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函数的基本性质


函数基本性质复习讲义
高中数学必修 1 函数的基本性质归纳
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, 是映射 g : B x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增 (或减) 函数, y= f(u)在 B 上是减 而 (或增) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2);

3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:

增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小 2 2

的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是 周期函数,且周期为

T |? |



四.典例解析
【奇偶性典型例题】 例 1.以下五个函数: (1) y ? (5) y ? log 2 ( x ? 数是 _________

1 4 x (2) y ? x ? 1 ; (3) y ? 2 ; (4) y ? log 2 x ; ( x ? 0) ; x

x 2 ? 1) ,其中奇函数是____ __,偶函数是__ ____,非奇非偶函

点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定 义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变) 。 题型二:奇偶性的应用 例 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ _。

例 3.已知 f ( x) 奇函数,当 x ∈(0,1)时, f ( x) ? lg

1 ,那么当 x ∈(-1,0)时, 1? x

f ( x) 的表达式是



例 4.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1 ,1)上的增函数,试求 a 的范围: f (a ? 2) ? f (a 2 ? 4) ? 0 .
2 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a ? 4)

因 f(x)是奇函数,故 ? f (a 2 ? 4) ? f (4 ? a 2 ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而

? ?3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ? ?1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ? ? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5
即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】 例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ? 1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?
2

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2
)

(2)函数 y ? x ? bx ? c( x ? [0, ??) )是单调函数的充要条件是(

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 (3)已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确 的是( ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ?a 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增 区间为 例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x 2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x 2 ? 2 x ? 3 |

例 3.根据函数单调性的定义,证明函数



上是减函数.

例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数, m 、n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 对 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f (x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

1 1 1 1 则 f ( ? 0) ? f ( )?f (0) ,因为 f ( ) ? 0 2 2 2 2 f ( ? x) ? o (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x)?f (? x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 又因为 ∴ x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0 (3)设 x1 ? x2 则
解:(1)取 m=0,n=

所以 f (0) ? 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 )
= f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) = f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又因为 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1)] ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数 在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x 2) ? f (0) 所以 2 x ? x 2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 例 5: (复合函数单调性)1.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??) 1 2.函数 y= 的单调递增区间为( ) 2 x ? 2 x ? 80 A. (??, ?8) B. (??,1) C. (1, ??) D. (?8, ??)

3.已知函数 f (x)=f (??x),且当 x ? (? 则( ) A.a<b<c B.b<c<a

? ? , ) 时,f(x)=x+sinx,设 a =f(1),b =f(2),c =f(3), 2 2
C.c<b<a D.c<a<b

1.3.1
一、选择题

单调性与最大(小)值

1 . 下 列 函 数 中 , 在 区 间 ( 0 , + ∞ ) 上 是 增 函 数 的 是( ) A.y= B.y=3x2+1 C.y= 2 x D.y=|x|

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4), 当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+x2<4,且 (x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒小于 0 B.恒大于 0 ) C.可能为 0 D.可正可负

?x2+4x,x≥0, ? 3.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0. ?

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
2

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞) )

4.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? 3在区间(??, 4] 上单调递减,则实数 a 满足的条件是 ( A.(8,+∞) B.[8, +∞) C.(∞,8) D.(∞,8] 5.函数 y= x +2x-3的单调递减区间为(
2

) C.[1,+∞) D.[-3,-1]

A.(-∞,-3]
二、填空题

B.(-∞,-1]

6.函数f(x)=2x2-mx+3, 2]时是减函数, 当x∈[2, +∞)时是增函数, 当∈(-∞, 则f(1)=________. 7.已知函数

f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ? 1,x [1,2],则 f ( x) 是

(填序号).

①[1,2]上的增函数; ②[1,2]上的减函数; ③[2,3]上的增函数; ④[2,3]上的减函数. 8.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图所示,对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2,给出 下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); f(x1)+f(x2) ?x1+x2? ③ <f 2 ? 2 ?. 其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上) 9.已知函数 f(x)= 3-ax (a≠1). a-1

若 a>0,则 f(x)的定义域是________. 三、解答题 10. (14 分)若函数 f(x)= ax+1 在区间(-2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围 x+2

11. (16 分)已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足:①对于任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0;②f(1) =1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)求 f(0)的值;

(2)求 f(x)的最大值.

