?1 ? an ? (an ?1 ? an ) , 3 3 求得 a2 ? 2 ,又由递推关系式易知数列 {an } 是单调递增数列,∴ an ?1 ? an ?1 ? 0 ,

两式相减得 3(an ?1 ? an ?1 )(an ?1 ? 2an ? an ?1 ) ? 2(an ?1 ? an ?1 ) ,由 a1 ?

2 2 ,即 (an ?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? , 3 3 4 2 4 2 2 ∴数列 ?an ?1 ? an ? 是以 为首项, 为公差的等差数列,∴ an ?1 ? an ? ? (n ? 1) ? (n ? 1) , 3 3 3 3 3
∴ 3(an ?1 ? 2an ? an ?1 ) ? 2 ,即 an ?1 ? 2an ? an ?1 ?

5

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

2 1 1 ∴ an ? a1 ? (2 ? 3 ? ? n) ? n(n ? 1) ,∴ a2013 ? ? 2013 ? (2013 ? 1) ? 1351394 . 3 3 3 7.解:易求得 z1 ? z2 ? z3 ? 8 ? 6 i ,有 | z1 | ? | z2 | ? | z3 |?| z1 ? z2 ? z3 |? 10 , z1 ? z2 ? z3 取得最小值, 2 ? a 3 ? 2a 3 ? a 8 7 5 ? ? ? ,解得 a ? , b ? ,∴ 3a ? 4b ? 12 . 1 ? b 2 ? 3b 3 ? 2b 6 3 4 225 1 1 8.解:设 k ? 0 , y ? ? k sin 2 x ? ? ? k cos2 x ? k ? 15 k ? 3 3 k ? k ; (1) cos x cos x 4sin 2 x 15 ? 2 225 ? 225 ? 4 ? k sin 2 x sin x ? ?sin x ? 2 k 2 ? ? 15 1 ? ? ? 4k ? ?1, 当且仅当 ? 4sin x 等号成立,此时 ?? ?? 3 2 k k2 ? 1 ? k cos 2 x ?cos3 x ? 1 ?cos 2 x ? 1 3 2 ? ? cos x ? k ? ? k ?
当且仅当 设

1 6 ? t ,则 2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 0 ;而 2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 2t 4 ? t 3 ? 16t 3 ? 2 ? t 3 (2t ? 1) ? 2(2t ? 1)(4t 2 ? 2t ? 1) k 15 1 ? 1, cos 2 x ? ?1, ? (2t ? 1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2) ,∴ (2t ? 1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2) ? 0 ,注意 sin 2 x ? 3 2 k k2

1 1 1 ;当 t ? 时, k ? 6 ? 64 ,不等式 (1) 取得等号; ymin ? 15 64 ? 3 3 64 ? 64 ? 68 . 2 2 t b 9.解:若 a ? 0 ,对于正数 b , f ( x) 的定义域为 D ? (??, ? ] [0, ??) ,但 f ( x) 的值域 A ? [0, ??) , a b ∴ D ? A ,不合要求;若 a ? 0 ,对于正数 b , f ( x) 的定义域为 D ? [0, ? ] ; a b b b b b 由于此时 [ f ( x)]max ? f (? ) ? ,∴值域 A ? [0, ,∴ a ? ?4 . ] ;有 ? ? 2a a 2 ?a 2 ?a 2 ?a
易知必有 t ? 10.解:设渐近线的方程为 y ? kx ,由题设得

?2k 1? k
2

?

2 6 ,解得 k ? ? 2 , 3

双曲线的渐近线方程为: y ? ? 2 x ,∴可设双曲线的方程为 2 x 2 ? y 2 ? ? , (? ? 0) ;

2 ( x ? 2) ,代入双曲线方程消去 y , 2 8 得 3x 2 ? 4 x ? 2? ? 4 ? 0 ;当 ? ? 16 ? 12(2? ? 4) ? 0 ,即 ? ? ? 时,上述方程恰有两实根, 3 4 2 且 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? (? ? 2) ;由题可知, PM 2 ? PA ? PB ,可化为 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 4 ; 3 3 2 4 也即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4 ,即 | ? (? ? 2) ? 2 ? ? 4 |? 4 ,解得 ? ? 2 或 ? ? 14 ; 3 3 y2 x2 y 2 ∴双曲线方程为 2 x 2 ? y 2 ? 2 或 2 x2 ? y 2 ? 14 ,即 x2 ? ?1 或 ? ?1; 2 7 14 ∴双曲线的半焦距为 1 ? 2 ? 3 或 7 ? 14 ? 21 . 二、解答题 1 1 x2 11.解: (1)直线 MN 的方程为 y ? (?1) ? [ x ? (?1)] 即 y ? ( x ? 3) ,代入双曲线方程 ? y 2 ? 1 , 4 4 4 x2 是方程的两根,∴ x1 ? x2 ? ?2 , 得 3 x 2 ? 6 x ? 25 ? 0 ;设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 x1、
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ?

