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2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题及解答


2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(2005-8-7) (O 水平)
1.展开式 (2-3x+4x2 )5 中 x4 的系数为 。

2. 已知数列 {an },{ 且已知 ? b1 ? 4 , ? ? bn } 满足 a1 ? 2 , = 。

?a n ?1 ? ?a n ? 2bn an n? N* , , 则m

i l n ? ? bn ?bn ?1 ? 6a n ? 6bn

3.已知:a ? 0?,?b ? 1 ,若以 a ? log8 b?,?a ? log16 b?,?a ? log64 b 为边长的三角形为直角三角 形,则 a b = 。

4 .已 知:在 ?ABC 中 ,角 A,B,C 所对 三边分 别为 a, b, c 若 tan A cot B ? 1 ? A=_______。

2 3c 则 3b

5.已知直线 l 经过抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点,且斜率 k>2。 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,

1 , 则 m 的取值范围为______. 5 3 6.设定义域为 (0, ?? ) 的单调递增函数 f ( x ) 满足对于任意 x ? (0, ??) 都有 f ( x ) ? ? , x 3 且 f [ f ( x ) ? ] ? 2 ,则 f (5) = 。 x
AB 的中点 M 到直线 Lm : 3x ? 4 y ? m ? 0(m ? ?3) 的距离为 7. 正方体八个顶点中任取 4 个不在同一平面上的顶点 A, B, C , D 组成的二面角 A ? BC ? D 的可能值有 个。

8.已知集合 M = { a ,b , c },N = { 2 ,4 ,8 ,?,220 },又 f 是集合 M 到 N 上的一 个映射,且满足[ f(b)]2 = f(a)·f(c),则这样的映射共有 9.设 f(z)=2z(cos - 4i ,则∠ABC= 个。

?
6

2? +icos ),这里 z 是复数,用 A 表示原点,B 表示 f(1+ 3 i),C 表示点 3 。

10.已知 sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 3, ? ? ? , ? ? 则 ? =___________。 ?4 ? 11.设有足够的铅笔分给 7 个小朋友,每两人得到的铅笔数不同,最少者得到 1 支,最多者 得到 12 支,则有 种不同的分法。 12 .设实数 x, y, z ? 1 ,记 M ? min{ 最大值为 。

??

?

x y z , , } ,则 M 的 y(1 ? z ? x) z (1 ? x ? y) x(1 ? y ? z )

13.集合 M = { x | x = 2n ,n ∈ N* ,且 n≤2005},已知 22005 是个 604 位数,则 M 中最高 位是 1 的元素共有 14.方程 个。
m

?k!? 2
k ?2

n

的所有正整数解组 (n, m) 为



15 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 并 设 M ? sin 2 ? f (? ) ? cos2 ? f (? ) ,

N ? f (? sin 2 ? ? ? cos2 ? ) 当 ? ?
系为____________。

k? (k ? Z ), ? , ? ? R 且 ? ? ? 时,M 与 N 的大小关 2

16. 在棱长为 a 的正方体内容纳 9 个等球, 八个角各放一个, 则这些等球最大半径是_______。 17.两个盒子中都装有黑、白两种弹子,两盒中弹子总数为 25,每次随机从每个盒子中取 出一颗弹子,两颗弹子都为黑色的概率为 正整数,则 m ? n =_______。 18 .若 n ? N, 且 2n2 ? 1, 3n2 ? 1,6n2 +1 都为完全平方数,则所有满足条件的 n 的和为 _______. 19.若 x, y, z, w ? Z ,且 x2 ? y 2 ? z 2 ? w2 ? 7 ? 42005 ,则 x ? y ? z ? w =______________. 20. 已知 f ( x) ? (sin x ? 4 sin ? ? 4) ? (cosx ? 5 cos? ) 的最小值为 g (? ) , 则 g (? ) 的最大
2 2

27 m ,都为白色的概率为 ,其中 m, n 为互质的 50 n

值为______________. 21.设 0 ? x ? 8 ,则 f ( x) ?

x( x 2 ? 8)(8 ? x) 的值域为________________. x ?1

2 22.已知 m,n 为正整数,p 为质数。若 Cm ? 1 ? Pn ,则 mnp 的最大值为__________.

