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2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案


2014 年广东省高中数学竞赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. ?1, 0, 2 ; 【解析】当 a ? 0 时, A ? ? ? B ,满足题意; 2 当 a ? 0 时, ? ? ?1 或 2,解得 a ? 2 或 ? 1. a 2.
3 11 C5 C13 13 ? .; 14 C18 51
<

br />3. 1 ; 4.5; 【解析】 的图形如下







.

的图象过点(2,1)时 取得最大值=5.

5.



6.

2 ? 15 ; 6

【解析】由已知, cos ? ? sin ? ?

? 2 2 2 cos(? ? ) ? ? 0 . ,∴ 4 3 3 ? 5 又 ? 是锐角,∴ . sin(? ? ) ? 4 3
5? ? ? 5 3 2 1 2 ? 15 . ) ? sin[(? ? ) ? ] ? ? ? ? ? 12 4 6 3 2 3 2 6

sin(? ?

7.设 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? a ? ( x ? y ? m)( x ? 2 y ? 2m) ? a ?

2 9

8.1. 1 2 20 21 【解析】∵ ( 2 ?1)21 ? ( 2)21 ? C21 , ( 2)20 ? C21 ( 2)19 ? ... ? C21 ( 2) ? C21
1 2 20 21 , ( 2 ?1)21 ? ( 2)21 ? C21 ( 2)20 ? C21 ( 2)19 ? ... ? C21 ( 2) ? C21

∴ ( 2 ?1)21 ? ?a ? b 2.
1

从而, 2b2 ? a 2 ? 1 ,若 b ? 0(mod3) ,则 a2 ? ?1(mod3) ,这与

a2 ? 0,1(mod3) 矛盾. ∴ (27, b) ? 1.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 9. (本题满分 16 分) 矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE=1,BF=3, 将四边形 AEFB 沿 EF 折起,使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.求 二面角 A- DE -F 的大小.

B A E D A E B F C F H C D

【解析】 如图, 过 E 作 ER ∥DC , 过 E 作 ES ? 平面 EFCD , 分别以 ER ,ED , ES 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系. ∵B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上,设 B(0, y, z ), y ? 0, z ? 0. ∵F (2, 2,0) , BE ? 5, BF ? 3.
2 2 ? ? y ? 1, ? y ? z ? 5, ?? ?? 2 2 ?4 ? ( y ? 2) ? z ? 9. ? z ? 2. ? ∴B ? 0,1, 2 ? .

1 2 1 2 ∴FB ? ? ?2, ?1, 2 ? ,∴EA ? FB ? (? , ? , ) . 3 3 3 3 设平面 ADE 的一个法向量为 ,又有 ED ? (0,3,0) . 1 2 ? 2 ?? x ? y ? z ? 0, ?? 3 ? n ? (1, 0,1) 3 3 ? ?3 y ? 0. 又∵ 平面 CDEF 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . 设二面角 A ? DE ? F 的大小为 ? ,显然 ? 为钝角. 2 ∴cos? ? ? cos ? n, m ? ? ? ,∴? ? 135? . 2

10. (本题满分 20 分) x2 y 2 ? 1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 A、 过椭圆 C : ? B 两点, 已知 | AB |? 8 , 25 16 试求直线 AB 的方程. 【解析】由已知 F (3, 0) ,设直线 AB : x ? my ? 3 .

2

?16 x 2 ? 25 y 2 ? 400, 由? ? (16m2 ? 25) y 2 ? 96my ? 256 ? 0. ? x ? my ? 3. ?96m ?256 , y1 ? y2 ? . 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2 16m ? 25 16m 2 ? 25
由已知, | AB |? 8 ? 1 ? m2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 8 .
?96m 2 256 5 ) ? 4? ] ? 64 ,解得 m ? ? 即 (1 ? m 2 )[( .. 2 2 16m ? 25 16m ? 25 2 ∴ 直线 AB 的方程为: 2x ? 5 y ? 6 ? 0 .

11. (本题满分 20 分) 1 已知不等式 (1 ? ) n ? a ? e 对任意正整数 n 都成立,试求实数 a 的取值范围. n 1 【解析】已知式两边取自然对数,得 (n ? a ) ln(1 ? ) ? 1 . n a 1 1 a 1 1 两边同除以 n ,得 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 .① n n n n n n 令 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x(0 ? x ? 1) . 要① 式成立,只需 f ( x) ? 0(?0 ? x ? 1) . ② 1 ? ax 1? a f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ? ? 1 ? ?a ln(1 ? x) ? ? (a ? 1). 1? x 1? x ?a 1? a ?ax ? 2a ? 1 f ??( x) ? ( f ?( x))? ? ? ? . 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x)2 ?ax ? (2a ? 1) 1 ? 0(0 ? x ? 1) , (1) 若 a ? ? , 当 0 ? x ? 1 时, f ??( x) ? ∴ f ?( x ) 单 2 (1 ? x)2 调递增,∴ f ?( x) ? f ?(0) ? 0 . ∴ 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) 单调递增,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即② 式成立. (2)若 a ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ??( x) ? 0 ,∴ f ?( x ) 单调递减,∴ f ?( x) ? f ?(0) ? 0 . ∴ 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) 单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,与② 式不合. 1 2a ? 1 } ,当 0 ? x ? b 时, f ??( x) ? 0 ,∴ f ?( x ) (3) 若 ? ? a ? 0 ,令 b ? min{1, ? 2 a 单调递减,∴ f ?( x) ? f ?(0) ? 0 . ∴ 当 0 ? x ? b 时, f ( x) 单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,与② 式不合. 1 综上, a ? ? 为所求. 2

3


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