1 于是 y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ? 6) ? ?2 ,∴点 Q (?1, ? 1) 是线段 MN 的中点.……5 分 4

6

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

(2)双曲线

xx x2 ? y 2 ? 1 的过点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 的切线方程分别为: l1 : 1 ? y1 y ? 1 ,① 4 4 x2 x 1 l2 : ? y2 y ? 1 ;②;两式相加,并将 x1 ? x2 ? ?2 , y1 ? y2 ? ?2 代入,得 y ? x ? 1 , 4 4 l 、 l 、 l l2 的交点在直线 l : y ? 1 这说明直线 l1、 上,即三条直线 相交于同一点.… 10 分 x ? 1 1 2 4 x3 x xx ? y3 y ? 1 和 4 ? y4 y ? 1 , 4 4

(3)设 P( x0 , y0 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则 PA 、PB 的方程分别为 ∵点 P 在两条直线上,∴

x3 x0 xx ? y3 y0 ? 1 , 4 0 ? y4 y0 ? 1 , 4 4 x0 x xx 这表明点 A、B 都在直线: ? y0 y ? 1 上,即直线 AB 的方程为 0 ? y0 y ? 1 ; 4 4 x0 x0 又 y0 ? ? 1,代入整理得: ( x ? y) ? ( y ? 1) ? 0 , 4 4 显然,无论 x 0 取什么值,点 Q (?1, ? 1) 都在直线 AB 上.………………… 20 分
12.证明:因为 an ?1 ? an ?

1 2 1 an ? 2an ? 2 ? (an ? 2)2 ? 0 ,故 an ?1 ? an 即数列 {an } 为递增数列. 2 2 ( i ) a ? 6, a ? 14 (1) 易得 2 ,当 n ? 2 时 an ? 6 , an ?1 ? 2an ? 1 a2 ? 3an ? 2 ? 1 (an ? 3)2 ? 5 ?0, 3 2 n 2 2
∴当 n ? 2 时, an ?1 ? 2an ;……………………………………………… 5 分
(ii ) 由于当 n ? 2 时, an ?1 ? 2an ,∴当 n ? 2 时, an ?1 ? 2n ? 2 a2 ? 6 ? 2n ? 2 ? 3 ? 2n ?1 ;

由 an ?1 ?

a 1 2 1 2 an ? an ? 2 ,可得: n ?1 ? an ? ? 1 ; an 2 an 2

1 3 先用数学归纳法证明下面的不等式成立: an ? ( )n ? 1 ; (n ? 3) ; 2 2 1 33 1? 当 n ? 3 时, a3 ? 7 ? ( ) ? 1 ,结论成立; 2 2 1 3 2? 假设结论对 n ? k (k ? 3) 成立,即 ak ? ( )k ? 1 ,则结合 (i) 的结论可得: 2 2 1 3 k 3 k ?1 ak ?1 ? ak ? 2( ) ? 2 ? ( ) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时结论也成立; 2 2 2 1 3 根据 1? 和 2? 可知,不等式 an ? ( )n ? 1 对一切 n ? 3 都成立. 2 2 an ?1 1 2 1 3 3 ? an ? ? 1 ? an ? 1 ? ( ) n ,即 an ?1 ? ( )n an . ∴当 n ? 3 时, an 2 an 2 2 2 3 3 3 又 a2 ? 6 ? ( )1 ? a1 , a3 ? 14 ? ( )2 ? a2 ? 13.5 ,∴当 n ? 1 时,有 an ?1 ? ( )n an .… 10 分 2 2 2 (2)由于 a1 ? 1 ,而数列 {an } 为递增数列,∴当 n ? 1 时,有 an ? 1 ;
由 an ?1 ? 于是 ?
n

1 1 1 1 2 ? ,而 a1 ? 1 , an ? an ? 2 ,可得 ? an an ? 2 an ?1 ? 2 2

n 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )? ? ? ?1 . ak ?1 ? 2 a1 ? 2 an ?1 ? 2 2 ? an ?1 k ?1 ak k ?1 ak ? 2

下面先证明:当 n ? 5 时,有 an ? 2 ? n1 . (*) ?1
i ) 根据 a1 ? 1 及 an ?1 ?

1 2 3 13 217 , an ? an ? 2 ,计算可得: a1 ? , a3 ? , a4 ? 2 2 8 128 1 217 2 217 217 1 217 217 1 217 217 39 1 a5 ? ( ) ? ?2 ? 2? (1 ? ? ) ,而 (1 ? ? )? ? ? , 2 128 128 128 2 128 128 2 128 128 256 4
7

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

1 ∴ a5 ? 2 ? ,即当 n ? 5 时,结论成立. 4
ii) 假设结论对 n ? k (k ? 5) 成立,即 ak ? 2 ?