23.已知

?
4

? n1 arctan

1 1 1 1 1 ? n2 arctan ? n3 arctan ? n4 arctan ? n5 arctan ,且 8 10 38 268 515

ni ? Z (i ? 1,2,?,5) ,则 (n1, n2 , n3 , n4 , n5 ) =________________.
24.函数 f ( x) ? x ? x ? 1, f
2 ( n)

( x) 定义如下: f (1) ( x) ? f ( x) , f ( n) ( x) ? f ( f ( n?1) ( x)) ,

记 rn 为 f

( n)

( x) ? 0 的所有根的算术平均值。则 r2005 ?

25.如果一个正整数 n 在三进制表示下的各位数字之和可以被 3 整除,那么我们称 n 为“好 的”则前 2005 个“好的”正整数之和为_______________.

2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题答题纸 (O 水平)(2005-08-07)
1 6 11 16 6410 2 7 12 17

?
8

1 2

3 8 13 18

4096 200 603 0

4 9 14 19

? 6
30 ?
(2,1)(3,3)(4,5)

5 10 15 20

(?3, ?2)

12 5
1270080

? 4
M>N 49

1 3
26

2 3 ?3 a 2
[0,4]

8 ? 22004 或10 ? 22004

21

22

72

23

1 2

24

(5, 2, ?1, ?2, ?1)

25

6035050

2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题 (A 水平)第一天(2005-8-7)
1、已知:锐角△ABC 中,AB=AC, P 为 BC 边延长线上一点。X 和 Y 分别为 AB、AC 边所在直线上的点,且满足 PX∥AC,PY∥AB。T 为△ABC 外接圆劣弧 BC 的中点。证明: PT ? XY 。 2、已知: a, b, c ? 0 ,且 ab ? bc ? ca ? 1。 求证: 3
1 1 1 1 ? 6b ? 3 ? 6c ? 3 ? 6a ? a b c abc

3、在边长为 1 的正 n ( n ? 3 )边形 PP 1 2
1?i ? j ? n ? 2

Pn 的内部或边界上任意放置

不同的两点 Pn?1 , Pn?2 ,试求: min PP i j 的最大值。

2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题 (A 水平)第一天 答案
X A 1、证明:(向量法)设∠BAC=θ ,BC=a,CA=b,AB=c,



AX PC YC ? ? ?k, AB BC CA

则 XY ? XA ? AY ? k AB ? (1? k ) AC ,

PT ? PB ? BT ? (1? k )CB ? BT ,
∴ XY PT

? k (1 ? k ) AB CB ? k AB BT ? (1 ? k )2 AC CB ? (1 ? k ) AC BT
? k (1 ? k )a c cos

? ??
2

? (1 ? k ) 2 a b cos

? ??
2

? k AB BT ? (1 ? k ) AC ( BC ? CT )

? k (1 ? k )ac sin

?
2

? (1 ? k ) 2 ab sin

?
2

? (1 ? k )ab sin

?
2

?0

∴XY⊥PT 1 ab ? bc ? ca bc ? 6b ? 7b ? c ? , 2、证明:∵ ? 6b ? a a a 1 ab 1 ab 同理: ? 6c ? 7c ? a ? , ? 6a ? 7 a ? b ? b c c c 1 1 1 bc ca ab ∴ ? 6b ? ? 6c ? ? 6a ? 8(a ? b ? c) ? ( ? ? ) a b c a b c
? 6(a ? b ? c) ? 3( bc ca ab (ab ? bc ? ca)2 3 ? ? )?3 ? a b c abc abc

设 f (t ) ? 3 t , 它 是 上 凸 函 数 , 由 琴 生 不 等 式 知
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) x ?x ?x ? f ( 1 2 3) 3 3

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? 3 ? 6b ? 3 ? 6c ? 3 ? 6a ? ( ? 6b) ? ( ? 6c) ? ( ? 6a) 1 b c b c ? ? a ∴? a ? 3 3 abc ? ? ? ? ? ?
∴左边 ?
3

3

3 ,又 1 ? ab ? bc ? ca ? 3 3 (abc) 2 , abc

∴左边 ?

