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2015年五校联考数学文科(2015.5.4) (1)


2014 学年高三五校第二次联考

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页. 满 分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh

1 3
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

锥体的体积公式 V=

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式 V ?

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式 S=4πR2
4 3

其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高

球的体积公式 V=

πR 3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.在 ??? C 中,“ ??? ?C ? 0 ”是“ ??? C 为直角三角形”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 2.已知数列 {an } 满足: an ? A.7 B.8 C.9 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 9 ,且 S n ? ,则 n 的值为( ▲ ) n ?n 10
2

D.10

3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( ▲ ) A.向右平移

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 12

B.向左平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

4.若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ▲ ) ①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

5.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1,则 AD AC =( ▲ ) A.4 B.2 C.1 D.

1 2

6.设 x ? R , 对于使 ? x2 ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x 2 ? 2 x 的上确 界. 若 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ? A. ? 5 B. ?4
?

1 2a

?

2 b

的上确界为( ▲ ) C.

9 2

D. ?

9 2

7.如图,已知椭圆 C1:

x2 2 x2 y2 +y =1,双曲线 C2: 2 + 2 =1(a>0,b>0),若以 C1 的 11 a b

长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为( ▲ ) A. 5 B.5 C. 17 D.

2 14 7

8.如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时针方向运动, 设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是( ▲ )

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分.) 9 .设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x2 ? 3 x ? 4 ? 0}, B ? { x | log2 ( x ? 1) ? 2} ,则 A

B=





A B=



, CR A =



.

? 2x ? y ? 0 ? x? y 10.若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?





y?1 = x?2




.

11. 已知命题 p:?x ? R , x-1>lnx. 命题 q:?x ? R , x ? 0 , 则 ? p: 命题 p∧( ? q)是 ▲ (填真命题或假命题)。 ▲



13. 若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积是 外接球的表面积是 ▲ .

,此多面体

? x 2 ? cos x, x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 是奇函数,则 sin ? ? ? x ? sin( x ? ? ), x ? 0 ?
2 2





14. 已知点 A(0, 2)为圆 M : x + y - 2ax - 2ay = 0(a > 0)外一点,圆 M 上存在点 T 使得∠MAT=450, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

15.已知 O 是 ? ABC 内心,若 AO ?

2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC = 5 5



.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

1 16.已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x( x ? R). 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B ? 30? , c ? 3, f (C ) ? 1 ,判断△ABC 的形 状,并求三角形 ABC 的面积.
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? 17.已知数列 {an } ( n ? N* , 1 ≤ n ≤ 46 )满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , n ? N* . ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围;
1 1 (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16} .若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4
数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

18. 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ,

? 底 面 ABCD , AD / / BC , AB ? BC 侧 面 P A B PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。
(1)若 PB 中点为 E 。求证: AE //平面PCD ;

P

A
(2)若 ?PAB ? 60 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正
0

D

弦值。

B

C

2 19. 已 知 抛 物 线 y ? 2 x 上 有 四 点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 、

y
C A

C( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) ,点 M(3,0),直线 AB、CD 都过点 M,且
都不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ.

P
M

O D
Q

x
B

2 2 20.已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? kx ,(a为常数且0 ? a ? 4) 。

(1)若 a ? k ? 1 ,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点 x1 , x2 。求

1 1 的取值范围。 ? x1 x2

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

2014 学年高三五校第二次联考

数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.在 ???C 中,“ ??? ?C ? 0 ”是“ ???C 为直角三角形”的( ▲ )
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A 2.已知数列 {an } 满足: an ? A.7 答案:C 3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2x ? π ) 的图象( ▲ )
3

1 9 ,且 Sn ? ,则 n 的值为( ▲ ) n ?n 10
2

B.8

C.9

D.10

A.向右平移 π 个单位长度

6 C.向右平移 π 个单位长度 12

B.向左平移 π 个单位长度

6 D.向左平移 π 个单位长度 12

答案:C 4.若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ▲ ) ①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A.①③ 答案:C
5.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1,则 AD · AC =( ▲ ) A.4 B.2 C.1 D.

B.②③

C.②④

D.①④

1 2

数学(文科)试题卷·第 5 页(共 4 页)

答案:D 6.设 x ? R , 对于使 ? x2 ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫 做 ? x 2 ? 2 x 的上确界. 若 a, b ? R? ,且 a ? b ? 1 ,则 ? A. ?5 答案:D 7.如图,已知椭圆 C1:
x2 x2 y2 +y2=1,双曲线 C2: 2 + 2 =1 b 11 a
1 2a ? 2 b

的上确界为( ▲ )
9 2

B. ?4

C.