1 ; k ?1

1 3 1 3 ∵ an ?1 ? (an ? 1)2 ? ,而函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 在 x ? (1, ? ?) 时是增函数, 2 2 2 2 1 1 3 1 1 1 ? 1) 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ,即当 n ? k ? 1 时结论也成立; ∴ ak ?1 ? (2 ? 2 2 k ?1 2 k ? 1 2(k ? 1) k

1 对一切 n ? 5 都成立. n ?1 n 1 1 1 1 ? n ,∴ ? ? ? 1 ? n ? 1 .……… 20 分 ∴当 n ? 5 时, an ?1 ? 2 ? ,∴ 2 ? a a 2 ? an ?1 n k ?1 k n ?1
综合 i ) 和 ii) 可知,不等式 an ? 2 ? 13.证明:连结 KC、EH、EC , 易知四边形 EKCH 是等腰梯形, EH ? KC ; 由相似三角形及比例线段可知: CG DK S?KDC KC 2 EH 2 S?AEH AH ? ? ? ? ? ? ,证毕. 2 2 CA DE S ?EDC EC S ?AEC AC EC 14.解:设 n ? 36 ? ( x ? 6)2 ,其中 x ? N * ,则 n ? x( x ? 12) ;
O a b ? ?x ? 2 1 ? 3 1 a , a , b , b 依题意可设 ? ,其中 均为非负整数, 1 2 1 2 a2 b2 ? ? x ? 12 ? 2 ? 3 C B D 于是 2a2 ? 3b2 ? 2a1 ? 3b1 ? 12 ; (1)……………… 5 分 若 a1 ? a2 ? 0 ,则 3b2 ? 3b1 ? 12 ,这是不可能的,∴ a1 , a2 中至少有一个大于 0, K A

E

H G

于是 x 和 x ?12 均为偶数,从而 a1 , a2 均为正整数. 若 a2 ? 1 ,则 2 ? 3b2 ? 12 ? 2a1 ? 3b1 ,显然只可能 a1 ? 1 (否则左右两边被 4 除的余数不相同) , 此时 3b2 ? 6 ? 3b1 ,显然只能是 b2 ? 2, b1 ? 1 ,此时 x ? 6, n ? 108 ;…… 10 分 若 a2 ? 2 ,则 x ?12 是 4 的倍数,从而 x 也是 4 的倍数, 故 a1 ? 2 ,此时 2a2 ? 2 ? 3b2 ? 2a1 ? 2 ? 3b1 ? 3 ; (2) 显然 a1 ? 2, a2 ? 2 中至少有一个应为 0(否则(2)式左右两边奇偶性不相同) . 1)当 a2 ? 2 ? 0 ,即 a2 ? 2 时, 3b2 ? 2a1 ? 2 ? 3b1 ? 3 ; (3 ) 此时 a1 ? 2 ? 0 (否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故 b2 ? b1 ; 若 b1 ? 2 ,则(3)式左边是 9 的倍数,而右边为 3,矛盾,故只可能 b1 ? 1 ,

? a1 ? 2 ? 1 ? a1 ? 2 ? 3 ?a1 ? 3 ?a1 ? 5 从而(3)式即 3b2 ?1 ? 2 a1 ? 2 ? 1 ,它只有两组解 ? 和? 即? 和? ; ?b2 ? 1 ? 1 ?b2 ? 1 ? 2 ?b2 ? 2 ?b2 ? 3 此时,对应的 x 值分别为 24 和 96,相应的 n 值分别为 864 和 10368.………… 15 分 2)当 a1 ? 2 ? 0 ,即 a1 ? 2 时, 2a2 ? 2 ? 3b2 ? 3b1 ? 3 ; (4 ) 此时显然 a2 ? 2 ? 0 (否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故 b2 ? b1 ;
若 b2 ? 2 ,则(4)式左边是 9 的倍数,而右边是 3,无解,故 b2 ? 1 ; 若 b2 ? 0 ,则 2a2 ? 2 ? 3b1 ? 3 ,只可能 b1 ? 0 ,此时 a2 ? 4, x ? 4, n ? 64 ;

? a2 ? 2 ? 1 ?a2 ? 2 ? 2 若 b2 ? 1 ,则(4)式即 2a2 ? 2 ? 3b1 ?1 ? 1 ,它只有两组解: ? 和? ; ?b1 ? 1 ? 1 ?b1 ? 1 ? 0 ? a2 ? 3 ? a 2 ? 4 即? 和? 此时,对应的 x 值分别为 12 和 36,相应的 n 值分别为 288 和 1728, ?b1 ? 1 ?b1 ? 2
8

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题七

先做后对答案

因此,符合条件的 n 值有 6 个,分别为 64,108,288,864,1728,10368.…… 20 分

9


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