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【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题四 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直 理


第2讲

空间中的平行与垂直

1. (2015·北京)设 α , β 是两个不同的平面, m 是直线且 m? α .则“m∥β ”是“α ∥β ” 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

2.(2013·浙江)设 m,n 是两条不同的

直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 3.(2015·江苏)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.

1

1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性 质定理对命题的真假进行判断,属基础题.2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与 面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 查,难度中等.

热点一 空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题; (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结 合有关定理来进行判断. 例 1 (1)(2015·广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是 平面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的是( A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 (2)平面 α ∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α ,a∥β B.存在一条直线 a,a? α ,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间 位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要 时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能 完全引用到立体几何中. 跟踪演练 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不重合的平面,给出下列命题: ①若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α ; ③若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β ;
2

)

)

④若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β . A.0 C.2 热点二 空间平行、垂直关系的证明 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之 间的平行、垂直关系相互转化. B.1 D.3

例 2 (2015·广东)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平 面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC∥平面 PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离.

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二 是利用平行四边形进行平行转换; 三是利用三角形的中位线定理证线线平行; 四是利用线面
3

平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③ 线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α ,

a? α ? l⊥a.
跟踪演练 2 如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边 三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE.

热点三 平面图形的折叠问题 平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发 生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键. 一般地, 在翻折后还在一个平面上的性质 不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变, 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值, 这是化解翻折问题的主要 方法. 例 3 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

4

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?请说明理由.

思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口; (2)存在探索性问题可先
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假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论. 跟踪演练 3 (2014·广东)如图(1),四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC =2,作如图(2)折叠,折痕 EF∥DC.其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF.

(1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 M-CDE 的体积.

热点四 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角往往涉及空间几何体的结构特征和空间线面关系的推理, 多以特殊的棱 柱和棱锥为载体,如长方体、有一条侧棱与底面垂直的棱锥等,试题比较简单,多以直接求 解直线和平面所成的角,有时也会出现在解答题的某一问中. 例 4 (2015·浙江)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=

AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点.
(1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值.

6

思维升华 求解直线和平面所成的角的关键是找出或作出平面的垂线, 进而根据 直线和平面所成的角的定义确定其平面角, 即可将所求角转化为三角形的内角求 解. 跟踪演练 4 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=AA1= 2,BC=2.则直线

A1B 与平面 BCC1B1 所成的角为
________.

1.不重合的两条直线 m,n 分别在不重合的两个平面 α ,β 内,下列为真命题的是( A.m⊥n? m⊥β C.α ∥β ? m∥β 2.如图,在直四棱柱 ABCD- B.m⊥n? α ⊥β D.m∥n? α ∥β

)

A1B1C1D1 中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(1)求证:D1C⊥AC1; (2)问在棱 CD 上是否存在点 E,使 D1E∥平面 A1BD.若存在,确定点 E 位 置;若不存在,说明理由.

7

提醒:完成作业 专题四 第 2 讲

8

专题四

第2 讲 空间中的平行与垂直

A组

专题通关

1.(2015·温州模拟)已知 a、b、c 是三条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,下列条 件中,能推导出 a⊥α 的是( )

A.a⊥b,a⊥c,其中 b? α ,c? α B.a⊥b,b∥α C.α ⊥β ,a∥β D.a∥b,b⊥α 2.(2015·湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交, 则( )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别是 AA1,A1D1,CC1,

BC 的中点,给出以下四个结论:
①A1C⊥MN;②A1C∥平面 MNPQ;③A1C 与 PM 相交;④NC 与 PM 异面.其中不 正确的结论是( ) D.④

A.① B.② C.③

4.已知 α ,β 是两个不同的平面,有下列三个条件: ①存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ∥β ; ②存在一条直线 a,a? α ,a⊥β ; ③存在两条垂直的直线 a,b,a⊥β ,b⊥α . 其中,所有能成为“α ⊥β ”的充要条件的序号是( A.① C.③ B.② D.①③
9

)

5.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的 是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 6.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 关系是________.

