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不等式选讲专练


不等式选讲专练 1.(2011· 广州综合测试二)不等式 |x | ? | x ? 1|? 2 的解集是________.

? 1 3? 解析:根据绝对值的几何意义,可直接得到解集为?-2,2?. ? ? ? 1 3? 答案:?-2,2? ? ? 2.不等式|x-8|-|x-4|>2 的解集为________.

解析

/>?4,x≤4, 令:f(x)=|x-8|-|x-4|=?-2x+12,4<x≤8, ?-4,x>8,

当 x≤4 时,f(x)=4>2; 当 4<x≤8 时,f(x)=-2x+12>2,得 x<5, ∴4<x<5; 当 x>8 时,f(x)=-4>2 不成立. 故原不等式的解集为:{x|x<5}.
3(江西文科)对于 x ? R ,不等式 x ? 10 ? x ? 2 ? 8 的解集为_______ 答案: {x x ? 0} 解析:两种方法,方法一:分三段,

(1)当 x ? ?10 时,不等式为 (? x ? 10) ? (2 ? x) ? 8 ,此时不等式无解; (2)当 ? 10 ? x ? 2 时,不等式为 ( x ? 10) ? (2 ? x) ? 8 ,解得: 0 ? x ? 2 (3)当 x ? 2 时,不等式为 ( x ? 10) ? ( x ? 2) ? 8 ,解得: x ? 2

x?0 综上:
4.(2011· 济南)设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 1| ,则 f ( x ) 的最小值是________,若 f ( x) ?5 , 则 x 的取值范围是________.

5-2x ? ? 解析: 函数 f(x)=?3 ? ?2x-5 得 f(x)min=3.

x<1 1≤x≤4 x>4 , 可分段求函数的最小值,

? ? ?x<1 ?1≤x≤4 ?x>4, ? ? 解不等式组 或 或? 求并集得 ? ? ?5-2x≤5 ?3≤5 ?2x-5≤5,

所求 x 的取值范围是[0,5].
5.已知关于 x 的不等式|x-1|+|x| ? k 无解,则实数 k 的取值范围是________.

解析 ∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当 k<1 时,不等式|x-1|+|x|≤k 无解,故 k<1. 6.(2011· 南京模拟)如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是全体实数,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 在数轴上,结合实数绝对值的几何意义可知 a≤-5 或 a≥-3.
7、 (陕西理)若关于 x 的不等式 |a |?| x ? 1| ? | x ? 2 | 存在实数解,则实数 a 的取值范围 是 .

【分析】先确定 | x ? 1| ? | x ? 2 | 的取值范围,再使得 a 能取到此范围内的值即可. 【解】当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ; 当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 , 即实数 a 的取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) .

8.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|.

(1)解不等式 f(x)>2;(2)求函数 y=f(x)的最小值. [审题视点] 第(1)问:采用分段函数解不等式;第(2)问:画出函数 f(x)的图象可 求 f(x)的最小值.



? ? (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|=? ? 1 ? 3x-3 ?-2≤x<4?, ? ? ? ?x+5 ?x≥4?.
-x-5

1? ? ?x<-2?, ? ?

1 当 x<-2时,由 f(x)=-x-5>2 得,x<-7.∴x<-7; 1 5 当-2≤x<4 时,由 f(x)=3x-3>2,得 x>3, 5 ∴3<x<4; 当 x≥4 时,由 f(x)=x+5>2,得 x>-3,∴x≥4.

故原不等式的解集为
? ? ? 5 ?x?x<-7或x> 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)画出 f(x)的图象如图: 9 ∴f(x)min=-2. 9. (2011· 辽宁)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (1)证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; (2)求不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集.

解:(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5| -3, ? ? =?2x-7, ? ?3, x≤2, 2<x<5, x≥5.

当 2<x<5 时,-3<2x-7<3. 所以-3≤f(x)≤3.

(2)由(1)可知, 当 x≤2 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为空集; 当 2<x<5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x<5}; 当 x≥5 时,f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5≤x≤6}, 综上,不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集为{x|5- 3≤x≤6}.
10、 (镇江市 2013 届高三期末)设函数 f ( x) ? (1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.
y y= x+1 + x-2

x ?1 ? x ? 2 ? a .

解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示),
-3 -2 -1

5 y=5 4 3 2 1 O 1 2 3 x

知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .……5 分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ? a ? 3, ? a ? ?3 .……10 分

11、已知函数 f ( x) ? m? | x ? 3 | ,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (2, 4) . (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式 | x ? a |? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 : (Ⅰ)由已知得 x ? 3 ? m ? 2 ,得 5 ? m ? x ? 1 ? m ,即 m ? 3 …… 5 分

(Ⅱ) x ? a ? f ( x) 得 x ? 3 ? x ? a ? 3 恒成立

? x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a) ? a ? 3 (当且仅当 ( x ? 3)( x ? a) ? 0 时取到等号)

? a ? 3 ? 3 解得 a ? 6 或 a ? 0
故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6 …… 10 分

12.(11 分)(2011· 福建)设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M . (1)求集合 M ; (2)若 a, b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小.

解:(1)由|2x-1|<1 得,-1<2x-1<1, 解得 0<x<1, 所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1. 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b.


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