12. (16 分) 定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m, 总有 f(m+n)=f(m)· n f(n), 且当 x>0

时,0<f(x)<1. (1)试求 f(0)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明你的结论

1.3.2

奇偶性
2

一、选择题 1.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则(



A. a ? b=0

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,

2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)= -f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) )

1 3.若函数 f(x)=ax+ (a∈R),则下列结论正确的是( x A . 任 意 函数 B . 任 意 函数 C.存在 a∈R,函数 f(x)为奇函数 D.存在 a∈R,函数 f(x)为偶函数 4.若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是 增函数,又 f(2)=0,则 A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) 5 . 设 偶 函 数 a ∈ R , 函 数 a ∈ R , 函 数

f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上 是 增 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上 是 减

f ( x) ? f (? x) 的解集为( x

)

f ( x ) 的 定 义 域 为

R , 当

x ? [0, ??) 时 ,

f(x)是增函数,则 A.f(π)>f(3) >f (2) B.f(π)>f(2)>f(3) C.f(π)<f(3)<f(2) D.f(π)<f(2)<f(3) 二、填空题 6.若函数

f (?2),f (? ),f (?3) 的大小关系是( )

f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,并且 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x 3 ? x ? 1 ,则当 x ? 0 时,
.

f (x) =

7.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m =_________.
8.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a=________. 9.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=-,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)= ________. 三、解答题 10.判断下列函数的奇偶性: 2x2+2x (1)f(x)= ; x+1 (2)f(x)= 1-x2+ x2-1; 4-x2 (3)f(x)= |x+2|-2

11.设函数 y=f(x) ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·2)=f(x1)+f(x2) (x x ,

求证:f(x)是偶函数.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 12.已知函数 f(x)= ?0, x ? 0, 是奇函数. ? x 2 ? mx, x ? 0 ?
(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围

一、选择题 1.D 2. A 解析:由函数单调性定义知选 D. 解析:因为(x1-2)(x2-2)<0,若 x1<x2,则有 x1<2<x2,即 2<x2<4-x1.又当 x>2 时,

f(x)单调递增且 f(-x)=-f(x+4), 所以有 f(x2)<f(4-x1)=-f(x1), f(x1)+f(x2)<0; x2<x1, 即 若 同理 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 3.C
?x2+4x=(x+2)2-4,x≥0, ? 解析: f(x)=? 由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞, +∞)上是 2 2 ? ?4x-x =-(x-2) +4,x<0,

单调递增函数,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2<a<1.故选 C. 4.B 解析: f ( x) ? x ? ax ? 3 图象的对称轴是直线 x ?
2

a? ? a ,它的递减区间是 ? ??, ? , 2? 2 ?

a? a ? ? ??, ? ,所以 4 ? , 故a ? 8. 2? 2 ? 2 5. A 解析:该函数的定义域为(-∞,-3]∪[1,+∞),函数 f(x)= x +2x-3 图象的对称
因为 f ? x ? 在区间 ( ??, 4] 上递减,所以 ( ??, 4] ? 轴为直线 x=-1,由函数的单调性可知该函数在区间(-∞,-3]上是减函数. 二、填空题 6. -3 =3. 7.③ 解析: f ? x ? 1? ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1? ? 2 ,所以 f ? x ? ? x ? 2, x ? ? 2, 3?,
2 2

m m2 m 解析: f(x)=2(x- )2+3- ,由题意得 =2,∴m=8.∴f(1)=2×12-8×1+3 4 8 4
2

由二次函数的知识知, f ? x ? 是[2,3]上的增函数. 8. ②③ 解析:由 f(x2)-f(x1)>x2-x1,可得 f(x2)-f(x1) >1,即两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连 x2-x1 f(x1) f(x2) > ,即表示点(x1,f(x1))与原点 x1 x2

线的斜率大于 1,显然①不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得

连线的斜率大于点(x2,f(x2))与原点连线的斜率,可以看出结论②正确;结合函数图象, 容易判断结论③是正确的. 3 9.?-∞,a? ? ? 3 解析:当 a>0 且 a≠1 时,由 3-ax≥0 得 x≤ ,即此时函数 f(x)的定义域是 a

?-∞,3?. a? ?
三、解答题 10.解:f(x)= ax+1 a(x+2)+1-2a 1-2a = = +a. x+2 x+2 x+2

任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, 1-2a 1-2a (1-2a)(x2-x1) 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2) ∵函数 f(x)= ax+1 在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0. x+2

1 ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,故 a> . 2 1 即实数 a 的取值范围是?2,+∞?. ? ? 点评:对于函数单调性的理解,应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析, 做好定性刻画、图形刻画和定量刻画.逆用函数单调性的定义,根据 x1-x2 与 f(x1)-f(x2)

