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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 专题六 图表信息类问题


专题讲座六 图表信息类问题

所谓图表信息类问题,就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息,要求考生依 据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题,主要考查同学们识图看表 的能力以及处理信息的能力.解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用,按照 题意要求,准确地输出信息.

图表信息与推理 合情推理是归纳推理与类比

推理的统称,具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作 用.其实质是“发现”,它是发展我们创新意识的重要途径,随着课程改革的推进,近几年 的高考题对利用图表信息进行合情推理的考查有所加强. 把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵, 然后擦去第偶数行中的奇数和第奇 数行中的偶数, 得到如图乙所示的三角形数阵, 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列, 得到一个数列{an},若 an=2 015,则 n=________.

k(k+1) [解析] 图乙中第 k 行有 k 个数,第 k 行最后一个数为 k2,前 k 行共有 个数, 2 由 44×44=1 936,45×45=2 025 知 an=2 015 出现在第 45 行,第 45 行第一个数为 1 937, 2 015-1 937 44(44+1) 第 +1=40(个)数为 2 015.所以 n= +40=1 030. 2 2 [答案] 1 030 [规律方法] 本题考查归纳推理.归纳推理是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种 推理形式,像本题这样通过观察、试验、思考,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性 的结论,乃是科学发现的最基本的方法之一.

图表信息与统计 统计这一章出现了许多图与表,如频率分布直方图、折线图、茎叶图、随机数表、频率 分布表等. (2015· 东北三校第二次联考)某个团购网站为了更好地满足消费者, 对在其 网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对产品进行打分, 最高分是 10 分.上个月该网站共卖出了 100 份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产 品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组

[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示:

(1)分别求第三、四、五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品. ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,设第 4 组中有 X 个产品被购买,求 X 的分布列和数学期望. [解] (1)第三组的频率是 0.150×2=0.3;第四组的频率是 0.100×2=0.2;第五组的频 率是 0.050×2=0.1. (2)① 由题意可知,在分层抽样的过程中第三组应抽到 6×0.5 =3 个,而第三组共有 C1 1 28 100×0.3=30 个,所以甲、乙两产品同时被选中的概率为 P= 3 = . C30 145 ②在分层抽样的过程中,第四组应抽到 2 个.第四组共有 X 个产品被购买,所以 X 的 取值为 0,1,2.
2 1 1 C1 C1 6 2 8 C2 1 3+C3 3C2+C2 2 P(X=0)= = = ;P(X=1)= = ;P(X=2)= 2= . 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以 X 的分布列为 X P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

8 1 2 X 的数学期望 E(X)= + ×2= . 15 15 3 [规律方法] 频率分布直方图反映样本的频率分布;作频率分布直方图的一般步骤为: (1)计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差;(2)决定组距与组数;(3)将数据分组; (4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图.

图表信息与方程、不等式 根据图表信息列方程或不等式解决的问题, 大都通过图象、 表格或几何图形的形状特征、 位置特征、变化趋势以及数据、数量特征等方面来呈现信息;要求根据图表信息得到方程或 不等式,由此解决问题,其根本在于得到数量之间的关系. 根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(k,k +1)(k∈N),则 k 的值为________. x e
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2

[解析] 设 f(x)=ex-x-2,由已知表格可得 f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1) =2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0,故 f(1)· f(2)<0,所以函数 f(x)=ex-x-2 的一个零点即方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2),即 k 的值为 1. [答案] 1 [规律方法] 函数零点所在区间的判定,可从两方面求解:一是根据函数零点存在性定 理求解;二是根据函数图象求解.

图表信息与函数 图表信息与函数、三角函数结合是高考的热点,求解的关键是抓住图形的一些信息,利 用其信息所给数量求解问题. 某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法, 具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的,超出 4 吨的 部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系式; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻, 该地政府号召市民节约用水, 如果每个月消费不超过 12 元, 该家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 月用水 量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例. [解] (1)y 关于 x 的函数关系式为 2x,0≤x≤4, ? ? y=?4x-8,4<x≤6, ? ?6x-20,x>6. (2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 22×2)≈13(元). 77 (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5,所以“节约用水家庭”的频率为 =77%,据 100 此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%. [规律方法] (1)一些实际问题,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建 分段函数模型,如本例. 1 (6×1 + 8×3 + 12×3 + 16×3 + 12

(2)解答函数应用题框图表示如下:

1.如图是一个几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,侧视图为一直角三角形, 俯视图为一直角梯形,则此几何体的体积是( )

