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不等式证明选讲


《不等式选讲》复习建议
一、 《不等式证明选讲》考试说明具体要求如下:
(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 ①|a+b| ≤|a|+|b|,a*b≥0 时取等 ② |a-b| ≤|a-c| +|c-b| (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c、|ax+b|≥c、|x-c|+|x-b|≤a (

3) 会用不等式①和② 证明一些简单问题。 能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。 (4)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 删去 (2)了解柯西不等式的不同形式,理解他们的几何意义,并会证明。 ① 柯西不等式向量形式:|? ||? |≥|? ·? | ② (x1-x2) +(y1-y2)
2 2

+ (x2-x3) +(y2-y3)

2

2

≥ (x1-x3) +(y1-y3)

2

2

(通常称作平面三角不等式) (3)会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定 函数的极值。

二、思维总结
1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本 的方法。 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、 配方,判断过程必须详细叙述:如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式, 则考虑用判别式法证; (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提, 充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野。 2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别 式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代 换的等价性。放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从 要证的结论中考查。有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法 凡是含有 “至少” 、 “唯一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法。 证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各 种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。 3.几个重要不等式(让学生理解并记忆,能直接套用公式及其变式) ① 若 a ? R,则| a |≥0 , a2≥0. ② 若 a、b ? R,则 a2+b2≥2ab (或 a2+b2≥2| ab |≥2ab) (当且仅当 a=b 时取等号)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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③ 如果 a,b 都是正数,那么 ab ≤ 变式:x+

a+b (当且仅当 a=b 时取等号) 2

1 a b ≥2 (x>0) ; + ≥2 (ab>0,当且仅当 a=b 时取等号) x b a

1

④ a3+b3+c3≥3abc(a,b,c ? R+), ⑤

a+b+c ≥ 3 abc (当且仅当 a=b=c 时取等号) ; 3

1 (a +a +??+an)≥ n a1a2 ? a n (ai ? R+,i=1,2,?, n), 当且仅当 a1=a2=?=an 取等号; n 1 2 a+ b 2 a+b+c 3 ) (a,b? R+) ; abc≤( ) (a,b,c ? R+) 2 3

变式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ab≤( a≤ 2ab a+b ≤ ab ≤ ≤ a+b 2

a2+b2 ≤b.(0<a≤b) 2

b-n b b+m ⑥ 浓度不等式: < < ,a>b>n>0,m>0; a a+m a-n 题型讲解 一、含绝对值不等式的求解 记熟公式: 当 a>0 时 | x |≤a ? -a≤x≤a;| x |>a ? x>a 或 x<-a 1、 (上海卷 1)不等式| x-1 |<1 的解集是 2、不等式组 ?
? | x-2 |<2 ? log2(x -1)>1
2

. (0,2) ) C

的解集为 (

(A) (0, 3 ); (B) ( 3 ,2); (C) ( 3 ,4); (D) (2,4)。 3、 (广东卷 16)若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范 围是 。 (5,7). 4、 (08 广东卷 14) (不等式选讲选做题)已知 a ? R,若关于 x 的方程 x +x+|a-
2

1 |+|a|=0 4

有实根,则 a 的取值范围是

.[0,

1 ] 4

5、若对任意 x ? R,不等式| x |≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) B (A)a<-1 (B)| a |≤1 (C) | a |<1 (D)a≥1 6、 (山东卷)0<a<1,下列不等式一定成立的是( A ) (A)| log(1+a) (1-a)|+ | log(1-a) (1+a)|>2 (B)| log(1+a) (1-a)|< | log(1-a) (1+a)| (C)| log(1+a) (1-a)|+ | log(1-a) (1+a)|< | log(1+a) (1-a)|+| log(1-a) (1+a)| (D)| log(1+a) (1-a)|-| log(1-a) (1+a)|< | log(1+a) (1-a)|-| log(1-a) (1+a)| 7、 (江苏卷)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( C ) (A)| a-b |≤| a-c |+| b-c | (C)| a-b |+ 1 ≥2 a-b (B)a2+ 1 1 2 ≥a+ a a

(D) a+3 - a+1 ≤ a+2 - a

8、 (北京文科 15) 记关于 x 的不等式 x-a <0 的解集为 P,不等式| x-1 |≤1 的解集为 Q. x+1

(I)若 a=3,求 P; (II)若 Q ? P,求正数 a 的取值范围.
2

解: (I)由

x-3 <0,得 P={x|-1<x<3}. x+1

(II)Q={x|| x-1|≤1}={x|0≤x≤2}. 由 a>0,得 P={x|-1<x<a},又 Q ? P,所以 a>2,即 a 的取值范围是(2,+?). 9、(上海卷)三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2+25+| x3-5x2 |≥ax 在[1,12]上恒成立,求 实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 . 解:由 x2+25+| x3-5x2 |≥ax , 1≤x≤12 ? a≤x+ 而 x+ 25 ≥2 x x· 25 +| x2-5x |, x