3 3 (abc)2 3 1 ,即原不等式成立。 ? ? 3 abc abc abc

3、解:取 P1P2 和 P? n ? P? n ? 垂直平分线上两点 Pn+1、Pn+2,使得 Pn+1、
? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ?2? ? ?

Pn+2 在 n 边形内且 P1Pn+1=Pn+1Pn+2=Pn+2 P? n ? ,下对 n 分奇偶讨论.
? 2 ? ?1 ? ?

(1) 若 n 为偶数,设 n=2k,(k?N*),并设点 O 为 n 边形的中心, r=OPi(i=1,2,?,n), 则有 2rsin =1, 则 P1P2 与 Pk+1Pk+2 之间的距离为
2r sin (k ? 1)? ? n sin (k ? 1)? n , ? sin n sin (k ? 1) ? n , ? sin n
? n

1 设 Pn+1Pn+2=x,则考虑下式成立: x ? 2 x 2 ? ? 4 sin (k ? 1) ? n ,则原方程可化为 ? sin n

设t ?

4x 2 ?1 ? t ? x ,

两边平方,整理得:3x2+2tx?(t2+1)=0, 解得
x? ?2t ? 4t 2 ? 12(t 2 ? 1) 4t 2 ? 3 ? t ,即 x ? (负值舍去) , 3 6

代入 t,得
n n ?1 ?1 ? 4sin 2 2 ? ? 3sin 2 ? sin 2 ? n n n x? , ? 3sin n

此时,
4 sin 2
1?i ? j ? n ? 2

min

Pi Pj ? min {

n?2 ? n?2 ? ? 3 sin 2 ? sin ? 2n n 2n 3 sin

?

,1} ,



n

(由于当 n??时,显然相邻两顶点之间距离满足题意,所以,那时, 最大值为 1,事实上当 n ? 8 时结论为 1) 下证明①式是 PiPj 最小值中最大的 . 反证:若存在一种方法,使得 Pn+1、Pn+2 到各顶点的距离及 Pn+1Pn+2

的最小值大于 x,则以 P1,P2,?,Pn 为圆心,x 为半径,在 n 边形内作 弧,得到形内中间有一个曲边 n 边形 A1A2?An .因为 Pn+1、Pn+2 在 A1A2? An 内, 所以 Pn+1Pn+2 也在正 n 边形 A1A2?An 内,由此可得:Pn+1Pn+2<x,矛盾. 所以,当 n 为偶数时,
4 sin 2
1?i ? j ? n ? 2

min

Pi Pj ? min {

n?2 ? n?2 ? ? 3 sin 2 ? sin ? 2n n 2n 3 sin

?

,1} .

n

(2)若 n 边奇数,设 n=2k+1 (k?N*),设点 O 为 n 边形的中心,设 OP1=r,则
?P2 OPk ?1 ?
?P1OPk ? 2 k ?1 2k ? 2 ?, ? ; P2 Pk ?1 ? 2r sin 2k ? 1 2k ? 1 2k k ? ? ; P1Pk ? 2 ? 2r sin ?, 2k ? 1 2k ? 1

取 P1P2、Pk+1Pk+2 中点 M、N,则 P1Pk+2// P2Pk+1//MN// Pn+1Pn+2, MN=rsin
k ?1 k 1 ?+rsin ?,且 ?Pn+1MN=?Pn+2NM= ? . 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 2

设 Pn+1Pn+2=x,考虑下式成立:
1 1 k ?1 k ? ? x ? 2 x 2 ? cos ? ? r ? sin ? ? sin ?? 4 4k ? 2 sk ? 1 ? ? 2k ? 1

