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2014届上海市黄浦区高三二模数学(理)试题及答案


上海市黄浦区 2014 届高考模拟考试(二模) 数学理试题
(2014 年 4 月 10 日)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答 一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟.

/>一.填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 2

1? x 的定义域是 1? x

. .

2.函数 y ? cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期 T ? 3 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ?? x |

x ?

a ? 0,


, B ? ?x || x ?1|? 3, x ? R? . 若 x ? ?R

(CU A) ?

? B ?[

2,则实数 , 4 ] a 的取值范围是
*

4. 已知等差数列 ?an ? (n ? N ) 的公差为 3 ,a1 ? ?1 ,前 n 项和为 Sn ,则 lim 5.函数 f ( x) ?| loga x | (a ? 0, 且a ? 1) 的单调递增区间是 6.函数 f ( x) ? ? x ( x ? 0) 的反函数是 f
2 ?1

nan 的数值是 n ?? S n
. .



( x) ,则反函数的解析式是 f ?1 ( x) ?

2 2 2

7.方程 log2 (4 ? 3) ? x ? 1 的解 x ?
x

8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边的长度分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ? 3ab, 则 ?C ? .
2

9.已知 x1 ? 1 ? i(i 是虚数单位,以下同)是关于 x 的实系数一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 的一个根, 则实数 a ? ,b ? .

10.若用一个平面去截球体,所得截面圆的面积为 16? ,球心到该截面的距离是 3 ,则这个球的表面 积是 .
1

11.(理)已知向量 a

? (3,?4), b ? (0,?1) ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影是



12 . ( 理 ) 直 线 l 的 参 数 方 程 是 ? 是 .(答案不唯一)

? x ? ?1 ? 2t , (t ? R, t 是 参 数 ) , 则 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 y ? 2 ? t ?

13.(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的 8 个乒乓球(其中 3 个是白色球,5 个是 黄色球),小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回),当摸到的球是黄球时停止摸 球.用随机变量 ? 表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数,则随机变量 ? 的数学期望值

E? ?



?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? 2 ? 若关于 x 的 ?log x.x ? 2 ? 16
方程 [ f ( x)]2 ? a ? f ( x) ? b ? 0 (a、b ? R) 有且只有 7 个不同实数根,则 (理)实数 a 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 a、b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列结论恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab B. [答] ( D. a ? b ? 2ab
2 2

).

a b ? ?2 b a

C. |

a b ? |? 2 b a

16.已知空间直线 l 不在平面 ? 内,则“直线 l 上有两个点到平面 ? 的距离相等”是“ l || ? ”的 [答] ( A.充分非必要条件
2 2

).

B.必要非充分条件 C.充要条件
2 2

D.非充分非必要条件

17.已知 a、b ? R, a ? b ? 0 ,则直线 l:ax ? by ? 0 与圆: x ? y ? ax ? by ? 0 的位置关系是 [答] ( A.相交 B.相切 C.相离 18.(理)给出下列命题: (1)已知事件 A、B 是互斥事件,若 P( A) ? 0.25, P( B) ? 0.35 ,则 P( A ? B) ? 0.60 ; (2)已知事件 A、B 是互相独立事件, 若 P( A) ? 0.15, P( B) ? 0.60 , 则 P( AB) ? 0.51( A 表示事件 A
2

).

D.不能确定

的对立事件); (3) (3 x ?

1 x

)18 的二项展开式中,共有 4 个有理项.
[答]( C.(2)、(3). D.(1)、(2)、(3). ).

则其中真命题的序号是 A.(1)、(2). B.(1)、(3).

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤.

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
0 D 是棱 AA1 的中 ( 理 ) 已知直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2, AA 1 ? 4,

点.如图所示. (1)求证: DC1 ? 平面 BCD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的大小.

C1 A1 B1
D C

A 第 19 题图 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知复数 z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R . (1)求 | z1 ? z2 | 的最小值;



(2)设 z ? z1 ? z2 , 记 f ( x) ? Imz (Imz 表示复数 z 的虚部). 将函数 f ( x) 的图像上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把所得的图像向右平移 求函数 g ( x) 的解析式.

