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安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高三上学期统一考试数学文试题


2015 届安师大附中、马鞍山二中统一考试试卷 数学试题(文科)
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将答案写在答题卷上) 1.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 ( ▲ ) A. 1 B. ?i C.

r />i

D. ?1

2. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | A. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1}

x ) ? 0}, 则 A B ? (▲ x?2 B. {x |1 ? x ? 2 或 x ? 3}
D. {x | 0 ? x ? 1 或 x ? 3} ) ? an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? (▲

3.在数列{ an }中,若 a1 ? 1 ,且对所有 n ? N ? , 满足 a1 ? a2 ? A.

25 16

B.

61 16

C.

25 9

D.

31 15

4. 已知 a , b 是两个非零向量,给定条件 p :| a ? b |?| a | | b |; 条件 q : ?t ? R, 使得

a ? t b ,则 p 成立是 q 成立的 (▲ )
A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ? 2 2 5.已知 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是 (▲ ) ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ?
A. 3 B.

25 4

C.

12 5

D.

144 25

6. 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c 。若 c ? a cos B ? (2a ? b)cos A , 则 △ ABC 的形状为( A.等腰三角形 ) B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

7.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

) ), g ( x) ? sin(2 x ? ) ,下列说法正确的是 (▲ 3 3 2? A. f ( x) 的图象可以由 g ( x) 的图象向左平移 个单位得到 3 B. f ( x) 的图象可以由 g ( x) 的图象向右平移

?

?

?

3

个单位得到

C. f ( x) 的图象可以由 g ( x) 的图象关于直线 x ?

?
2

对称变换而得到

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D. f ( x) 的图象可以由 g ( x) 的图象关于直线 x ?

?
4

对称变换而得到

8. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ▲ )

64 3 16 C. 3
A.

80 3 43 D. 3
B.

9.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? R . 当 x ? ? 0,3? 时, f ( x) ? x ,则 f (2014) ? ( ▲ )
2

A. 5

B. ?5

C. ?1

D. 1

10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? ( | x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) , 若 ? x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为 ( ▲ ) A. [ ?

1 2

1 1 , ] 6 6

B. [ ?

6 6 , ] 6 6

C. [ ?

1 1 , ] 3 3

D. [ ?

3 3 , ] 3 3

二.填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案写在答题卷上) 11. 在△ ABC 中,若 b ? 5? ?B ?

?
4

? a

则a= ▲ .

12. 下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比 数 列,且每一行的公比相等,记第 i 行第 j 列的数为 a i j ( i ? j? i 、 j ? N )? 则 a 83 等于 ▲ .
?

1 4
1? 2 3? 4
…… 13. 已知 x ? (0, 3) ,则函数 y ? 14.已知函数 f ( x) ? ? ▲ . 15. 如图正方形 BCDE 的边长为 a ,已知 AB ?

1 4 3? 3 8 16

1 4 的最小值为 ▲ . ? x 3? x

1 2 x ? 3 x ? 4 ln x 在 [ t , t ? 1] 上不单调,则实数 t 的取值范围是 2

3BC ,将 ?ABE 沿 BE 边折起,折起
A

后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述: ①

AB 与 DE 所成角的正切值是 2 ;
B

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E

C

D

② ③

AB ∥ CE ;
VB ? ACE 的体积是 1 a 2 ;

6 ④ 平面 ABC ⊥平面 ADC ;
⑤ 直线 EA 与平面 ADB 所成角为 30 . 其中正确的有 ▲ .(填写你认为正确的序号)

三、解答题(本大题共 6 道题,满分 75 分) 16. ( 本 题 满 分 12 分 ) 集 合

. 若 A B ? ? , 求实 A ? {( x , y ) | y ? x2 ? mx? 2}, B ? {(x , y ) | x? y? 1 ? 0, 0 ? x ? 2} 数 m 的取值范围.