25 =10,等号当且仅当 x=5 ? [1,12]时成立; x

且| x2-5x |≥0,等号当且仅当 x=5 ? [1,12]时成立; 所以,a≤[ x+ 25 +| x2-5x |]min=10,等号当且仅当 x=5 ? [1,12]成立。 x 5 ; 4 17 的 a 的值. 8 | f(x) |=| ax2+x-a |=| a(x2-1)+x |≤| a(x2-1)

10. 设 a ? R, 函数 f(x)= ax2+x-a (-1≤x≤1). (1)若| a |≤1,证明| f(x) |≤

(2)求使函数 f(x)有最大值

解:(1) -1≤x≤1 ? | x |≤1,又 | a |≤1,∴

1 5 4 |+| x |≤| x2-1 |+| x |=1-x2+x=-(x- )2+ ≤ . 2 4 5 (2) 由(1)可知| a |>1, 当 a>1 时,f(x)的最大值在端点取得,又 f(-1)=-1, f(1)=1,所以不合 题意,舍去;当 a<-1 时, f(x)的最大值在顶点取得,fmax(x)= 1 a=- ,因为 a<-1,所以 a=-2. 8 二、 含参数问题: 对于含有字母参数的问题,要求能够合理分类,用分类讨论的思想解决问题, 有时也通过分离参数来转化. 1、设 a 是实数, M ? {x x ? R, x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0} , N ? {x x ? R, x ? 1 ? a 2 } ,若 M 不是 N 的子集,则 a 的取值范围是 .答案:(-2,1) -4a2-1 17 = ,解得 a=-2 或 4a 8

2、对一切实数 x 错误!未找到引用源。 ,不等式 x 2 ? a x ? 1 ? 0 错误!未找到引用源。恒成 立,则实数 a 错误!未找到引用源。的取值范围是___________. 答案: [?2, ??) 3、已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? x ( a ? R, a ? 0) . 1 5 (1)当 0<a< 时,f(sinx)( x ? R)的最大值为 ,求 f ( x) 的最小值. (答案:-1) 2 4 (2)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x) | ? 1 .试求 a 的取值范围.答案: ?2 ? a ? 0
3

4、解不等式:| ax-1 |>x 答案:当 a≤-1 时, 解集为 R;当-1<a≤1 时,解集为(-?, ?, 1 1 )∪( ,+?). a+1 a-1 1 );当 a>1 时,解集为(- a+1

三.通过基本不等式求极值 (一).通过不等式性质变形 1.(北京理科 7)如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( A ) A.ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 2. (福建卷)下列结论正确的是( B ) 1 1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ ≥2 B.当 x>0 时, x + ≥2 lgx x C.当 x≥2 时,x+ 1 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x

3. (陕西卷文科)设 x,y 为正数, 则(x+y)( A. 6 B.9

1 4 + )的最小值为( B ) x y D.15

C.12

.(陕西卷理)已知不等式(x+y)( ( ) A.2

1 a + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y C.6 D.8

B.4

解析:不等式(x+y)(

1 a y ax + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1+a+ + ≥a+2 a +1 x y x y

≥9,∴ a ≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B. 4.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为(D) (A) 3 -1 (B) 3 +1 (C) 2 3 +2 (D) 2 3 -2 解析:若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 所以 a2+ab+ac+bc=4-2 3 , 4-2 3 = a2+ab+ac+bc= 1 1 (4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤ (4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2), 4 4

∴ (2 3 -2)2≤(2a+b+c)2,则(2a+b+c)≥2 3 -2≥,选 D. 5. (江西卷 9)若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( A ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D. 1 2

6.若 a,b,c>0 且 a2+2ab+2ac+4bc=12,则 a+b+c 的最小值是 ( A ) (A)2 3 (B)3 (C)2 (D) 3 解: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+(b-c)2?12,当且仅当 b=c 时取等 号,故选 A

4

7. (上海理科 6)已知 x,y ? R+,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为

1 。 (上海春)已知 16

8.直线 l 过点 P(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则三角 形 OAB 面积的最小值为 .4 9.(江苏卷 11)已知 x,y,z ? R+,x-2y+3z=0,,则 y2 的最小值为 xz .3

10.(山东理科 16)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 1 2 + 的最小值为 m n .8

四、不等式的证明 比较法(基本方法) 1.已知 x,y ? R,求证:sinx+siny≤1+sinxsiny. 2.设 a>0,b>0,求证:aabb≥ ? ab ?
a ?b 2 .

