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2013~2014沂源一中高二上学期期末试题答案


高二数学试题(理)答案
一.选择题 1D,2D,3C,4A,5B,6B,7B,8A,9C,10A,11B,12C 二、填空题:13.2; 14. 8 , 6 ;15.

5 ;16. 2

5 . 2

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x

cos x ? sin 4 x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最大值 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x

? (cos2 x ? sin 2 x)(cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2x ………………2 分
? cos 2 x ? sin 2 x
) ……………………………………………4 分 4 ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? ,其最大值为 2 …………………8 分 2 ? ? 3? (Ⅱ)其单调增区间为 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? …………………10 分 2 4 2 3? 7? ? x ? k? ? 即 k? ? 8 8
即 ?k? ?

? ? 2 sin( 2 x ?

?

? ?

3? 7? ? 为所求………………………………………12 分 , k? ? 8 8 ? ?

2 18. (本小题满分 12 分)给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒

成立;Q :函数f ( x) ? x ? x ? a ? 0 有零点。如果 P ∨ Q 为真命题,P ∧ Q 为假命题,
2

求实数 a 的取值范围.
2 解: 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立

?a ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;…………………………………………2 分 ? a ? 0或? ? ? 0 ?
1

函数f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 0 有零点 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ;…………………4 分 4

P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,……………………6 分

1 ? ∴实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? . ……………………………………………12 分 ?4 ?
19.(本小题满分 12 分)设计一幅宣传画,要求画面面积为 4000cm ,画面的上下各留 8cm 空白,左右各留 5cm 空白,怎样设计画面的高与宽,才能使宣传画所用纸张的面积最小, 最小面积是多少? 解:设画面的高为 x 时,宣传画所用纸张面积为 y .
2

4000 ……………………………………………………2 分 x 4000 ? 10 ) ……………………………………………4 分 且有 y ? ( x ? 16 ) ? ( x 6 4 0 0 0 ? 4000 ? 10 x ? ?1 6 0 x
此时,画面的宽为

? 10( x ?
当且仅当 x ?

6400 6 4 0 0 ) ? 4160? 10 ? 2 x ? ?4 1 6 ?5 0 7 6 0 ………… 8分 x x

6400 即 x ? 80 时等号成立。………………………………10 分 x

所以设计画面的高为 80 cm ,宽为 50 cm 的宣传画所用纸张面积最小,最小面积是 5760cm ………………………………………………………………………12 分. 20. (本题满分 12 分)如图,四面体 ABCD 中,O 是 BD 的中点, ?ABD 和 ?BCD 均 为 等边三角形, AB ? 2 , AC ? 6 . (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求二面角 A ? BC ? D 的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 O ? ACD 的体积.
2
2

20. (Ⅰ)证明: ?ABD 为等边三角形, O 是 BD 的中点, ∴ AO ? BD ; …………………………………1 分 A

∵ AB ? 2 ,∴ AO ? 3 . 连结 OC ,同理, ?BCD 为等边三角形, O 是 BD 的中点, ∴ CO ? 3 . 在 ?AOC 中,∵ AO ? CO ? AC ,
2 2 2 0 ∴ ?AOC ? 90 ,即 AO ? OC .…………3 分

D O B C

∵ BD ? OC ? O

,∴ AO ? 平面 BCD .……………………………4 分

(Ⅱ)解法一:过 O 作 OE ? BC 于 E 连结 AE , ∵ AO ? 平面 BCD , ∴ AE 在平面 BCD 上的射影为 OE ,∴ AE ? BC ∴ ?AEO 为二面角 A ? BC ? D 的平面角。 ……6 分 在 Rt ?AEO 中, AO ? 3 , OE ?

3 , 2

tan ?AEO ?

AO 5 ? 2 , cos?AEO ? . OE 5

? 二面角 A ? BC ? D 的余弦值为 5 ………………………………………9 分 5
解法二: 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标 系, 则 O?0,0,0? , A 0,0, 3 , B?1,0,0? , C 0, 3,0 ,

?

?

?

?

A

z

D?? 1,0,0? ;∵ AO ? 平面 BCD ,
∴平面 BCD 的法向量 OA ? 0,0, 3 ………5 分 设 平 面 ABC 的 法 向 量 n ? ?x, y, z ? , B x O E

?

?

D C y

AB ? 1,0,? 3 , BC ? ? 1, 3,0
由? ∴n?

?

?

?

?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? BC ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 , ? ?- x ? 3 y ? 0

? 3,1,1?

………………………………………………………………7 分
3

设 n 与 OA 夹角为 ? ,则 cos? ?

n ? OA n ? OA

?

5 5

………………………8 分

∴二面角 A ? BC ? D 的余弦值为

5 .………………………………………9 分 5

(Ⅲ)解: ∵ AO ? 3 , S ?OCD ?