1 A. 2 C. 2 2

B. 2 D.1

解析:选 A.由三视图可知该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,上、下底长分别为 1、 2,高为 1,顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点,四棱锥的高为 1,因此该 1 1 1 几何体的体积为 × ×(1+2)×1×1= . 3 2 2 2.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设 aij(i,j∈N*)是位于这个三 角形数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数, 如 a63=18, 若 aij=2 016, 则 i+j=( ) 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ? A.77 B.78 C.79 D.80 解析:选 D.观察此三角形数表可得到以下信息:(1)奇数行中都是奇数,偶数行中都是 偶数;(2)第一行有 1 个数,第二行有 2 个数,第三行有 3 个数,?,依次类推,第 2n 行有 2n 个数;(3)单看偶数行,第 2 行、第 4 行共有 6 个数,而第 4 行最后一个数为 12=6×2, 第 2 行、第 4 行、第 6 行共有 12 个数,而第 6 行最后一个数为 24=12×2,?,依次类推, (2+2n)n 2 前 2n(n∈N*)行(包括第 2n 行)共有 2+4+6+?+2n= =n +n(个)偶数, 第 2n 行 2 2 112-2 016 的最后一个数为 2n2+2n, 当 n=32 时, 2n2+2n=2 112, 故 2 016 应在第 64 行. 又 2 =48,所以 2 016 应在第 64 行从左往右数第 64-48=16(个)数,所以 i+j=64+16=80.

3.在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过点 B(a3,a4), C(a5,a6),D(a7,a8),?,按此规律一直运动下去,则 a2 013+a2 014+a2 015=________.

解析:数列{an}的奇数项满足 a1=1,a3=-1,a5=2,a7=-2,?,可得 a4k-3=k, a4k-1=-k;偶数项满足 a2=1,a4=2,a6=3,a8=4,?,可得 a2k=k.所以 a2 013+a2 014+ a2 015=a4×504-3+a2×1 007+a4×504-1=504+1 007-504=1 007. 答案:1 007 4. (2015· 山东青岛八中调研)已知函数 f(x)的定义域为[-2, +∞), 部分对应值如下表, b+3 f′(x)为 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的 a+3 取值范围是________. x f(x) -2 1 0 -1 4 1

解析:由 y=f′(x)的图象知,f(x)在(-2,0)上递减,在(0, +∞)上递增. 由于 f(-2)=1,f(4)=1, ∴-2<2a+b<4. 0<2a+b<4, ? ? ∴a,b 满足?a>0, 作出点(a,b)的可行域.(如图中 ? ?b>0, 阴影部分) b+3 b+3 ?3 7? 可以看作动点(a,b)与点 C(-3,-3)连线的斜率.故 ∈ , . a+3 a+3 ?5 3? 3 7? 答案:? ?5,3? 5.某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示 30 人的饮食指 数.说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉 类为主.

(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其 30 位亲属的饮食习惯; (2)根据以上数据完成如下 2×2 列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 总计 (3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析. n(ad-bc)2 附:K2= (其中 n=a+b+c+d 为样本容量) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) k 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 主食肉类 总计

解:(1)30 位亲属中 50 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为主. (2)2×2 列联表如下: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 总计
2

主食肉类 8 2 10

总计 12 18 30

4 16 20

30×(8-128) (3)K2= =10>6.635, 12×18×20×10 所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 6.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才停止,这 段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过 140 km/h),对这 种汽车进行测试,测得数据如下表: 刹车时车速(km/h) 刹车距离(m) 0 0 10 0.3 20 1.0 30 2.1 40 3.6 50 5.5 60 7.8

(1)以车速为 x 轴,刹车距离为 y 轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑 的曲线连接这些点,得到函数的大致图象; (2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式; (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为 46.5 m,请推测刹 车时的速度是多少?请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶? 解:(1)

(2)依据图象,设函数解析式为 y=ax2+bx+c,将表中的前三组数值代入,得 c=0, a=0.002, ? ? ? ? ?100a+10b+c=0.3,解得?b=0.01, ? ? ?400a+20b+c=1.0, ?c=0, ∴函数的解析式为 y=0.002x2+0.01x(0≤x≤140). 经检验,表中的其他各组值也符合此解析式. (3)当 y=46.5 时,即 0.002x2+0.01x=46.5, ∴x2+5x-23 250=0, 解得 x1=150,x2=-155(舍去), ∴推测刹车时的速度为 150 km/h. ∵150>140,∴发生事故时,汽车超速行驶.


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