17.(本题满分 12 分)已知函数 y ? f ( x) 满足: ? a, b ? R, a ? b, 都有 a f (a ) ? b f (b) ?

a f (b) ? b f ( a).
(1) 用定义证明: f ( x) 是 R 上的增函数; (2) 设 x, y 为正实数,若

4 9 ? ? 4, 试比较 f ( x ? y ) 与 f (6) 的大小. x y

18.(本题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (1) 若 m ? n ? 1? 求 cos(

2? ? x) 的值; 3

x x x , 1), n ? (cos , cos 2 ). 4 4 4

(2) 记 f ( x) ? m ? n ,在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 且满足:
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(2a ? c) cos B ? b cos C. 求函数 f ( A) 的取值范围.

19.(本题满分 12 分)已知 a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列{ an }是公差为正的等
? 差数列,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? 1 bn (n ? N ) .

2

(1) 求数列{ an },{ bn }的通项公式; (2) 记 cn ? an bn ,若数列{ cn }的前 n 项和 S n ,求证: S n ? 2.

20. (本题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? BC , AC ? CD, AB ? BC ,

?ADC ? 60 (即:底面是一幅三角板拼成)
(1)若 PA 中点为 E , 求证: BE ∥面 PCD (2)若 PA ? PB ? PC ? 3, PD 与面 PAC
A E

P

D

成 30 角,求此四棱锥的体积.
C B

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax (a ? 0), g ( x) ? min{ x, 4 ? x, 2 ? 1} ,
2 x

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min{ s, t } 是取 s, t 中较小者.
(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意 x1 ? (1, ? ?) ,都存在 x2 ? (0, ? ?) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,求实数

a 的取值范围.
2015 届安师大附中马鞍山二中统一考试文科数学参考答案 一、1. A
2. C 3. B 12. 4. C 5. D 13. 6. D 7. D 8. B 9. C 10. B 二、11. 2 10 三、 16.【解】 由 x ? mx ? 2 ? x ? 1 ? x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 , x ? [0? 2] ,
2 2

1 2

3

14. (0, 1)

15. ①③④⑤

由题设知 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1, x ? [0? 2] 必有零点. 所以:
2

(1)若在[0,2]只有一个零点,则 f (2) ? 0 ? m ? ?

3 2

?(m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ? 或? ? m ? ?1 ---------------- 6 分 1? m ?2 ?0 ? ? 2

? f (2) ? 0 ? 3 m ?1 ? (2)若在[0,2]有两个零点,则 ?0 ? ? ? 2 ? ? ? m ? ?1 . 2 2 ? ? ? 0 ? ?
由(1)(2)知: m ? ?1 .

-------- 11 分

-------------------------------------------------------------

12 分

17.【解】 (1) ? x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 由题意 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ?

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0
因为 x1 ? x2 ? 0

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ). ------------------------- 6 分

故 f ( x) 为 R 上的递增函数.

(2) 由

4 9 1 4 9 1 4 y 9x ? ? 4 ? x ? y ? ( x ? y )[ ( ? )] ? [4 ? 9 ? ? ] x y 4 x y 4 x y

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4 y 9x 1 4 y 9x 25 (当且仅当 时,取等) ? x ? 0? y ? 0, ? x ? y ? [13 ? 2 ? ]? 4 x y 4 x y
即: x ?

5 15 25 , y ? 时, ( x ? y ) min ? ?6 2 4 4

f ( x) 是 R 上的增函数,
因此 f ( x ? y ) ? f (6). ---------12 分

18.【解】 (1) m ? n ? 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4
--------3 分

?
∵ m ? n ? 1,

3 x 1 x 1 x ? 1 sin ? cos ? ? sin( ? ) ? . 2 2 2 2 2 2 6 2
∴ sin( ?

? x ? 1 cos( x ? ) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ) ? ? 3 2 6 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos ( x ? ) ? ? . 3 3 2
(2) ∵ (2a ? c) cos B ? b cos C.

x 2

?

1 )? ? 6 2

-------------------- 6 分

由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C. ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ).

A ? B ? C ? ? ? sin( B ? C ) ? sin A, sin A ? 0.

1 ? ------------------------------9分 ? B? . 2 3 2? ∴ . 0? A? 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? ? ? ? sin ( ? ) ? 1 . 6 2 6 2 2 2 6 x ? 1 又∵f ( x) ? m ? n ? sin( ? ) ? , 2 6 2 A ? 1 ∴ f ( A) ? sin( ? ) ? . 2 6 2 3 故函数 f ( A) )的取值范围是 (1? ) . ---------------- 12 分 2
∴ cos B ?