3 2

1 1 3 1 ? 3 ? ………………………11 分 ? VO ? ACD ? VA?OCD ? S?OCD ? AO ? ? 3 3 2 2

? 三棱锥 O ? ACD 的体积为 1 . 2

………………………………………12 分

21.(本题满分 13 分)已知数列 {an }满足an ? 2an?1 ? 2n ? 2(n ? 2), a1 ? 2 . (Ⅰ)求 a 2 , a3 , a 4 ; (Ⅱ)是否存在一个实数 ? ,使得数列 { 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 解: (Ⅰ) a2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 10 , a3 ? 20 ? 8 ? 2 ? 30 , a4 ? 60 ? 16 ? 2 ? 78 ,………3 分 (Ⅱ)假设存在一个实数 ? ,使得数列 {

an ? ? } 成等差数列,若存在,求出 ? 的值; 2n

an ? ? a ?? a ?? } 成等差数列,则 n n ? n ?1n ?1 = n 2 2 2
……………………5 分

2a n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 2a n ?1 ? 2? 2?? ? 1 ? n 恒为常数, n 2 2
∴ 2 ? ? ? 0 即 ? ? 2 ,此时 列{

an ? ? } 是首项为 2 、公差为 1 的等差数列.…………………………………………7 分 2n a ?2 a ?2 ? (n ? 1) ? n ? 1 , (Ⅲ)由(Ⅱ)得 n n ? 1 2 2
4

a1 ? 2 a ?2 a ?2 ?2, 2 2 ? 1 ? 1 .所以,当 ? ? 2 时数 2 2 2



an ? (n ?1)2n ? 2 …………………………………………………9 分

Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ?
2Sn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ?
两式相减得:

? (n ? 1)2n ? 2n
? (n ?1)2n?1 ? 4n

? S n ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? 1)2n?1 ? 2n ? ?n ? 2n?1 ? 2n


Sn ? n ? 2n?1 ? 2n

………………………………………………………13 分

22.(理科)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 10) 的右焦点 F 在圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1上, 直线 2 a 3

l : x ? my ? 3(m ? 0) 交椭圆于 M 、 N 两点.
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ) 若点 P 的坐标是 (4, 0) ,试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在求出这 个最大值;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 由题设知,圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1的圆心坐标是 ( 2,0) ,半径是 1 , 故圆 D 与 x 轴交与两点 (3,0) , (1,0) .
2 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b ? 3 , 2 2 所以, a ? 12 或 a ? 4 (舍去,∵ a ? 10 )

…………………………1分

………3分

于是,椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 3

………………………4 分

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ;

5

?x ? m y ? 3 ? 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?12 3
化简并整理得 (m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 3 ? 0 …………………………………………5 分 ∴ y1 ? y2 ?

? 6m ?3 , y1 ? y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 24 m ?4
2

∴ x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 6 ?

x1 ? x2 ? m2 y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 9 ?
∵ OM ? ON ,∴ OM ? ON ? 0 即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 得 ∴m ?
2

? 3m2 ? 18m2 36 ? 12m2 ? ? 9 ? ……7 分 m2 ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4

36 ? 12m 2 ? 3 ?0 m2 ? 4

11 11 ,m ? ? . ………………………………………………………9 分 4 2
1 1 FP ? y1 ? y2 ? ? 1 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

(Ⅲ) 解法一: S ?PMN ?

?

1 36m2 12 m2 ? 1 ? ? ? 2 3 2 2 (m2 ? 4)2 (m2 ? 4) (m2 ? 4)

=2 3

1 (m 2 ? 1) ?
2

9 ?6 m ?1
2

?2 3

1 ?1 12

当且仅当 m ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立 故 ?PMN 的面积存在最大值 1 .……………………………………13



(或:

S?PMN ? 2 3 ?

?m

m2 +1
2

? 4?

2

=2 3 ? ?

?m

1
2

? 4?

2

?

1 m ?4
2

令t ?

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

6

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3(t ? ) 2 ? 当且仅当 t ?

1 6

1 ?1 12

………………12 分

1 ? 1? ? ? 0, ? 时等号成立,此时 m 2 ? 2 6 ? 4?

故 ?PMN 的面积存在最大值 1 . 解法二: MN ?

……………………………………13 分

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (m2 ? 1) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?

?

? 36m2 12 ? m2 ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 2 ? ? 4 3 2 m2 ? 4 ? m2 ? 4 ? (m ? 4) ?
点 P 到直线 l 的距离是

………………………10 分

4?3 m ?1
2

?

1 m2 ? 1

.

所以, S?PMN ?

4 3 1 m2 ? 1 m2 ? 1 ? 2 ?2 3 2 (m2 ? 4)2 m2 ? 1 m ? 4
………………………11 分

? 2 3 ? 3(
令t ?

1 1 )2 ? 2 m ?4 m ?4
2

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

1 1 2 3 S?PMN ? 2 3 ? 3t 2 ? t ? 2 3 ? 3(t ? )2 ? ? ? 1 , ………………12 分 6 12 12
当且仅当 t ?

1 ? 1? ? ? 0, ? 时,此时 m 2 ? 2 6 ? 4?
…………………………13 分

故 ?PMN 的面积存在最大值,其最大值为 1 .

7


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