综合法、分析法(联系基本不等式) 1.设 a,b,c 为正实数,求证: 1 1 1 + 3 + 3 +abc≥2 3 . a3 b c

2.求证:a4+b4+c4≥abc(a+b+c). 3.已知 a,b,c 为正非负实数,求证: a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 ≥ 2 (a+b+c). 4.已知 a,b,c 为正实数,求证:a3+b3+c3≥ 1 2 2 2 (a +b +c )(a+b+c). 3

5.若| a |≤1,| b |≤1,求证:ab+ (1-a2)(1-b2) ≤1.

反证法(正难则反) :关注所证结论的特点 1+y 1+x 1.已知 x>0,y>0,且 x+y>2,求证: 与 中至少有一个小于 2. x y 2.设 f(x)=x2+ax+b,求证:| f(1) |、| f(2) |、| f(3) |中至少有一个不小于 1 . 2

3.已知 a>0,f(x)=x3-ax 在[1,+?)上是一个单调函数, (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x0≥1,f(x0)≥1,且 f[f(x0)]=x0,试证明:f(x0)=x0. 解: (I) 0<a≤3 (Ⅱ) 用反证法证明:假设 f(x0)≠x0,则 f(x0)>x0 或 f(x0)< x0, 又 x0≥1,f(x0)≥1,且由(Ⅰ)可知 f(x)在[1,+?)上为单调增函数, 若 1≤x0<f(x0),则 f(x0)< f(f(x0))=x0 矛盾,
5

若 1≤f(x0)<x0,则 f(f(x0))< f(x0),即 x0<f(x0),矛盾, 故假设不成立,即 f(x0)=x0 成立. 4. 已知函数 f(x)=alnx-bx 图象上一点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=-3x+2ln2+2. (1)求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)+m=0 在[ 1 ,e]内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对 e
2

数的底数) ; (3)令 g(x)=f(x)-kx,若 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0), (其中 x1<x2), AB 的中点为 C(x0,0),求证:g(x)在 x0 处的导数 g ( x0 ) ? 0 .
/

解: (1)解得 a ? 2, b ? 1 . (2) 1<m≤2+ 1 2 . e
2

(3)g(x)=2lnx-x -kx,g’(x)=

2 -2x-k. x ① ② ③ ④

? ? 假设结论不成立,则有 ? ? ?
①-②,得 2ln ln x1 x2 ∴k=2 -2x0. x1-x2

2lnx1-x1 -kx1=0 2 2lnx2-x2 -kx2=0 x1+x2=2x0 2 -2x0-k=0 x0

2

x1 2 2 -(x1 -x2 )-k(x1-x2)=0. x2

x1 ln x2 2 1 由④得 k= -2x0,∴ = x0 x1-x2 x0 x1 x1 2 -2 x2 x2 2 x1 即 = ,即 ln = x1-x2 x1+x2 x2 x1 +1 x2 ln x1 2t-2 令 t= ,u(t)=lnt- (0<t<1), x2 t+1 则 u’(t)= (t-1) 2 >0.∴u(t)在 0<t<1 上增函数, ∴u(t)<u(1)=0, t(t+1)
2



∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴g’(x0)≠0. 5. (2009 重庆卷理) 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈.

, , a1 0是 ( Ⅰ ) 若 m ? 2009 , 且 a1 , a2? 0 5公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 而
6

a1 , a2009 , a2008 ,?, a1006 是 公 比 为 q ? d 的 等 比 数 列 ; 数 列 a1 , a2 ,?, am 的 前 n 项 和 Sn (n ? m) 满足: S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
( Ⅱ ) 若 每 个 数 an (n ? m) 是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项 , 求 证 :
2 2 a1 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? am ? ma1a2 am ;

解: (I) an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

(II)由题意 an2=an-12an+12, (1<n<m ) ,am=am-12a12 ,a12=am2a22 得

      ①  ?an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m), ? ?am ? am?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1
由①得 a3 ?

a2 a 1 1 , a4 ? , a5 ? , a6 ? 1 a3 a1 a2 a2
2



由①,②,③得 a1a2 ??? an ? (a1a2 ??? an ) , 故 a1a2 ??? an ? 1 . 又 ar ?3 ? ⑤

ar ? 2 ar ?1 1 1 ? ? ? (1 ? r ? m ? 3) ,故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

ar ? 6 ?