AM AN = ,则直线 MN 与平面 BDC 的位置 MB ND

7.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于 圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 8.(2015·浙江)如图,三棱锥 ABCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是 ________. 9.(2015·山东)如图,三棱台 DEFABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,

BC 的中点.
(1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

10

10.(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.

B组

能力提高 )

11.(2015·丽水模拟)已知平面 α 、β 、γ ,则下列命题中正确的是( A.α ⊥β ,α ∩β =a,a⊥b,则 b⊥α B.α ⊥β ,β ⊥γ ,则 α ∥γ C.α ∩β =a,β ∩γ =b,α ⊥β ,则 a⊥b D.α ∥β ,β ⊥γ ,则 α ⊥γ

11

12.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角 的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当

AF=________时,CF⊥平面 B1DF.
13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段 B1D1 上的一个动点,则下列结论中正确 的是________.(填序号) ①AC⊥BE; ②B1E∥平面 ABCD; ③三棱锥 E-ABC 的体积为定值; ④直线 B1E⊥直线 BC1. 14.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

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二轮专题强化练 专题四

第2 讲 空间中的平行与垂直

A组

专题通关

1.(2015·温州模拟)已知 a、b、c 是三条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,下列条 件中,能推导出 a⊥α 的是( )

A.a⊥b,a⊥c,其中 b? α ,c? α B.a⊥b,b∥α C.α ⊥β ,a∥β D.a∥b,b⊥α 2.(2015·湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交, 则( )

A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别是 AA1,A1D1,CC1,

BC 的中点,给出以下四个结论:
①A1C⊥MN;②A1C∥平面 MNPQ;③A1C 与 PM 相交;④NC 与 PM 异面.其中不 正确的结论是( ) D.④

A.① B.② C.③

4.已知 α ,β 是两个不同的平面,有下列三个条件: ①存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ∥β ; ②存在一条直线 a,a? α ,a⊥β ; ③存在两条垂直的直线 a,b,a⊥β ,b⊥α .

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其中,所有能成为“α ⊥β ”的充要条件的序号是( A.① C.③ B.② D.①③

)

5.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的 是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 6.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 关系是________.

AM AN = ,则直线 MN 与平面 BDC 的位置 MB ND

7.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于 圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 8.(2015·浙江)如图,三棱锥 ABCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是 ________. 9.(2015·山东)如图,三棱台 DEFABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,

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BC 的中点.
(1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

10.(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并证明你的结论; (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.

B组

能力提高 )

11.(2015·丽水模拟)已知平面 α 、β 、γ ,则下列命题中正确的是( A.α ⊥β ,α ∩β =a,a⊥b,则 b⊥α B.α ⊥β ,β ⊥γ ,则 α ∥γ

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C.α ∩β =a,β ∩γ =b,α ⊥β ,则 a⊥b D.α ∥β ,β ⊥γ ,则 α ⊥γ 12.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角 的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当

AF=________时,CF⊥平面 B1DF.
13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段 B1D1 上的一个动点,则下列结论中正确 的是________.(填序号) ①AC⊥BE; ②B1E∥平面 ABCD; ③三棱锥 E-ABC 的体积为定值; ④直线 B1E⊥直线 BC1. 14.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

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学生用书答案精析 第2讲 空间中的平行与垂直

高考真题体验 1.B [m? α ,m∥β ? / α ∥β ,但 m? α ,α ∥β ? m∥β ,∴m∥β 是 α ∥β 的必要 而不充分条件.] 2.C 选 C.] 3.证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC? 平面 ABC, 所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1? 平面 BCC1B1,BC? 平面 BCC1B1,BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1, 所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C? 平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1? 平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 热点分类突破 [两条平行线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直这个平面.故