9 2

D. ?

(a>0, 于 A、B C2 的 离

b>0),若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 心率为( ▲ ) A. 5 答案:A B.5 C. 17 D.
2 14 7

8.如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时针方向运动, 设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是( ▲ )

答案:C 二、填空 题(本大 题共 7 小 题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分.) 9 . 设 全 集 U ? R , 集 合 A ? { x | x2 ? 3 x ? 4 ? 0} , B ? { x | log2 ( x ? 1) ? 2} , 则 A B = ▲ ,A B= ▲ , CR A = ▲ .

答案: A B = (1, 4) , A B = ( ?1, 5) , C R A = (??, ?1] [4, ??) .
? 2x ? y ? 0 ? x? y 10.若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?
▲ ,

y?1 = x?2



.

数学(文科)试题卷·第 6 页(共 4 页)

1 2 11. 已知命题 p: ?x ? R ,x-1>lnx.命题 q: ?x ? R , x ? 0 ,则 ? p:
答案:8, [ ?3, ? ] 。 是 ▲ (填真命题或假命题)。



,命题 p∧( ? q)

答案: ?x ? R, x ? 1 ? sin x ,真命题。 13. 若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的 ▲ ,此多面体外接球的表面积是 ▲ . 答案:
5 6

体积是

3?

解:三视图复原几何体如图: 是正方体去掉一个角后的几何体,它的外接球就是展开为正方体的外接球,外 接球的直径就是正方体的体对角线的长度,体对角线的长度为: ,所以外接球的半径为: ;所以 球的表面积为: =3π.
sin ? ?

外接

? x 2 ? c o sx , x? 0 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 2 是奇函数,则 ?? x ? sin( x ? ? ), x ? 0

▲ 答案: ?1



14. 已知点 A(0, 2)为圆 M : x2 + y2 - 2ax - 2ay = 0(a > 0)外一点, 圆 M 上存在点 T 使得
? MAT 45o ,则实数 a 的取值范围是



.

答案: 3 ?1 ? a ? 1 15.已知 O 是 ?ABC 内心,若 AO ? AB ? AC ,则 cos ?BAC = 答案: ? cos ?BAC ? 。 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 16.已知函数 f ( x) ?
1 3 sin x ? cos x ? cos 2 x( x ? R). 2

2 5

1 5



.

1 4

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;
数学(文科)试题卷·第 7 页(共 4 页)

(2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B ? 30? , c ? 3, f (C) ? 1 , 判断△ABC 的形状,并求三角形 ABC 的面积. 解:(1) f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x =
?
1 2

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 6 2 2

x ? R ??1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? f ( x)的最小值是 -1 6 2? ?T ? ? ? ,故其最小正周期是 ? 2 ? (2) ∵ f (C ) ? 1 ? sin( 2C ? ) ? 1 6 ? ? 11? 又∵0<2 C <2π,∴ ? ? 2C - ? 6 6 6 ? ? ? ∴ 2C - ? ,? C ? 3 6 2 ? ? ∵B= ,∴A= ,∴△ABC 是直角三角形 6 2

由正弦定理得到:

c 3 b ? 3 ? 2 ,∴ b ? 1 = sin B sin C 2
3 2

设三角形 ABC 的面积为 S, ∴S=

17.已知数列 {an } ( n ? N* , 1 ≤ n ≤ 46 )满足 a1 ? a ,

? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

n ? N* .

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2) 设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16}. 若 a ? 1 ,d ? 1 , 求证:2?M ;
3

4

解:(1)当 a ? 1 时,
1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d

因为 d ? 0 , d ? 1 ≥ 2 ,或 d ? 1 ≤ ?2 ,
d d

所以 a46 ? (??, ?14]

[46, ??) .

数学(文科)试题卷·第 8 页(共 4 页)

(2)①由题意 an ? 1 ? n ? 1 , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? i ? j ? k ? 3 .
3 4 4

令 1 ? i ? j ? k ? 3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 .
4

因为 i, j, k ? N? , 1 ≤ i ?

j ? k ≤ 16 ,

所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M .