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑥ ar ?3

下面反证法 证明: m ? 6k ... 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中 1? p ? 5 若取 p ? 1 即 m ? 6k ? 1 ,则由⑥得 am ? a6 k ?1 ? a1 ,而由③得 am ?

a1 a , 故a1 ? 1 , a2 a2

得 a2 ? 1, 由②得 am ?1 ?

am , 从而a6 ? a6 k ? am ?1 , 而 a1

a6 ?

a1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 ④及⑥可推得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾,因此 m ? 6k 为 6 的倍数

7

由均值不等式 得 ..... 1 1 a1 a2 )+(a2+ )+( + )≥6 a1 a2 a2 a1

a1+a2+a3+…+a6=(a1+

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1=a2=a3=1,从而 a4=a5=…=am=1 与题设矛盾) ,故等 号不成立,从而 a1+a2+a3+…+a6>6 又 m=6k, 由④和⑥得 a72+…+am2=(a72+…+a122)+…+(a6k-52+…+a6k2)= (k-1) (a12+…+a62)=(k-1) (a12+ 1 1 1 +a22+ 2 +a32+ 2 )≥6(k-1)+ a12 a2 a3

因此由⑤得 a1+a2+a3+…+a6+ a72+…+am2>6+6(k-1)=6k=m=ma1a2a3…am 导数法:若题目中有函数形式,特别是对数函数与其他函数组合 1 1. 已知 x>0,求证:ln(1+x)>x- x2. 2 2. 证明不等式 lnx> 2(x-1) ,其中 x>1 x+1 1 2 x +2ax , g(x)=3a2lnx+b ,其中 a>0. 设两曲线 2

3. 已知定义在正实数集上的函数 f(x)=

y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同。 (1) 用 a 表示 b,并求 b 的最大值; (2) 求证:f(x)≥g(x) (x>0) . 5 3 3 e (1) b= a2-3a2lna , bmax= 2 2 放缩法【类似数列求和,当不可以运用常见方法(公式法、分组求和法、列项求和法、倒序 求和法、错位相减法)求和时,考虑适当放缩,转化为可以求和再比较大小】 放缩目标 分式分子分母同加减一个值 1、09 广东理 21 已 知 曲 线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2,?) . 从 点 P(? 1, 0 ) 向 曲 线 Cn 引 斜 率 为
2 2
2

kn (kn ? 0 )的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

解: ( 1 ) xn ?

n 2n ? 1 n , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? n ?1 n ?1

8

1 ? xn ( 2) 证 明 : ∵ ? 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ????? ? ? ? ???? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1
1 ? xn 1 ? xn

1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

由于

xn ? yn
'

1 ? xn 1 ' ? ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ( x) ? 1 ? 2 cos x , 2n ? 1 1 ? xn

令 f ( x) ? 0 , 得 cos x ?

2 ? ? ' , 给定区间 (0, ) , 则有 f ( x) ? 0 , 则函数 f ( x) 在 (0, ) 上 2 4 4

单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ?

2 s i xn 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 4

?

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4
1 ? xn x 1 1 ? 2 sin n . ? 2 sin ,即 1 ? xn yn 2n ? 1 2n ? 1

则有

数列求和式 取最大最小放缩 1、求证:5< 1 <1; 2 1 1 1 1 + < + =1; 3 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 + +??+ < + + + =1 5 6 8 4 4 4 4 ?? 1 1 1 1 1 1 + 9 +??+ 10 < 9 + 9 +??+ 9 =1 29+1 2 +2 2 2 2 2 上述式子相加得右边成立 没有求和公式的放缩为有求和公式的数列 目标:等差等比数列 等差 1 1 1 1 + + +??+ 10 <10. 2 3 4 2

9

n(n+1) (n+1)2 1.已知数列{an} 中,an= n(n+1) ,Sn 为其前 n 项和,求证: <Sn< 2 2 分母放大或缩小:n= n2 < n(n+1) = n2+n < n2+n+ 1 1 =n+ 4 2

等比(关于指数式) 1.(06 福建 22) 已知数列{an} 满足 a 1 =1,a n ?1 =2a n +1(n∈N ? ) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 4 1 4 2 ?4 n = (an ? 1) (Ⅲ)证明:
b ?1 b ?1 b ?1
bn

(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;

a n 1 a1 a 2 n ? < ? ? ? ? n < (n∈N*). 2 3 a 2 a3 a n ?1 2
an=2n-1(n ? N*)

解: (I)∴ an+1=2n 即 (II)略 (III)证明:∵

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, (分母缩小) ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 2

∵ 分母放大

?

a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2
拆项求和式(如分母为根式的分式,分母为二次式的分式) 1 1 1.已知 n ? N*,求证:2( n+1 -1)<1+ +??+ <2 n . 2 n n + n-1 <2 n < n + n+1 1 n-1 > > n+1 - n 2 n 2.数列 ?an ? , a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? n 2 ? 3n(n ? N ? )
10

?