由于 2rsin

? =1,所以 r ? 2k ? 1

1

P1 Pn+1

M

P2

Pn+2 Pk+2 N Pk+1



? 2sin 2k ? 1 k ?1 k sin ? ? sin ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4x ? 1cos ?? ?x , ? 4k ? 2 2sin 2k ? 1 2k ? 1 1 2sin ? cos ? 4k ? 2 4k ? 2 ? x , 4x 2 ? 1 ? ? 1 2sin cos ? 2k ? 1 4k ? 2

,代入变为

两边平方,整理得 解得

2k ? 1 ? 4k ? 2 ? x , 4x 2 ? 1 ? 1 sin 2k ? 1 n?2 n?2 ? ? 2sin ? ? sin 2 ?? 2 2n 2n 3x ? ? ?1 ? ??0, 1 2 1 ? sin ? sin ? ? n ? n ? sin

x?

4sin 2

n?2 ? n?2 ? ? 3sin 2 ? sin ? 2n n 2n . ? 3sin n
4 sin 2 n?2 ? n?2 ? ? 3 sin 2 ? sin ? 2n n 2n 3 sin ,1}

此时,

1?i ? j ? n ? 2

min

Pi Pj ? min {

?



n

同 n 为偶数一样,可以证明②为 PiPj 最小值中的最大值, 综上所述,
4 sin 2
1?i ? j ? n ? 2

min

Pi Pj ? min {

n?2 ? n?2 ? ? 3 sin 2 ? sin ? 2n n 2n 3 sin

?

,1} .

n

2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题(2005-8-8) (A 水平)第二天
4、问:是否存在函数 f : R ? R ,满足:对所有实数 x ,有

f ( x3 ? x) ? x ? [ f ( x)]3 ? f ( x) ,
并证明你的结论。

5、求证:存在惟一的正整数列 a1, a2 , a3 ,
a1 ? 1, a2 ? 1, an?1 (an?1 ? 1) ?
3

使得

an an? 2 ? 1 (n=1,2,3,?) an an? 2 ? 1 ? 1

6、 理科实验班共 30 名学生, 每一名学生在班内均有同样多的朋友 (朋 友是相互的)。在一次考试中,任意两名学生的成绩互不相同。如 果一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友的成绩低于该学生,则 称该学生为“好学生”。 试问:“好学生”最多可能有多少个?证明你的结论。

2005 中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题 (A 水平)第二天
4.解:存在(而且唯一)。 首先:由单调性,易证映射 x→x +x 是一个双射,且为递增。下 面我们证明更一般的结论: 对于任何递增的双射 g:R→R, 函数 f:R→R
3

答案

对所有 x?R 满足:f(g(x))≤x≤g(f(x)) 的充要条件是 f=g–1。 事实上,f=g–1 显然满足这个函数不等式,(作为不等式)反之, 如果 f 满足函数不等式, 则 f ( x) ? f ( g ( g ?1 ( x))) ? g ?1 ( x) ,又因为 g 是单调 递增的双射,所以 g ?1 也单调递增,则 g ?1 ( x) ? f ( x) 。故,对所有实数 x, 都有 f=g–1。 故本题中,g(x)= x +x,所以存在函数 f(x)=g–1(x) 5.先证惟一性 设数列 ?an ? 满足题中所有条件.则
2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ?

3

ak ak ? 2
3

ak ak ? 2 ? 1 ? 1

?

