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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.1数系的扩充和复数的概念课件 新人教版选修1-2


3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念

学习目标

1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数系的
扩充过程.

2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数
集出现的一些基本概念.

3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等
的充要条件



3 1.1

. 课前自主学案 数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

2± 5 1. 方程 x2-4x-1=0 的解为 x=_____.
2. 方程 x +x+1=0 在实数集内解集为
2

? __,因为方程的_____. Δ<0

知新益能 1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如a+bi的数叫做复数,其中a、b是 虚数单位 实数 实部 ____,i叫做________,a叫做复数的____,b叫 虚部 做复数的____. ②表示方法:复数通常用z表示,即z= a+bi(a、b∈R) _____________.

(2)复数集 全体复数 ①定义:由________所构成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母 __表示. C 2.复数的分类及包含关系

复数(a+bi,a、b∈
?实数 ?____?b=0? ? ?纯虚数?____? a=0 R)? ?虚数 ____?b≠0?? a≠0 ? ?非纯虚数?____? ?

3.复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数,则 a=c,b=d a+bi=c+di?___________; a=b=0 a+bi=0?________.

问题探究 1.复数m+ni的实部是m,虚部是n吗? 提示:不一定,只有当m、n∈R时,m才是实部, n才是虚部. 2.复数就是虚数吗? 提示:复数与虚数不是同一个概念,现在所见的 所有数都是复数,它包括实数和虚数两大部分.

3.两个复数能否比较大小? 提示:对于复数z=a+bi(a、b∈R),当b=0时 能比较大小,当b≠0时,不能比较大小.即两个 不全是实数的复数不能比较大小.

课堂互动讲练

考点突破 复数的概念和性质 规定i与实数可以进行四则运算,在进行 运算时,原有的加、乘运算律仍然成立, 即与原数集不矛盾.

例1

判断下列说法是否正确. (1)当z∈C时,z2≥0. (2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数. (3)若a>b,则a+i>b+i. (4)若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y =1. 【思路点拨】 根据复数的概念可以判定.

【解】 (1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立. 若z=i,则z2=-1<0. (2)错误.当a=-1时, (a+1)i=(-1+1)i=0· i=0∈R. (3)错误.两个虚数不能比较大小. (4)错误.当且仅当x,y∈R时,x,y才是x+yi 的实部和虚部.此时x+yi=1+i的充要条件才是 x=y=1.

【思维总结】 数集从实数集扩充到复数集后, 某些结论不再成立. 如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.

变式训练1 下列命题: ①若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x=±1; ②若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对 应; ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数是________.

解析:对复数 z=a+bi(a、b∈R)
?实数(b=0) ? ? ?纯虚数(a=0), ? ?虚数(b≠0)? ? ?非纯虚数(a≠0), ?

故由此分析可知各命题的真假.

在①中,若x=-1,则不成立;
②若a=0,则ai不是纯虚数.

③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知:
所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集.

答案:0

复数的分类

复数z=a+bi(a、b∈R),根据a,b的取值可分 为实数、虚数及纯虚数.
例2 当 实 数 m 为 何 值 时 , 复 数 z =

m2+m-6 +(m2-2m)i 为(1)实数;(2)虚数; m (3)纯虚数.

【思路点拨】

据复数的分类标准

→ 列出式子 → 解出m → 结论
【解】
?m2-2m=0 (1)当? , ?m≠0

即 m=2 时,复数 z 是实数; (2)当 m2-2m≠0, 即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数;

?m2+m-6 ? =0 m (3)当? ? 2 ?m -2m≠0



即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数.
【思维总结】 利用复数的代数形式进行分类时, 主要依据是实部、虚部应满足的条件,求参数时, 可据此列出方程组求解.

互动探究 2 将本例改成: 是否存在实数 m, m2+m-6 使 z=(m2-2m)+ i 是纯虚数? m m2+m-6 解: z=(m2-2m)+ 由 i 是纯虚数, m ?m2-2m=0 ? 得?m2+m-6 ,解得:m∈?. ? ≠0 m ?

即 不 存 在 实 数 m , 使 z = (m2 - 2m) + m +m-6 i 是纯虚数. m
2

复数相等及应用 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相 等,虚部与虚部相等列方程组. 例3 已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i= -y-(3-y)i,求x与y. 【思路点拨】 两个复数相等时,应分清两复数 的实部与虚部,然后让其实部与实部相等,虚部 与虚部相等.

【解】

由复数相等的充要条件得

?2x-1=-y, ? ?1=y-3. ? 3 ?x=- , 2 解得? ? ?y=4.

3 ∴x=- ,y=4. 2

【思维总结】 一般根据复数相等的充要条件, 可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组, 从而可确定两个独立参数,本题就是利用这一重 要思想,化复数问题为实数问题得以解决.

互动探究3 若本例条件变为x、y∈R,且满足 (2x-t)+i=-y-(t+y)i.求点(x,y)满足的轨 迹. ?2x-t=-y ① 解:由题意可得? . ?-t-y=1 ②

①-②得 2x+y=-y-1, 即 2x+2y+1=0. ∴点(x,y)的轨迹为直线 2x+2y+1=0.

方法感悟 方法技巧 1.利用复数的代数形式对复数分类时,关键是 根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等 式或不等式(组)),求解参数时,注意考虑问题要 全面. 2.两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对 应相等.要先确定是否为代数形式,确定实部、 虚部后再应用.

3.把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式, 为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问 题实数化思想的体现,这一思想在解决复数问题 中非常重要.

失误防范 1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能 比较大小. 2.确定复数的实部和虚部时,不要只根据复数 的形式:x+yi,还要看x、y是否为实数,同时 还要使x、y有意义.


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