1 n + n-1

>

1 2 n

>

1 n + n+1

?

n -

⑴是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 ?a n ? ?n 2 ? ?n? 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的 值,若不存在,说明理由。 1 ,S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn , 证 明 : 当 n ? 2 时 , ⑵ 设 bn ? a n ? n ? 2 n ?1

6n 5 ? Sn ? . (n ? 1)(2n ? 1) 3
⑴ 略 ⑵ 证明:由⑴得 an ? n ? n ? (a1 ? 1 ? 1) ? 2
2 2 n ?1

∴ a n ? 2 n ?1 ? n 2 ? n ,

故 bn ? ∵ bn ?

1 1 ? 2 n ?1 an ? n ? 2 n

1 4 4 2 2 (裂项求和) ? 2? 2 ? ? 2 n 4n 4n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 2 2 2 2 2 2 ∴ n ? 2时, Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 2 2 5 ? 1? ? ? 3 2n ? 1 3
现证 S n ?

6n (n ? 1)(2n ? 1)

(n ? 2) .

当n?2 时

S n ? b1 ? b2 ? 1 ?

1 5 6n 12 4 5 4 ? ? , ? , ? , 而 (n ? 1)(2n ? 1) 3 ? 5 5 4 5 4 4

故 n ? 2 时不等式成立 当 n ? 3 时,

1 1 1 1 得 ? ? ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 n 6 ,且由 2n ? 1 ? 6 , ?1? ? 得1 ? n ?1 n ?1 2n ? 1 由bn ?
∴ Sn ?

n 6n ? n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

注意: 有些放缩是不是从开始进行,是从某一项之后 1. 设函数 f ( x) ?

x3 a 2 ? x ? bx ? c(a, b, c ? R) ,若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0) . 3 2 (1)求函数 f(x)的解析式; 1 11 (n ? N? ) ; (2)设 F (n) ? ,求证: F (1) ? F (2) ? F (3) ? ? ? F (n) ? f ?(n) ? 2 18 x3 1 2 解: (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 3 3 2 1 1 11 (2)由 F (n) ? , 易知 n=1,2 时 F (n) ? 成立. ? 2 f ?(n) ? 2 n ? n ? 1 18 1 1 1 1 1 1 当 n ? 3 时, F ( n ) ? 2 ? 2 ? ? ( ? ) n ? n ? 1 n ? n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) 3 n ? 2 n ? 1

11

1 1 1 1 1 1 1 1 F (1) ? F (2) ? F (3) ? ? ? F (n) ? F (1) ? F (2) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 2 5 3 6 n ? 2 n ?1 1 1 1 1 1 1 11 = (?1) ? 1 ? [1 ? ? ? ? ? ] ? (裂项求和) 3 2 3 n ? 1 n n ? 1 18
对于指数式又可拆项分解的复合式,可优先考虑拆项分解 1.(06 全国 1 理 22) 设数列{an}的前 n 项的和 Sn ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;
n 2n 3 ,n=1,2,3,??证明: ? Ti ? Sn 2 i ?1

4 1 2 ? ? a n ? ? 2n?1 ? , n ? 1, 2,3,? 3 3 3

(Ⅱ)设 Tn ?

解: (I)a1=2 , a n ? 2 ? 4 ? 4
n n n

n ?1

? 4 n ,n=1,2,3?,

因而 a n ? 4 ? 2 ,n=1,2,3,?, (II)将 a n ? 4 ? 2 代入①得
n n

Sn ?

4 1 2 1 2 ? (4 n ? 2 n ) ? ? 2 n?1 ? = 3 ×(2n+1-1)(2n+1-2)= 3 ×(2n+1-1)( 2n-1) 3 3 3

2n 3 3 1 1 2n Tn ? = × n+1 = ×( n - n+1 ) n 2 2 - 1 2 -1 (2 - 1) × (2 - 1) 2 Sn
所以,

? Ti ?
i ?1

n

3 3 n 1 1 1 3 ( i ? i ?1 ) = ×(1- i+1 )< ? 2 2 - 1 2 2 i ?1 2 ? 1 2 ? 1

数学归纳法(跟自然数有关的命题) 1. (湖北理科 21) 已知 m,n 为正整数. (Ⅰ)用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)m≥1+mx; 1 n 1 m n 1 (Ⅱ)对于 n≥6,已知(1- )< ,求证(1- ) < ( )m,m=1,2,…,n; n+3 2 n+3 2 (Ⅲ)求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n. 解: (Ⅰ)证:当 x=0 或 m=1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 1 当 x>-1,且 x≠0 时,m≥2, (1+x)m>1+mx. ○ 2 (i)当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x,因为 x≠0,所以 x2>0,即左边>右边,不等式①成 立; (ii)假设当 m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当 m=k+1 时,因为 x>-1,所
12