( 3 ak ak ? 2 ? 1)3 ? 1
3

ak ak ? 2 ? 1 ? 1

? 3 (ak ak ? 2 ? 1) 2 ? 3 ak ak ? 2 ? 1 ? 1

将上式变形得: (ak ?1 ? 3 ak ak ? 2 ? 1)(ak ?1 ? 3 ak ak ? 2 ? 1 ? 1) ? 0

??①

并且当某 ak ?1 ? 1时, ak ?1 ? ak , ak ?1 ? 3 ak ak ?2 ? 1 ? 1 ? 0 ,则 ak ?1 ? 3 ak ak ?2 ? 1 ? 0 , 所以 ak ?2 ?
3 ak ?1 ? 1 ? ak ?1 ,于是 ak ?2 ? 1 . ak

所以式①等价于 ak ?1 ? 3 ak ak ?2 ? 1 ? 0 , 即

a3 ? ak ak ?2 ?1. k ?1
3 由a3 ? 1 ? a2 ? a4 ? 3 3 2 a3 ? 1 (1 ? a2 ) ?1 ? ? N? a2 a2

??②

? a2 2, 又a2 ? 1 ? a2 ? 2

由②知,该数列的所有项被 a1 ? 1, a2 ? 2 所惟一确定. 再证存在性 我们只需证明对满足 a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ?
3 an ?1 ? 1 (n ? N ? ) 的数列 ?an ? 中每一 an

项都是正整数即可. 事实上,先可求得 a1 ? 1, a2 ? 2 , a3 ? 9, a4 ? 365 . 对于 n ? 5 .假定 a1, a2 , , an?1 都是正整数, 而 记l ? 且
an ?
3 3 ? an 1 ? an 1 9 6 3 3 ?1 ? 1 ?2 ? 1 3 ? ( ) ? 1? ? ( an ? ? 2 ? 3an ? 2 ? 3an ? 2 ? 1 ? an ? 3 ) 3 an ? 2 an ? 2 ? an ?3 ? an ? 2 an ?3

1 9 6 3 3 3 (an ? 2 ? 3an ? 2 ? 3an ? 2 ? 1 ? an ?3 ) ,显然 l ? an ?3 ? 1是正整数, 3 an ?3

3 3 lan 1 ? an 8 5 2 8 5 2 ?3 ?3 ? an ? 3 a ? 3 a ? ? an ?2 n?2 n?2 ? 2 ? 3an ? 2 ? 3an ? 2 ? an ? 4 ? N ? an?2 an?2

3 所以 an ?2 lan ?3 .

考虑 an?2与an?3 的最大公因数
(an?2 , an?3 ) ? (
3 an 3 ?3 ? 1 , an?3 ) ? (an ?3 ? 1, an ?3 ) ? 1 an?4

从而 则

3 9 6 3 3 an ? 2 a ) n ?3 ( an ? ? 2 3 an ? ? 2 3 an ?? 2 1 ? an ?3

an 是正整数.

综上,原命题成立.

6.设共有 x 个好学生,每个学生有 k 个朋友。班上最好的学生,在 k 个“朋友对”中都是成绩好的,而其余每个“好学生”则都至少在
k k ?1 [ ] ?1 ? 个“朋友对”中是成绩好的,因此“好学生”们至少一共 2 2 ( x ? 1)( k ? 1) 在k ? 个“朋友对”中是成绩好的。这个数目不会超过这班 2

内的 “朋友对” 总数, 即

k 30k ? 15k 。 由此可得 x≤28×k+1 +1 2



另一方面, 班内比最差的 “好学生” 成绩还差的学生不多于 30 ? x 个, 因此,又有
k ?1 ? 30 ? x 2

② ③
?

①的右边是 k 的增函数,而②等价于 k ? 59 ? 2 x 59–2x 5 6 x 5 8? 0 综合①, ③可得 x≤28× +1: , 即 x2 ?9 60–2x



满足④和条件 x ? 30 的最大整数为 x ? 25 ,所以好学生的个数不超过 25。下证明可以取到 25。 将全班成绩由好到坏编号为 1, 2, ,30 ,将这些号码列成一张 6 ? 5 的 数表(如图) 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 假定某两个学生是一对朋友,只要他们的号码在表中属于如下 3 种 情况:(1)处于相邻的行,但位于不同列; (2)处于同一列,其中一者位于最下端的行中; (3)同在最上面一行中。 不难验证,上述情形均满足。故所求答案为 25。


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