18.在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD / / BC ,AB ? BC 侧面 PAB ?
PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。 底面 ABCD ,
P

( 1 ) 若 PB 中 点 为 E 。 求 证 : A
AE //平面PCD ;

D

( 2 )若 ?PAB ? 600 ,求直线 BD 与平 所成角的正弦值。 证明(1)取 PC 的中点 F ,连结 DF , EF

B

C



PCD

EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形。 ? AE //DF

,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内,

所以 AE //平面PCD (2)等体积法 令点 B 到平面 PCD 的距离为 h
VP ? BCD ? VB ? PCD
VP ? BCD ? 4 1 3 , VB ? PCD ? S?PCD h 3 3

又 S?PCD ? 15
?h ? 4 5
数学(文科)试题卷·第 9 页(共 4 页)

4 h 10 ? 5 ? 直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? 。 BD 2 2 5

19. 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 x 上 有 四 点 点M (3,0) , A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 、 C( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) , 线 AB、CD 都过点 M,且都不垂直于 x 轴,直 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴, 交 AC 于点 P, 交 BD 点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. O

y
C A

P
M

直 线 x 于

D

Q

B

22.(1)设直线 AB 的方程为 x ? m y ? 3 ,与抛物线联立得: y 2 ? 2my ? 6 ? 0 ∴ y1 y 2 ? ?6 (2) 直线 AC 的斜率为
y1 ? y3 2 2 ? ∴直线 AC 的方程为 y ? ( x ? x1 ) ? y1 x1 ? x3 y1 ? y3 y1 ? y3
6 ? (? 6 ) y3 y2 6( y 2 ? y 3 ) y 2 y3 ? 6

∴点 P 的纵坐标为 y P ?

6 ? y1 y3 ? 6 y1 ? y3 ? ? y3 y2 6( y3 ? y 2 ) y 2 y3 ? 6

?

同理:点 Q 的纵坐标为 yQ ?

∴ yP ? yQ ? 0 ,又 PQ⊥x 轴∴MP=MQ

20.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? a ? x 2 ? kx ,(a为常数且0 ? a ? 4) 。 (1)若 a ? k ? 1 ,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点 x1 , x2 。求
1 1 的取值范围。 ? x1 x2

数学(文科)试题卷·第 10 页(共 4 页)

解:(1)若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x 2 ? 1 ? x 2 ? x ? 2 ,即 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 ,? x ? 1或x ? ? ; 若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x 2 ? 1 ? x 2 ? x ? 2 ,即 1 ? x 2 ? x 2 ? x ? 2 ,? x ? 1 ,无解。
3? 综上所述: f ( x ) ? 2 的解集 ? ? x x ? 1或x ? ? ? 。 ? 2?

3 2

(2)因为 0 ? a ? 4 ,所以 f ( x ) ? ?

2 ? ? 2 x ? kx ? a

x ? ( a , 2) x ? (0, a ]

? ? kx ? a

因为函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点有两种情况:可以在 (0, a ] 上有一解,在
( a ,2) 上有一解或在 ( a ,2) 上有两解。

当 f ( x ) ? 0 在 ( a ,2) 上有两解:
?k ? ? a ? f ( a) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ?k ? a ? 8 ? ? ? ? ?? ? 0 2 ?? ? ? k ? 2 2a或k ? ?2 2a ? a??k ?2 ? ? ? ? 4 ? k ? ?4 a

?4 a ? ? a ,所以无解。

当在 (0, a ] 上有一解,在 ( a ,2) 上有一解:
a ? ?k ? ? a a?8 ?0 ? ? ? a ? k ? ? a ??a ? 8 , 0 ? a ? 4 ,? ? 2 ?k?? a ?(8 ? 2k ? a )(2a ? k a ? a ) ? 0 ? ? 2 ?

所以 k 的取值范围为

a?8 ?k?? a。 2

a ? k ? k 2 ? 8a 不妨令 x1 ? ? , x2 ? k 4
? 1 1 k 4 ? ?? ? ? x1 x2 a k 2 ? 8a ? k k 2 ? 8a ? k 2a

令 f (k ) ? k 2 ? 8a ? k 所以 f ( k ) 在区间 (
? f (k ) ? (4 a ,4)
数学(文科)试题卷·第 11 页(共 4 页)

a?8 , ? a ) 上为减函数 2

?

1 1 2 2 ? ?( , )。 x1 x2 a a

数学(文科)试题卷·第 12 页(共 4 页)


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