以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx 两边同乘以 1+x 得 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当 m=k+1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立. 2. (06 江西 22) 已知数列{an}满足:a1= 3nan-1 3 ,且 an= (n≥2,n ? N*) 2 2an-1+n-1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2???an?2?n! 解:(1) an= n·3n (n≥1) 3n-1 ????① n! . 1 1 1 (1- )(1- 2 )?(1- n ) 3 3 3

(2)证:据①得,a1,a2?an= 为证 a1a2?an<2·n!,

1 1 1 1 只要证 n∈N*时有(1- )(1- 2 )?(1- n ) > ????② 3 3 3 2 显然,左端每个因式皆为正数,先证明,对每个 n∈N*, 1 1 1 1 1 1 (1- )(1- 2 )?(1- n ) ≥1-( + 2 +?+ n ) ????③ 3 3 3 3 3 3 用数学归纳法证明 ③式: ........ 1°n=1 时,显然③式成立, 2°设 n=k 时,③式成立, 1 1 1 1 1 1 即(1- )(1- 2 )?(1- k )≥1-( + 2 +?+ k ), 3 3 3 3 3 3 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 (1- )(1- 2 )?(1- k )(1- k+1 )≥[1-( + 2 +?+ k )]( 1- k+1 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +?+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +?+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ≥1- ( + 2 +?+ k + k+1 ). 3 3 3 3 即当 n=k+1 时,③式也成立. 故对一切 n∈N*,③式都成立. 1 1 1 1 1 1 利用③得,(1- )(1- 2 )?(1- n ) ≥1-( + 2 +?+ n ) 3 3 3 3 3 3 1 1 [1-( )n] 3 3 1 1 1 1 1 1 =1- =1- (1- n )= + ( )n > . 1 2 3 2 2 3 2 1- 3 故②式成立,从而结论得证. 证明充要条件问题
13

1. 设 a,b 为正数,求证:不等式 a +1> b 成立的充要条件是对于任意实数 x>1,有 ax+ x >b. x-1 分析:ax+ x-1+1 x 1 = a(x-1)+a+ =a(x-1)+ +a+1≥2 a +a+1=( a +1)2 x-1 x-1 x-1

2. (2002 江苏,22)已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2。 (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2

b; b;

(2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件。 (Ⅰ)证明:依题意,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1, a a2 ∵f(x)=-b(x- )2+ , 2b 4b a a2 ∴f( )= ≤1,∵a>0,b>0,∴a≤2 b . 2b 4b (Ⅱ)证明:必要性:对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 ? -1≤f(x) , 据此可以推出-1≤f(1) , 即 a-b≥-1,∴a≥b-1; 对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 ? f(x)≤1,因为 b>1,可以推出 f( 即 a· 1 -1≤1,∴a≤2 b ; b 1 b

)≤1,

∴b-1≤a≤2 b . 充分性:因为 b>1,a≥b-1,对任意 x∈[0,1] , 2 2 可以推出:ax-bx ≥b(x-x )-x≥-x≥-1,即 ax-bx2≥-1; 因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0,1] , 2 2 可以推出 ax-bx ≤2 b x-bx ≤1, 即 ax-bx2≤1。 ∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b . (Ⅲ)解:因为 a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1] : 2 f(x)=ax-bx ≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1, a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1] ,|f(x)|≤1 的充要条件是 a≤b+1. 2 .解:原式 ? (x-a) (x-a )<0,∴x1=a,x2=a2。 当 a=a2 时,a=0 或 a=1,x∈ ? ,当 a<a2 时,a>1 或 a<0,a<x<a2, 当 a>a2 时 0<a<1,a2<x<a, ∴当 a<0 时 a<x<a2,当 0<a<1 时,a2<x<a,当 a>1 时,a<x<a2,当 a=0 或 a=1 时,x∈ ? 。

综合问题

14

A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意 x ? [1,2] ,都有

? (2 x) ? (1,2) ; ② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1,2] , 都 有
| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
(1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (2)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x 0 是唯一的; (3) 设 ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任意 的正整数 p,成立不等式 | x k ?l ? x k |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 。 1? L

解: (1) 对任意 x ? [1,2] , ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 , 所以 ? (2 x) ? (1,2) 对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |?| x1 ? x2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 3 ?1 ? 2 x2 ?

2



3?

3

?1 ? 2x1 ?
3

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 3 ?1 ? 2 x2 ? ,
2
2

所以 0<

?1 ? 2 x1 ?

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 3 ?1 ? 2 x2 ?
2

2

?