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例 1 (1)D (2)D 解析 (1)若 l 与 l1,l2 都不相交则 l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与 l1 和 l2 异面矛盾, ∴l 至少与 l1,l2 中的一条相交. (2)若 α ∩β =l,a∥l,a?α ,a?β , 则 a∥α ,a∥β ,故排除 A. 若 α ∩β =l,a? α ,a∥l, 则 a∥β ,故排除 B. 若 α ∩β =l,a? α ,a∥l,b? β ,b∥l, 则 a∥β ,b∥α ,故排除 C.故选 D. 跟踪演练 1 C [对于①,垂直于同一个平面的两条直线平行,①正确; 对于②,直线 n 可能在平面 α 内,所以推不出 n∥α ,②错误; 对于③,举一反例,m? β 且 m 与 α ,β 的交线平行时,也有 m∥α ,③错误; 对于④,可以证明其正确性,④正确. 故选 C.] 例 2 (1)证明 因为四边形 ABCD 是长方形, 所以 BC∥AD,因为 BC?平面 PDA,AD? 平面 PDA, 所以 BC∥平面 PDA. (2)证明 因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BC⊥CD,因为平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩ 平面 ABCD=CD,BC? 平面 ABCD, 所以 BC⊥平面 PDC, 因为 PD? 平面 PDC,所以 BC⊥PD. (3)解 如图,取 CD 的中点 E, 连接 AE 和 PE. 因为 PD=PC,所以 PE⊥CD, 在 Rt△PED 中,PE= PD -DE = 4 -3 = 7. 因为平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=CD,PE? 平面 PDC, 所以 PE⊥平面 ABCD, 由(2)知:BC⊥平面 PDC, 由(1)知:BC∥AD, 所以 AD⊥平面 PDC,
18
2 2 2 2

因为 PD? 平面 PDC, 所以 AD⊥PD.设点 C 到平面 PDA 的距离为 h, 因为 V 三棱锥 CPDA=V 三棱锥 PACD, 1 1 所以 S△PDA·h= S△ACD·PE, 3 3 1 ×3×6× 7 S△ACD·PE 2 3 7 即 h= = = , S△PDA 1 2 ×3×4 2 3 7 所以点 C 到平面 PDA 的距离是 . 2 跟踪演练 2 证明 (1)如图,取 CE 的中点 G,连接 FG,BG. ∵F 为 CD 的中点, 1 ∴GF∥DE 且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE, ∴GF∥AB. 1 又 AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形, 则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG? 平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF? 平面 ACD, ∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG? 平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE. 例 3 (1)证明 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC? 平面 A1CB,
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所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明 由题图(1)得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE, 又 BE? 平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下: 如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q, 则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,

DE⊥平面 A1DC,
所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 跟踪演练 3 (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 又因为 ABCD 是矩形,CD⊥AD,PD 与 CD 交于点 D, 所以 AD⊥平面 PCD.又 CF? 平面 PCD, 所以 AD⊥CF,即 MD⊥CF. 又 MF⊥CF,MD∩MF=M, 所以 CF⊥平面 MDF.
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(2)解 因为 PD⊥DC,BC=2,CD=1, ∠PCD=60°, 所以 PD= 3,由(1)知 FD⊥CF, 1 1 在直角三角形 DCF 中,CF= CD= . 2 2 1 3 3 过点 F 作 FG⊥CD 交 CD 于点 G,得 FG=FCsin 60°= × = , 2 2 4 所以 DE=FG= 3 , 4 3 3 3 = , 4 4
2

故 ME=PE= 3-
2

所以 MD= ME -DE = 3 3 2 3 2 6 ? ? -? ? = . 4 4 2

S△CDE= DE·DC= ×

1 2

1 2

3 3 ×1= . 4 8

1 1 6 3 2 故 VM-CDE= MD·S△CDE= × × = . 3 3 2 8 16 例 4 (1)证明 设 E 为 BC 的中点,由题意得 A1E⊥平面 ABC,所以

A1E⊥AE,因为 AB=AC,所以 AE⊥BC.
故 AE⊥平面 A1BC. 由 D,E 分别为 B1C1,BC 的中点,得 DE∥B1B 且 DE=B1B,从而 DE∥A1A 且 DE=A1A, 所以 AA1DE 为平行四边形.于是 A1D∥AE. 又因为 AE⊥平面 A1BC, 所以 A1D⊥平面 A1BC. (2)解 作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE. 所以 BC⊥A1F.又 A1F⊥平面 BB1C1C, 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角. 由 AB=AC=2,∠CAB=90°, 得 EA=EB= 2.

