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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮专题复习 第四周 星期一 三角与数列习题 理


星期一

(三角与数列)

1.三角知识(命题意图:考查解三角形的知识与数列知识的交汇问题,主要涉及正弦定理、 余弦定理以及等差中项的应用.) 在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. → → 3 (1)若BA·BC= ,b= 3,求 a+c 的值; 2 (2)求 2sin A-sin C

的取值范围. π 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B= . 3 → → 3 因为BA·BC= , 2 3 即 accos B= , 2 1 3 所以 ac= ,即 ac=3, 2 2 因为 b= 3,b =a +c -2accos B, 所以 a +c -ac=3, 即(a+c) -3ac=3, 所以(a+c) =12, 所以 a+c=2 3. (2)由(1)知 2sin A-sin C=2sin? =2?
2 2 2 2 2 2 2

?2π -C?-sin C ? ? 3 ?

1 ? 3 ? cos C+ sin C?-sin C= 3cos C. 2 ?2 ? 2π 3 ? ? 因为 0<C< ,所以 3cos C∈?- , 3?, 3 2 ? ? 3 ? ? 所以 2sin A-sin C 的取值范围是?- , 3?. ? 2 ? 2.数列知识(命题意图:考查等差、等比数列的性质及基本运算,考查分组求和、公式求和、 错位相减法求和等.) 已知数列{an}是首项 a1=1 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}是首项 b1=2 的等比数列, 且 b2S2=16,b1b3=b4. (1)求 an 和 bn; (2)令 c1=1,c2k=a2k-1,c2k+1=a2k+kbk(k=1,2,3…),求数列{cn}的前 2n+1 项和 T2n+1. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,

-1-

则 an=1+(n-1)d,bn=2q

n-1

.

由 b1b3=b4,得 q= =b1=2. 由 b2S2=2q(2+d)=16, 解得 d=2, ∴an=2n-1,bn=2 . (2)∵T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2·b2)+…+a2n-1+(a2n+nbn) =1+S2n+(b1+2b2+…+nbn). 令 A=b1+2b2+…+nbn, 则 A=2+2·2 +…+n·2 , ∴2A=2 +2·2 +…+n·2 两式相减,得 -A=2+2 +…+2 -n·2 ∴A=n·2
n+1
2 2 3 2

b4 b3

n

n

n+1



n

n+1



-2

n+1

+2.

2n(1+a2n) 2 又 S2n= =4n , 2 ∴T2n+1=1+4n +n·2 =3+4n +(n-1)·2
2 2

n+ 1

-2

n+1

+2

n+1

.

-2-


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