2 , 3


3

2

?1 ? 2 x1 ? ? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? 2 x2 ? ? 3 ?1 ? 2 x2 ?
2

=L,

0 ? L ? 1 , | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? (1,2), x0 ? x0 ? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? ( 2 x0 ?)。 (2)反证法:设存在两个 x0 , x0
则由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | ,
/ /

得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1,矛盾,故结论成立。 (3) x3 ? x 2 ? ? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,

/

/

15

所以 x n ?1 ? x n ? L

n ?1

x 2 ? x1

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ?
? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? Lk ? p ?2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +? Lk ?1 x 2 ? x1
LK ?1 ? x 2 ? x1 。 1? L
创新题 1. (06 湖南文,20)在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj (即前面某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为 该排列的逆序数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ?321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数 a 3 ? 6 。 (Ⅰ)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (Ⅱ)令 bn ? 解
an a ? n ?1 ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,?。 a n ?1 an

(Ⅰ)由已知得 a 4 ? 10, a5 ? 15 , a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?

n(n ? 1) 。 2

(Ⅱ)因为 bn ?

an a n n?2 n n?2 ? n ?1 ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1,2, ? , a n ?1 an n?2 n n?2 n

所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n . 又因为 bn ?
n n?2 2 2 ? ? 2? ? , n ? 1,2, ? , n?2 n n n?2

1 1 1 1 1 1 2 2 所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] = 2n ? 3 ? ? ? 2n ? 3 。 n ?1 n ? 2 1 3 2 4 n n?2 综上, 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3, n ? 1,2, ? 。

点评:该题创意新,知识复合到位,能很好的反映当前的高考趋势。 2. (2009 江苏卷) 按照某学者的理论, 假设一个人生产某产品单件成本为 a 元, 如果他卖出该产品的单价 为 m 元,则他的满意度为 m a ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 . m+a n+a

如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2,则他对这两种交易的综合满 意度为 h1h2 . 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙
16

(1)求 h 甲和 h 乙关于 mA、mB 的表达式;当 mA= (2)设 mA=

3 mB 时,求证:h 甲=h 乙; 5

3 mB,当 mA、mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满 5

意度为多少? (3)记(2)中最大的综合满意度为 h0,试问能否适当选取 mA、mB 的值,使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象 概括能力以及数学阅读能力。 (1)h 甲= mA mB · , h 乙= mA+12 mB+5 mA mB · ,mA ? [3,12], mB ? [5,20] mA+3 mB+20 mB = mB+5 mB2 (mB+20)(mB+5) ,

3 当 mA= m 时,h 甲= 5 B 3 m 5 B 3 m +3 5 B

3 m 5 B 3 m +12 5 B

·

h 乙=

mB · = mB+20

mB2 , (mB+20)(mB+5) ∴ h 甲=h 乙

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

(2)当 mA= h 甲=

3 m 时, 5 B 1 = 20 5 (1+ )(1+ ) mB mB 1 错误! 1 2 1 100( ) +25× +1 mB mB

mB2 = (mB+20)(mB+5)

未指定书签。 1 1 1 由 mB ? [5,20] 得 ?[ , ], mB 20 5 故当 1 1 = 即 mB=20, mA=12 时, mB 20
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 (3) (方法一)由(2)知:h0= 由 h 甲= 令 mA mB · ≥h0= mA+12 mB+5 10 5

10 5



5 10 mA+12 mB+5 得: · ≤ , 5 mA mB 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

3 5 1 5 =x, =y 则 x, y ? [ ,1],即:(1+4x)(1+y)≤ . mA mB 4 2 10 5 得:(1+x)(1+4y)≤ 5 2 1 5 ,1] ,1+4x、1+4y ? [2,5], 1+x、1+y ? [ ,2]. 4 2
17

同理,由 h 乙≥h0= 另一方面,x, y ? [

(1+4x)(1+y)≥

5 5 1 ,(1+x)(1+4y)≥ , 当且仅当 x=y= ,即 mA=mB 时,取等号。 2 2 4

所以不能适当选取 mA、mB 的值,使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立,但等号不同时成立。 方 法 二 : 由 ( 2 ) 知 h0= = 2 ,因为 h 3 ≤


h



=

20 12 y x · · · x+12 y+5 x+3 y+20

12 20 · 36 100 x+ +15 y+ +25 x y

4 2 2 2 .所以,当 h 甲≥ ,h 乙≥ 时,有 h 甲=h 乙= . 9 3 3 3

因此不能取到 mA,mB 的值,使得 h 甲≥h0 和 h 乙≥h0 同时成立,但等号不同时成立.
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

3. (2009 湖南卷文) 对于数列 {u n } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un ?1 ? un ? un ? un ?1 ? ? ? u2 ? u1 ? M ,
则称数列 {u n } 为 B ? 数列. (Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 S n 是数列 { xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 { xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {S n } 是 B-数列, ②数列 { xn } 不是 B-数列; ④数列 {S n } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? (? )
2

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an ?1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ? 2 ? ? ( ) n ? 2 , n ? 2. 2 2 2 2
| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ? ? ? | a2 ? a1 |
=

3 ? 1 1 2 1 n -1 ? 1 n? ? ? ?1 ? ? ( ) ??? ( ) ( ) ? 3. = 3 ? ?1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

所以首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是 B-数列 2

.