? 个单位长度, 得到函数 g ( x) 的图像. 试 2

21.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 某通讯公司需要在三角形地带 OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建
3

在区域 BOC 内,乙中转站建在区域 AOB 内.分界线 OB 固定,且 OB = (1 ? 3) 百米,边界线 AC C 始终过点 B ,边界线 OA 、OC 满足 ?AOC ? 750 , ?AOB ? 300 , ?BOC ? 450 . 设 OA ? x ( 3 ? x ? 6 )百米, OC ? y 百米. (1)试将 y 表示成 x 的函数,并求出函数 y 的解析式; (2)当 x 取何值时?整个中转站的占地面积 S ?OAC 最小,并求出其面积的最小 值. O 第 21 题图 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N ).
*

B A

(1)求 a3、a5、a7 的值; (2)求 a2 n?1 (用含 n 的式子表示); (3) (理)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n (用含 n 的式子表示).

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (理)已知点 M ( x, y ) 是平面直角坐标系上的一个动点,点 M 到直线 x ? 4 的距离等于点 M 到点

D(1, 0) 的距离的 2 倍.记动点 M 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2) 斜率为

1 3 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点,若直线 l 不过点 P (1, ) ,设直 线 2 2

PA 、PB 的斜率分别为 k PA、k PB ,求 k PA ? k PB 的数值;
(3)试问:是否存在一个定圆 N ,与以动点 M 为圆心,以 MD 为半径的圆相内切?若存在,求 出这个定圆的方程;若不存在,说明理由.

4

参考答案和评分标准(2014 年 4 月 10 日)
一、填空题 1. (- 1,1) ; 2. p ; 3. a < - 4 4. 2 ; 5. [1, + ; 8.

p ; 6


9. a = - 2, b = 2 10. 100p ; 11.(理) 4 ;

);

12.(理) t1 ?(2, 1)(t1 刮0, t1

R) ;

6. f - 1 ( x) = 7. x = log2 3

- x (x


0) ;

13.(理)

3 ; 2

14.(理) - 2 < a < 16.B 17.B 18.D

5 . 4

二、选择题: 15.C 三、解答题 19.本题满分 12 分.

(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系. 由题知, 可得点 C (0,0,0) 、A(2, 0, 0) 、

z C1

B(0, 2, 0) 、 D(2,0, 2) 、 A1 (2,0, 4) 、 C1 (0,0, 4) .

A1 B1
D O(C)

???? ? ???? ??? ? 于是, DC1 ? (?2,0,2), DC ? (?2,0, ?2), DB ? (?2,2, ?2) .
可算得 DC1 ? DC ? 0, DC1 ? DB ? 0 . 因此, DC1 ? DC, DC1 ? DB . 又 DC ? DB ? D , 所以, DC1 ? 平面BDC . (2)设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABD 的法向量.

???? ? ????

???? ? ??? ?



B 第 19 题图

x

y

?

? ??? ? ? n ? AB ? 0, ? ∴ ? ? ???? ? ?n ? AD ? 0. ??? ? ??? ? 又 AB ? (?2, 2,0), AD ? (0,0, 2) ,

5

??2 x ? 2 y ? 0, ∴? ?2 z ? 0.

? x ? 1, ? ? 取 y ? 1 ,可得 ? y ? 1, 即平面 ABD 的一个法向量是 n ? (1,1,0) . ? z ? 0. ?

由(1)知, DC1 是平面 DBC 的一个法向量,

???? ?

? ???? ? ? ???? ? 2? n ? DC1 1 ? ?? , ? ? 记 n 与 DC1 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? ???? . 3 2 | n || DC1 |
结合三棱柱可知,二面角 A ? BD ? C 是锐角, ∴所求二面角 A ? BD ? C 的大小是

? . 3

20.本题满分 14 分 解(1)∵ z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R , ∴ | z1 ? z2 |?

(cos x ? 1) 2 ? (1 ? sin x) 2

? ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) . 4
∴当 sin( x ?

?
4

) ? ?1 ,即 x ? 2k ? ?

? (k ? Z) 时, 4

| z1 ? z2 |min ? 3 ? 2 2 (? 2 ? 1) .
(2)∵ z ? z1 ? z2 , ∴ z ? z1 ? z2 ? sin x ? cos x ? (1 ? sin x cos x)i . ∴ f ( x) ? 1 ? sin x cos x ? 1 ?

1 sin 2 x( x ? R) . 2

将函数 f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后,得到的图像所对应

1 sin x . 2 1 ? n的图像向右平移 把 函 数 y ? 1? s i x 个单位长度,得到的图像对应的函数是 2 2 1 ? y2 ? 1 ? sin( x ? ) . 2 2
的函数是 y1 ? 1 ?
6

∴ g ( x) ? 1 ?

