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正弦定理、余弦定理复习学案


正弦定理、余弦定理
正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(见图示) 已

知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ? 三、讲解范例:

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B
0 0

解:? c ? 10, A ? 45 , C ? 30
0

0

∴ B ? 180 ? ( A ? C) ? 105
0

0



a c ? 得 sin A sin C

a?

c sin A 10 ? sin 450 ? ? 10 2 sin C sin 300



b c c sin B 10 ? sin 1050 6? 2 ? 得b ? ? ? 20sin 750 ? 20 ? ?5 6 ?5 2 0 sin B sin C sin C 4 sin 30

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C 解:∵

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 600 ,?C ? B, C为锐角, ?C ? 300 , B ? 900
∴ a ? b2 ? c 2 ? 2 例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

a c c sin A 6 ? sin 450 3 解:? ? ,? sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
?当C ? 600 时,B ? 750 , b ? c sin B 6 sin 750 ? ? 3 ? 1, sin C sin 600 c sin B 6 sin 150 ? ? 3 ?1 sin C sin 600

?当C ? 1200 时,B ? 150 , b ?

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200
1.余弦定理 :三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍 即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

正弦定理、余弦定理、解斜三角形
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内) 1.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是
2 2





A.锐角三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ( )

2.在△ABC 中, a ? 4 sin 10?, b ? 2 sin 50?, ?C ? 70? ,则 S△ABC=

1 1 B. 8 4 sin A cos B cos C ? ? 3.若 则△ABC 为 a b c
A.

C.

1 2

D.1 ( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 ( A.90° B.120° C.135° D.150° 5.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? A.a≥3 B.a>-1



a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
C.-1<a≤3 D.a>0





6.△ABC 中,∠A,∠B 的对边分别为 a,b,且∠A=60°, a ?

6, b ? 4 ,那么满足条件
( ( ) )

的△ABC A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 7.已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3
( )

8.锐角△ABC 中, sin( A ? B) ? P, sin A ? sin B ? Q, cos A ? cos B ? R ,则 A.Q>R>P B.P>Q>R C.R>Q>P D.Q>P>R

9.△ABC 的内角 A 满足 sin A ? cos A ? 0, 且 tan A ? sin A ? 0, 则 A 的取值范围是( A. (0,



? ) 4
2

B. (

? ? , ) 4 2

C. (
2

? 3 , ?) 2 4

D. (

? 3 , ?) 4 4


10.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos A.等腰三角形 B.直角三角形

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2
D.钝角三角形 )

C.锐角三角形

11.在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,则三角形最小的内角是(

A.60° B.45° C.30° D.以上都错 12.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( )

A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,答案填在横线上) 13.在△ABC 中,a+c=2b,A-C=60°,则 sinB= . 14.在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B= 时,BC 的长取得最大值. 15.在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD ?

7 ,那么 BC= 2

.

16.△ABC 的三个角 A<B<C,且成等差数列,最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 . 一、选择题: 1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° ( B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45° ( B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA ( ) ) ) ( )

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA

4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

5、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根, 那么角 B A.B>60° B.B≥60° C.B<60° D.B ≤60° ( D.不定 α ( A ) ) ( )

6、满足 A=45°,c= 6 ,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为 A.4 B.2 C .1

7、 如图: D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β , (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于

a sin ? sin ? A. sin(? ? ? )

a sin ? ? sin ? B. cos(? ? ? )

?

?

B

C.

a sin ? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? sin ? cos(? ? ? )

D

C

8 、两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30 ° ,B 在 C 南 偏东 60°,则 A,B 之间的相距 A.a (km) 二、填空题: 9、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= B. 3 a(km) C. 2 a(km) D.2a (km) ( )

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12

10、在Δ ABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为 12π ,则外接圆的半径为_____.

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4 31 12、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)= ,则 cosC=_______. 32
11、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC= 三、解答题: 13、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B

正弦、余弦定理与解三角形
一、1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A

二、13.

39 8

14.40°

15.9 16.1:2:3

一、BDBBD

AAC

二、 (9)钝角 (10)

14 3 3

(11)

? 4

(12)

1 8

三、 (13)分析:化简已知条件,找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理

cos60? ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? (a ? c) 2 ? 0 , 2ac 2ac 2
cos A

2 ?a ? c . 由 a=c 及 B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由 b 2 tan A ? a 2 tan B ? b sin A

a 2 sin B sin B cos A b 2 sin 2 B ? ? ? ? ? sin A cos A ? sin B cos B,? sin 2 A ? sin 2 B, ∴ A=B cos B sin A cos B a 2 sin 2 A
或 A+B=90 ° , ∴ △ ABC 为 等 腰 △ 或 Rt △ . ③ ? sin C ? sin A ? sin B , 由 正 弦 定 理 : cos A ? cos B

c(cos A ? cos B) ? a ? b, 再由余弦定理: c ?

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 ? c? ? a?b 2bc 2ac
2 2 ④由条件变形为 sin(A ? B) ? a ? b 2 sin( A ? B) a ? b 2

? (a ? b)(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0,? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? ?ABC为Rt? .

?

sin( A ? B) ? sin( A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A ? 2 ,? ? ? sin 2 A ? sin 2B,? A ? B或A ? B ? 90? . sin( A ? B) ? sin( A ? B) b cos A sin B sin 2 B

∴△ABC 是等腰△或 Rt△.


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