(Ⅱ)命题 1:若数列 { xn } 是 B-数列,则数列 {S n } 是 B-数列.此命题为假命题.
18

事实上设 xn =1, n ? N ,易知数列 { xn } 是 B-数列,但 S n =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn ?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {S n } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {S n } 是 B-数列,则数列 { xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {S n } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn ?1 | ? | xn | ? ? ? | x2 |? M .于是 xn ?1 ? xn ? xn ? xn ?1 ? ? ? x2 ? x1

? xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? ? ? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 { xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N , 有
?

an ?1 ? an ? an? a ?n 1 ?? ?

a ? 2

1

a ?

.M

因为 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )( an ?1 ? an )
2 2

? ( an ?1 ? an ) an ?1 ? an ? 2 K an ?1 ? an .
因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM .
2 2 2 2 2 2

故数列 an 是 B-数列.

? ?
2

附放缩法的练习 1.证明不等式:1+ 当 n≥3 时, 或者 n≥3, 1 1 1 + +??+ < 2 (n≥3) 1×2 1×2×3 1×2×3×?×n

1 1 1 < = n-1 (等比数列求和) 1×2×3×?×n 1×2×2×?×2 2

1 1 1 1 < = - (裂项求和) 1×2×3×?×n n(n-1) n-1 n

19

2.已知 n ? N*,求证:2≤(1+ (1+

1 n ) <3. n

1 n 1 1 1 1 ) =1+Cn1 + Cn2 ( )2+?+ Cnk ( )k+?+( )n n n n n n n(n-1)?(n-k+1) 1 k n! 1 1 1 1 )= · ( )k= · ( )k< = n n k ! n k ! k!·(n-k)! 1×2×3×?×k

Cnk (

1 1 < = k-1 (等比数列求和) 1×2×2×?×2 2 2n+1 3 5 7 · · ·??· < 2 4 6 2n

3.已知 n ? N*,求证: n+1 <

2n+1 .

运用:(2009 山东卷理) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g an ?
?

1 n) ? (N ?

)

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn

解:因为对任意的 n ? N+,点(n,Sn) ,均在函数 y=bn+r (b>0 且 b≠1,b, r 均为常数的图像上.所 - - 以得 Sn=bn+r,当 n=1 时,a1=S1=n+r,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn 1+r)=bn-bn 1= (b-1)bn 1,又因为{an} 为等比数列,所以 r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ? 1)b


n ?1

(2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则

n ?1

? 2n ?1 ,

bn ? 2(log 2 an ? 1) ? 2(log 2 2n?1 ? 1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? ? ,所以 1 bn 2n b1 b2 bn 2 4 6 2n

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

1 2 · · · · ·n 下面用数学归纳法证明不等式 ... b · b · bn 1 2

b ?1 b ?1

b ?1

3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 成立. 2 4 6 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 > 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · · · · · · ·k ? ? ? ??? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2

20

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4( k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4( k ? 1)
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 S n 求 an 的基本题型,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 4.(06 浙江理,20)已知函数 f(x)=x 3 + x2,数列{x n } (x n >0)的第一项 x1=1,以后各项按 如下方式取定:曲线 y=f(x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点 的直线平行(如图)

.
* 求证:当 n ? N 时,(Ⅰ)x n ? x n ? 3x n ?1 ? 2 x n ?1 ;
2 2

(Ⅱ) ( )

1 2

n ?1

1 ? xn ? ( ) n?2 。 2
' 2

证明: (I)因为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn ?1 , f ( xn ?1 )) 处的切线斜率 kn ?1 ? 3x n?1 ? 2 xn ?1.
2

因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ,
2

所以 xn ? xn ? 3xn ?1 ? 2 xn ?1 .
2 2

(II)因为函数 h( x) ? x ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2

而 xn ? xn ? 3xn ?1 ? 2 xn ?1 ? 4 xn ?1 ? 2 xn ?1 ? (2 xn ?1 ) ? 2 xn ?1 ,
2 2 2 2

所以 xn ? 2 xn ?1 ,即

xn ?1 1 ? , xn 2

21

因此 xn ?

xn xn ?1 x 1 ? ????? 2 ? ( )n ?1. xn ?1 xn ? 2 x1 2
2

2 又因为 xn ? xn ? 2( x n?1 ? xn ?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

2

yn ?1 1 ? . yn 2

1 2 1 1 1 2 因此 xn ? xn ? xn ? ( )n ?2 , 故 ( )n?1 ? xn ? ( )n?2 . 2 2 2
2

因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ? 2 .

1 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查 逻辑推理能力。

22


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