是同号还是异号构造不等式来求字母的取值范围. 11.解:(1)对于条件③,令 x1=x2=0 得 f(0)≤0,又由条件①知 f(0)≥0,故 f(0)=0. (2)任取且 0≤x1<x2≤1,则 x2-x1∈(0,1, ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0. 即 f(x2)≥f(x1),故 f(x)在[0,1]上递增,从而 f(x)的最大值是 f(1)=1. 12.解:(1)在 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 令 m=1,n=0,得 f(1)=f(1)· f(0). 因为 f(1)≠0,所以 f(0)=1. (2)函数 f(x)在 R 上单调递减. 证明如下:任取 x1,x2∈R,且设 x1<x2. 在已知条件 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 若取 m+n=x2,m=x1, 则已知条件可化为 f(x2)=f(x1)· 2-x1), f(x 由于 x2-x1>0,所以 0<f(x2-x1)<1. 在 f(m+n)=f(m)· f(n)中, 令 m=x,n=-x,则得 f(x)· f(-x)=1. 当 x>0 时,0<f(x)<1,所以 f(-x)=>1>0, 又 f(0)=1,所以对于任意的 x∈R 均有 f(x)>0. 所以 f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, 即 f(x2)<f(x1).所以函数 f(x)在 R 上单调递减 一、选择题 1.A 解析:由 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,得 b=0.
2

又定义域为[a-1,2a] ,∴ a-1=2a,∴ a ?
2.D

1 .故选 A. 3

解析:∵ f(x-4)=-f(x),∴ T=8.又 f(x)是 R 上的奇函数,∴ f(0)=0.

∵ f(x)在[0,2]上是增函数,∴ f(x)在[0,2]上恒大于等于 0. 又 f(x)是奇函数,∴ f(x)在[-2,0]上也是增函数,且 f(x)在[2,0]上恒小于等于 0.. 易知 x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且 f(x)为减函数. 同理 f(x)在[4,6]上为减函数且 f(x)≤0.如图. ∵ f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴ f(-25)<f (80)<f(11). 3.C 4.A 解析:当 a=1 时,函数 f(x)在(0,1)上为减函数,A 错;当 a=1 时,函数 f(x)在(1, 解析: 因为函数 f(x)为奇函数, 且在(0, +∞)上是增函数, f(2)=0, 所以 x>2 或-2<x<0 解 析 : 因 为 f ? x ? 是 偶 函 数 , 所 以 f ? ?2 ? ? f ? 2 ? , f ? ?3? ? f ? 3? . 因 为 当 +∞)上为增函数,B 错;D 选项中的 a 不存在. 时,f(x)>0;x<-2 或 0<x<2 时,f(x)<0.<0,即<0,可知-2<x<0 或 0<x<2. 5.A

x ? [0, ??) 时是增函数,所以 f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? π ? , 所以f ? ?2 ? ? f ? ?3? ? f ? π ? .
二、填空题 6.

2 x3 ? x ? 1









x?0





?x ? 0



3 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? x ? ? ? ? x ? ? 1? ? 2 x 3 ? x ? 1 . ? ?

7. 0

解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,∴

2

f(-x)=f(x) ,即

(

m



1

)

(



x

)

2



2m(-x)+3=(m1)x2+2mx+3,整理,得 m=0.
8.-1 解析:令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-x(1-x). 又 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时,f(x)=x(1-x). 当<0 时,f(a)=a(1-a)=-2,得 a2-a-2=0, 解得 a=-1 或 a=2(舍去). 当 0 时,即,无解. 9.-0.5 解析: f(x+2)=-, f(x+4)=-=f(x), f(x)的周期是 4, f(6.5)=f(2.5). 由 得 故 得 因 为 f(x)是偶函数,得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5). 而 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,∴ f(1.5)=-0.5. 故 f(6.5)=-0.5. 三、解答题 10.解: (1)函数的定义域为{x|x≠-1,},不关于原点对称, ∴ 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)由 ?

?1 ? x 2≥0, ? 得 x=± 1,此时 f(x)=0,x∈{-1,1}. 2 ? x ? 1≥0 ?

∴ f(x)既是奇函数又是偶函数.
2 ? ?4-x ≥0, (3)∵ ? ∴ f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. ?|x+2|-2≠0, ?

此时 f(x)= ∴ f(x)=

4-x2 4-x2 = .又 f(-x)= x |x+2|-2

4 ? (? x) 2 4-x2 =- =-f(x), x ?x

4-x2 为奇函数.11.证明:由 x1,x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1, |x+2|-2

则 f(1)=2f(1) ,∴ f(1)=0. 又令 x1=x2=-1, 则 f[-1× (-1) ]=2f()=0, ∴ ∴ (-1)=0.又令 x1=-1,x2=x, f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数.

点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如 x1=x2=1,x1=x2=- 1 或 x1=x2=0 等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.
12.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]



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