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立体几何综合应用


立体几何综合应用
1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.

CB ? CD, EC ? BD . 2.如图, 几何体 E ? ABCD 是四棱锥, △ ABD 为正三角形,

(Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BC

D ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

3.一个棱柱的直观图和三视图(正视图和俯视图是边长为 a 的正方形,侧视图是直角边长为 a 的等腰三

角形)如图所示,其中 M,N 分别是 AB,AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)求三棱锥 F-MCE 的体积; (3)当 FG=GD 时,证明 AG∥平面 FMC.

1

4.如图,多面体 ABCD—EFG 中,底面 ABCD 为正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面 ABCD,其正视图、俯视图及相关数据如
图: (1)求证:平面 AEFC⊥平面 BDG; (2)求该几何体的体积; (3)求点 C 到平面 BDG 的距离.

5.如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧 面 ABB1 A1 是圆柱 的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ; (Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比

2

6. 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° , 1 AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点。 2 (I) 证明:平面 BDC1 ⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

7.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体, 其下部是底面均是正方形, 侧面是全等的等腰梯形的四 棱台 A1B1C1D1-ABCD,一个底面与四棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米) ,每 平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

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8.如图,在几何体 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=PA=2. (1)当 AD=2 时,求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)若 PC 与 AD 所成的角为 45°,求几何体 P-ABCD 的体积.

9 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)证明:平面 PBC ? 平面 PBD (Ⅲ)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

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10.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,

?ADC ? 450 , AD ? AC ? 1

P

O 为 AC 中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 中 (Ⅰ )证明: PB //平面 ACM ; (Ⅱ )证明: AD ? 平面 PAC ;

点.
M

D O A

C

B

11 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12, AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G,得到 多面体 CDEFG. (1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 CDEFG 的体积。

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12.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端 点除外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内过点 D 作

DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是



13(2012 北京) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上 的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2。

(1) 求证:DE∥平面 A1CB; (2) 求证:A1F⊥BE; (3) 线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ? 说明理由。

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14 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 垂直,△ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45? (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线 CD 的中点段为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM // 平面 BCE?若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请 说明理由;

15 如图,在 ?ABC中,?B =

?
2

,AB ? BC ? 2, P为AB边上一动点,PD//BC 交 AC 于 点 D,现

?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA' ? 平面PBCD.
(1)当棱锥 A ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
'

(2)若点 P 为 AB 的中点, E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

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16.如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ? 1 .

AF ? 面CBF ; (1)求证:
(2)设 FC 的中点为 M,求证: OM∥面DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体分成的两个锥体的体积分别为

VF ? ABCD ,VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE 的值.

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