21

由 A1E⊥平面 ABC,得 A1A=A1B=4,A1E= 14. 由 DE=BB1=4.DA1=EA= 2,∠DA1E=90°, 得 A1F= 7 7 .所以 sin ∠A1BF= . 2 8 π 6

跟踪演练 4

解析 如图所示,取 B1C1 的中点 D,连接 A1D,BD. 因为 AB=AC= 2,所以 A1B1=A1C1= 2,又 B1C1=BC=2, 且 B1D = DC1 = 1 , 所 以 A1D⊥B1C1 , 且 A1D = ? 2? -1 =1.
2 2 2 A1B2 1-B1D =

又直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 A1B1C1⊥平面 BCC1B1,且平面

A1B1C1∩平面 BCC1B1=B1C1,
所以 A1D⊥平面 BCC1B1. 故∠A1BD 为直线 A1B 与平面 BCC1B1 所成的角. 又 A1B=
2 2 2 AA2 ? 2? +? 2? =2, 1+AB =

所以 sin∠A1BD=

A1D 1 π = ,故∠A1BD= . A1B 2 6

π 所以直线 A1B 与平面 BCC1B1 所成的角为 . 6 高考押题精练 1.C [构造长方体,如图所示. 因为 A1C1⊥AA1,A1C1? 平面 AA1C1C, AA1? 平面 AA1B1B,但 A1C1 与平面 AA1B1B 不垂直,平面 AA1C1C 与平面 AA1B1B 不垂直.所以选项 A,B 都是假命题.

CC1∥AA1,但平面 AA1C1C 与平面 AA1B1B 相交而不平行,所以选项 D 为假命
题. “若两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题,故选 C.] 2.(1)证明 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 C1D, ∵DC=DD1, ∴四边形 DCC1D1 是正方形,

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∴DC1⊥D1C. 又 AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面 DCC1D1, 又 D1C? 平面 DCC1D1, ∴AD⊥D1C. ∵AD? 平面 ADC1,DC1? 平面 ADC1,且 AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面 ADC1, 又 AC1? 平面 ADC1,∴D1C⊥AC1. (2)解 假设存在点 E,使 D1E∥平面 A1BD. 连接 AD1,AE,D1E, 设 AD1∩A1D=M,

BD∩AE=N,连接 MN,
∵平面 AD1E∩平面 A1BD=MN, 要使 D1E∥平面 A1BD, 可使 MN∥D1E, 又 M 是 AD1 的中点,则 N 是 AE 的中点. 又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE. 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时, 可使 D1E∥平面 A1BD.

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二轮专题强化练答案精析 第2讲 空间中的平行与垂直

1.D [选项 A 中缺少 b,c 相交;选项 B,由 a⊥b,b∥α 可能 a? α ;选项 C 可能 a? α 或 a∥α ,选项 D 正确.] 2.A [由 l1,l2 是异面直线,可得 l1,l2 不相交,所以 p? q;由 l1,l2 不相交,可得 l1,

l2 是异面直线或 l1∥l2,所以 q? /p.所以 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件.故选
A.] 3.B [作出过 M,N,P,Q 四点的截面交 C1D1 于点 S,交 AB 于点 R,如图所示中的六边形

MNSPQR, 显然点 A1, C 分别位于这个平面的两侧, 故 A1C 与平面 MNPQ 一定相交, 不可能平行,
故结论②不正确.

] 4.D [对于①,存在一个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ∥β ,则 α ⊥β ,反之也成立,即“存在一

个平面 γ ,γ ⊥α ,γ ∥β ”是“α ⊥β ”的充要条件,所以①对,可排除 B、C. 对于③,存在两条垂直的直线 a,b,则直线 a,b 所成的角为 90°,因为 a⊥β ,b⊥α , 所以 α ,β 所成的角为 90°, 即 α ⊥β ,反之也成立,即“存在两条垂直的直线 a,b,a⊥β ,b⊥α ”是“α ⊥β ”的 充要条件,所以③对,可排除 A,选 D.] 5.D [∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD,又

平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩CD=D,所以 AB⊥平面 ADC,又 AB? 平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 ADC,故选 D.] 6.平行 解析 由 = ,得 MN∥BD.

