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2015学年浙江省第二次五校联考数学(理科)


2015 学年浙江省第二次五校联考数学(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)
1. 定义集合 A ? x | f ( x) ? 2 x ? 1 , B ? ? y | y ? log 2 (2 x ? 2)? ,则 A ? C R B =(
A.(1, ??) B.?0,1? C.?0,1? D.?0,2 ?

?

?



2. ?ABC 的三内角 A, B , C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a 2 ? b 2 ? c 2 ”是“ ?ABC 为钝角三角形”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



? 1 4 ?| 2 x ? 1| 恒成立,则实数 x 的取值范围是( 3. 对任意的 ? ? (0, ) ,不等式 2 ? 2 sin ? cos2 ? 3 5 A. [ ?3, 4] B. [0, 2] C. [? , ] D. [ ?4,5] 2 2
4.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列数学命题不正确的是( A. 平面 ACB1 ‖平面 A1C1D ,且两平面的距离为 )



3 ; 3

B. 点 P 在线段 AB 上运动,则四面体 PA1B1C1 的体积不变; C. 与所有 12 条棱都相切的球的体积为

2 ?; 3

D. M 是正方体的内切球的球面上的任意一点, N 是 ! AB1C 外接圆的圆周上的任意一点,则 | MN | 的最 小值是

3? 2 . 2

? ?2sin x, x ? ?0, ? ? 5. 设函数 f ? x ? ? ? ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 在 ? 0, 2? ? 内恰有 4 个不同的零点。则实数 m ? ?| cos x |, x ? ?? ,2? ?

的取值范围是( )
A.? 0,1? B.?1,2? C.? 0,1? D.?1,2 ?

6. 已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,以 F1 F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点 a 2 b2


为 P ,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H ,若 | PH |? a ,则此双曲线的离心率为(

5 A. 2

3 B. 2

5+1 C. 2

6+1 D. 2

1

7. 已知 3tan A.
4 3

?
2

? tan 2

?
2

? 1, sin ? ? 3sin(2? ? ? ) ,则 tan(? ? ? ) ? ( 4 3



B. ?

C. ?

2 3

D. ?3

8. 如图, 棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , 点 A 在平面 ? 内, 平面 ABCD 与平面 ? 所成的二面角为 30? , 则顶点 C 1 到平面 ? 的距离的最大值是(
A.2(2 ? 2) B.2( 3 ? 2) C.2( 3 ? 1)


D.2( 2 ? 1)

二、填空题(本大题 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题没空 4 分,共 36 分)
9. 已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是__________________ , 体积是_______________

10. 若 x ?

?
6

是函数 f ? x ? ? sin 2x ? a cos2 x 的一条对称轴,则函数 f ( x) 的最小正周期是______________;函

数 f ? x ? 的最大值是___________ 11. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

1 ? an ,则 a1a2a3 ?a15 ? _____________;设 bn ? (?1)n an ,数列 {bn } 的前 1 ? an

n 项和为 S n ,则 S 2016 =______________;
?y ? x ? 12. 已知整数 x, y 满足不等式 ? x ? y ? 4 , 则 2 x ? y 的最大值是___________: x 2 ? y 2 的最小值是________: ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ?
? ? ? ? ? ? ? ? 2? 13. 已知向量 a, b 满足: | a |? 2, ? a ? b, b ? = ,则 a ? b 的取值范围是 ____________; 3

2

14. 若 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,其中 x ? N * ,且 f (1) ? 10 ,则 f ( x) 的表达式是________________________; 15. 从抛物线 y 2 ? 2 x 上的点 A( x0 , y0 )( x0 ? 2) 向圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 引两条切线分别与 y 轴交于 B , C 两点,则

! ABC 的面积最小值为 ______________;

三、解答题(本大题 5 小题,共 74 分)
16.(本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD, ?DAB ? 60? , CD ? AD, CB ? AB . (I) 若 2 | CB |?| CD |? 2 ,求 ! ABC 的面积; (II) 若 | CB | ? | CD |? 3 ,求 | AC | 的最小值.

3

17.(本小题 15 分)
E , F 分别是 AC , AB 的中点, 如图 (1) , ?ACB ?

?
2

, ?CAB ?

?
6

, 沿着 EF 将 ! AEF 折起, 记二面角 A ? EF ? C

的度数为 ? . ? (I)当 ? ? 时,即得到图(2) ,求二面角 A ? BF ? C 的余弦值; 2 (II)如图(3)中,若 AB ? CF ,求 cos? 的值.

4

18.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, g ( x) ? c | x | ?bx ? a ,对任意的 x ? [ ?1,1] 都有 | f ( x) |? (I)求 | f ? 2 ? | 的最大值; (II)求证:对任意的 x ? [ ?1,1] ,都有 g ? x ? ? 1 .

1 . 2

5

19.(本题满分 15 分)已知椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 3 相切. 4

x2 y 2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦点与短轴的两顶点的连线与圆 2 a 2 b2

(I) 求椭圆 C 的方程; (II)过点 (1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,在 x 轴上是否存在点 N ,使得 NA ? NB 为定值?如果有,求 出点 N 的坐标及定值;如果没有,请说明理由.

6

2 3 3 3 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? .... ? an (n ? N * ) ,其中 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和; 20. 已知正项数列 ?an ? 满足: Sn

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2n ? 1 (2)求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 3. a a a (n ? 1) n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? a2 n ?1 ?

3

3

3

3

7



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