1 ? 1 sin( x ? ) ? 1 ? cos x( x ? R) . 2 2 2

21.本题满分 12 分. 解(1)结合图形可知, S?BOC ? S?AOB ? S?AOC . 于是,

1 1 1 x(1 ? 3) sin 300 ? y (1 ? 3) sin 450 ? xy sin 750 , 2 2 2

解得 y ?

2x (3 ? x ? 6) . x?2 2x (3 ? x ? 6) , x?2

(2)由(1)知, y ?

因此, S?AOC ?

1 1 ? 3 x2 xy sin 750 ? 2 4 x?2 1? 3 4 [( x ? 2) ? ? 4] 4 x?2
4 ,即 x ? 4 时,等号成立). x?2

?

? 2 ? 2 3 (当且仅当 x ? 2 ?

答:当 x ? 400 米时,整个中转站的占地面积 S ?OAC 最小,最小面积是 (2 ? 2 3) ?104 平方米. 12 分 22.本题满分 18 分. 解(1)? a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N ),
*

? a2 ? a1 ? (?1)1 ? 0, a3 ? a2 ? 31 ? 3, a4 ? a3 ? 1 ? 4, a5 ? a4 ? 32 ? 13, a6 ? a5 ? 1 ? 12, a7 ? a6 ? 33 ? 39.
(2)由题知,有 a2n?1 ? a2n?1 ? 3 ? (?1) (n ? N ) .
n n *

7

? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? a2 n ?3 ? a2 n ?5 ? 3n ? 2 ? (?1) n ? 2 ? ? 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ? ? a2 n ?1 ? a1 ? (3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? [(?1) ? (?1) ? ? ? (?1) ] . ? a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2 ? ? a3 ? a1 ? 31 ? (?1)1 ?

∴ a2 n ?1 ?

3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) . 2 3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) , 2

(理)(3) ∵ a2 n ?1 ?

3n ? (?1)n ? 1(n ? N* ) . ∴ a2 n ? 2
∴ a2n?1 ? a2n ? 3n ? 2 . 又 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ,

10 当 n 为偶数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (an?1 ? an )

? (3 ? 2) ? (3 ? 2) ? ? ? (3 ? 2)
1 2

n 2

3 n 3 ? ? 32 ? n ? . 2 2
20 当 n 为奇数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ?? (an?2 ? an?1 ) ? an

? (31 ? 2) ? (32 ? 2) ? ? ? (3
n ?1 2

n ?1 2

? 2) ?

3

n ?1 2

? (?1) 2

n ?1 2

?1

?3

3 (?1) ?n? ? 2 2

n ?1 2



?3 n 3 2 ? ? 3 ? n ? , n为偶数 2 ?2 ( n ? N* ) 综上,有 S n ? ? n ?1 n ?1 ? 2 3 (?1) 2 .n为奇数 ?3 ? n ? ? ? 2 2
8

23.本题满分 18 分.
2 2 (理)解(1)由题知,有 | x ? 4 |? 2 ( x ? 1) ? y .

化简,得曲线 C 的方程: (2)∵直线 l 的斜率为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

1 3 ,且不过 P (1, ) 点, 2 2 1 ∴可设直线 l : y ? x ? m(且m ? 1) . 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 3 2 2 联立方程组 ? 得 x ? mx ? m ? 3 ? 0 . ? y ? 1 x ? m. ? ? 2
又交点为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,

? x1 ? x2 ? ? m, ? 2 ∴ ? x1 x2 ? m ? 3, . ? ? ? 0 ? ?2 ? m ? 2. ?
3 3 y2 ? 2? 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

∴ k PA ? k PB

?

x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2m ? 3 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

? 0.
(3)答:一定存在满足题意的定圆 N . 理由:∵动圆 M 与定圆 N 相内切, ∴两圆的圆心之间距离 | MN | 与其中一个圆的半径之和或差必为定值. 又 D(1, 0) 恰好是曲线(椭圆) C 的右焦点,且 M 是曲线 C 上的动点, 记曲线 C 的左焦点为 F (?1, 0) ,联想椭圆轨迹定义,有 | MF | ? | MD |? 4 , ∴若定圆的圆心 N 与点 F 重合,定圆的半径为 4 时,则定圆 N 满足题意. ∴定圆 N 的方程为: ( x ? 1) ? y ? 16 .
2 2

9


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