AM AN MB ND

24

而 BD? 平面 BDC,MN?平面 BDC, 所以 MN∥平面 BDC. 7.②④ 解析 ①错误,PA? 平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾;④ 正确,因为 BC⊥平面 PAC. 7 8. 8 解析 如图所示,连接 DN,取线段 DN 的中点 K,连接 MK,CK. ∵M 为 AD 的中点,∴MK∥AN,∴∠KMC 为异面直线 AN,CM 所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N 为 BC 的中点,由勾股定理求得

AN=DN=CM=2 2,∴MK= 2.
在 Rt△CKN 中,CK= ? 2? +1 = 3. 在△CKM 中,由余弦定理,得 ? 2? +?2 2? -? 3? 7 cos∠KMC= = . 8 2× 2×2 2 9.证明 (1)方法一 连接 DG,设 CD∩GF=M,连接 MH. 在三棱台 DEFABC 中,
2 2 2 2 2

AB=2DE,G 为 AC 的中点,
可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形. 则 M 为 CD 的中点, 又 H 为 BC 的中点, 所以 HM∥BD,又 HM? 平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 方法二 在三棱台 DEFABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形, 可得 BE∥HF.在△ABC 中,G 为 AC 的中点,

H 为 BC 的中点,所以 GH∥AB.
又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED.
25

又因为 BD? 平面 ABED, 所以 BD∥平面 FGH. (2)连接 HE,GE. 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH∥AB. 由 AB⊥BC,得 GH⊥BC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF∥HC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形, 所以 CF∥HE.又 CF⊥BC,所以 HE⊥BC. 又 HE,GH? 平面 EGH,HE∩GH=H, 所以 BC⊥平面 EGH. 又 BC? 平面 BCD,所以平面 BCD⊥平面 EGH. 10.(1)解 点 F,G,H 的位置如图所示. (2)解 平面 BEG∥平面 ACH, 证明如下: 因为 ABCDEFGH 为正方体, 所以 BC∥FG,

BC=FG,
又 FG∥EH,FG=EH, 所以 BC∥EH,BC=EH, 于是 BCHE 为平行四边形, 所以 BE∥CH, 又 CH? 平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH, 同理 BG∥平面 ACH, 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明 连接 FH,BD. 因为 ABCDEFGH 为正方体,
26

所以 DH⊥平面 EFGH, 因为 EG? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG, 又 EG⊥FH,EG∩FH=O,所以 EG⊥平面 BFHD, 又 DF? 平面 BFHD,所以 DF⊥EG, 同理 DF⊥BG,又 EG∩BG=G, 所以 DF⊥平面 BEG. 11.D [选项 A 中,缺少条件 b? β ,错误;B 中,α 、β 、γ 的关系可参考教室墙角处三 个平面的关系, 易知错误; C 中的 a, b 可能平行或斜交. 由两平面平行的性质可知 D 正确. ] 12.a 或 2a 解析 由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得

AC AF = , A1F A1D x a

2a 3a-x 即 = , 整理得 x -3ax+2a =0, 解得 x=a 或 x=2a. 13.①②③ 1 解析 因 AC⊥平面 BDD1B1,故①、②正确;记正方体的体积为 V,则 VE-ABC= V 为定值,故 6 ③正确;B1E 与 BC1 不垂直,故④错误. 14.(1)证明 如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B? 面 ABB1A1, 所以
2 2

B1C1⊥A1B.
又因为

A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
所以 A1B⊥面 ADC1B1. 因为 A1B? 面 A1BE,
27

所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)解 当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE. 证明如下:易知:EF∥C1D, 1 且 EF= C1D. 2 1 设 AB1∩A1B=O,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?面 A1BE,OE? 面 A1BE. 所以 B1F∥面 A1BE.

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