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19.【解】 (1)由 a2 ? a5 ? 12? a2 a5 ? 27? 且 d ? 0 得 a2 ? 3? a5 ? 9 .

d? ∴

a5 ? a2 ? 2? a1 ? 1 .∴ an ? 2n ? 1 (n ? N ? ) . 3 在 Tn ? 1 ? 1 bn 中,令 n ? 1 , 得 b1 ? 2 . 2 3

---------------- 3 分

当 n ? 2 时 ? Tn ? 1 ? 1 bn ? Tn ?1 ? 1 ? 1 bn ?1?

2

2

两式相减得 bn ? 1 bn ?1 ? 1 bn .

2

2



bn ? 1 (n ? 2) . ∴ bn ? 2 ( 1 ) n ?1 ? 2 (n ? N ? ) . n bn ?1 3 3 3 3

---------------- 6 分

2? (2)cn ? (2n ? 1) ? 2 ? 4n ? 3n 3n ? 1)? ∴ S n ? 2( 1 ? 3 ? 5 ? ? 2n n 3 32 33 3 Sn 3 ? 2n ? 1) . ? 2( 1 ? 3 ? ? 2n ? 3 32 33 3n 3n ?1
① - ② 得

① ②

2 S ? 2[ 1 ? 2( 1 ? 1 ? 3 n 3 32 33

? 1] ?1 ) ? 2nn ? n 3 3 1

--------------------- 9 分

? 2[ 1 ? 3

1 ) 2 ? 1 (1 ? n 9 3 ?1 ? 2n ? 1] 3n ?1 1? 1 3

? 1) ? 4 ? 4n ? 4 . ? 2( 1 ? 1 ? 1 ? 2nn ? n 3 3 3 3 3 1 3n ?1 2?2 ∴ S n ? 2 ? 2n ? n 3

------------------

12 分

20【解】 (1)设 AC , AD 的中点分别为 G , F . 易证 B, G , F 三点共线

P

? BF ∥ CD ? BF ∥面 PCD
EF ∥ PD ? EF ∥面 PCD
得:面 BEF ∥面 PCD
A

E F G C B D

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? BE ∥面 PCD
(2)

---------------- 6 分

PA ? PB ? PC ? PG ? 面 ABCD , 则有 PG ? CD.

又 AC ? CD ? CD ? 面 PAC

? PC 是 PD 在面 PAC 内的射影,所以 ?CPD ? 30 .
由 PC ? 3 ? CD ? 3 ? AC ? 3 ? PG ?

------------ 10 分

3 3 3 2 , AB ? BC ? 2 2

? S ABCD ?

9 3 3 ? 4 2
------------13 分

1 9 3 3 3 3 9 ? V ? ?( ? )? ? (2 ? 3). 3 4 2 2 8
21.【解】 (1) f ?( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x ? 0, a ? 0. x x

? f ( x) 的减区间是 (

1 1 , ? ?); 增区间是 (0, ). 2a 2a
无 f ( x)极小值 .

----------- 4 分

f ( x)极大值 =f (

1 1 ) ? ? (1 ? ln 2a); 2a 2

------------ 6 分

(2)依题意:设 A ? { f ( x) | x ? 1}, B ? {g ( x) | x ? 0} ? A ? B

?2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ? g ( x ) ? ? x, 1 ? x ? 2 . ? B ? (?? , 2] ? 4 ? x, x ? 2 ?
① 若

----------------------- 9 分

1 1 1 ? 1 ,在 x ? (1, ??), f ( x) ? (??, ? ? ln 2a) ? A ? B 2a 2 2

1 1 1 ?? ? ln 2a ? 2 ? a ? e ?5 2 2 2 1 ?5 1 故 a ?[ e , ) ; 2 2
② 若0 ?

1 ? 1, 在 x ? (1, ??), f ( x) ?? (??, f (1)) ? A ? (??, 2], 2a
1 符合题意 2
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f (1) ? ?a ? 2 显然成立,故 a ?

综合得: a ?

1 ?5 e . 2

----------------------------------------------------- 14 分

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