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第3讲 三角恒等变换及三角函数的图象与性质


新课标命题有关三角函数,平面向量和解三角形的考 查趋势是:2010年以两道选择题考查平面向量的数量 积和余弦定理,一道解答题考查三角函数的最值与零 点和三角恒等变换能力;2011年以一道填空题考查平 面向量的数量积,一道解答题考查正弦定理,已知函 数值求角的大小与求三角函数最值,同时考查三角恒 等变换能力;2012年以两道选择题考查平面向量的数 量积,余弦定理、三角函数的值

域,以及三角恒等变 换能力.

同时一道选择题综合考查三角函数给值求角与逆否命 题,一道填空题综合考查三角函数图象、解析式与复 合函数的导数、定积分、几何概型.由此可预测2013 年的考查仍将会以选择题或填空题考查平面向量、三 角函数和解三角形的主干知识,同时渗透三角恒等变 换能力的考查并适当地融入在知识网络交汇点处命题 的思想,仍有可能以解答题考查三角函数的主干知识 和三角恒等变换能力.也有可能应用三角函数的图象 和性质.或解三角形的基础知识和方法解决实际应用 问题,试题难度中档或中档偏易,考查分值在17~20 分.

第3讲

三角恒等变换及三角函数的图象与性质

1.考题展望 三角函数是基本初等函数,是描述周期性现象的重要 数学模型,在高考中,主要考查对三角函数概念的理 解,运用三角函数公式进行三角恒等变换的能力.掌 握三角函数图象的基本特征和基本性质,并能灵活地 进行图象变换,考查读图、识图和用图能力,同时与 向量、解三角形和实际应用问题交汇,考查三角知识 的工具性作用.

2.高考真题 考题1(2012 浙江)把函数 y=cos2x+1 的图象上所 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然 后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长 度,得到的图象是( )

【解析】选A.
根据题设条件得到变化后的函数为y=cos(x+1),结 合函数图象可知选项A符合要求.故选A.

【命题立意】本小题主要考查三角函数的图象和图 象变换等知识,考查考生的识图能力.

π 考题2(2012 江苏)设 α 为锐角,若 cos(α+ ) 6 π 4 = ,则 sin(2α+ )的值为________. 5 12 π 【解析】∵α 为锐角,即 0<α< , 2 π π π π 2π ∴ <α+ < + = . 6 6 2 6 3 π 4 π 3 ∵cos(α+ )= ,∴sin(α+ )= . 6 5 6 5

π π π 3 4 ∴sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )=2·· 3 6 6 5 5 24 = . 25 π 7 ∴cos(2α+ )= . 3 25 π π π ∴sin(2α+ )=sin(2α+ - ) 12 3 4 π π π π =sin(2α+ )cos -cos(2α+ )sin 3 4 3 4 24 2 7 2 17 = · - · = 2. 25 2 25 2 50

【命题立意】本小题主要考查二倍角公式、两角差公 式及三角恒等变换等基础知识与方法,考查转化化归 思想和运算求解能力.

考题3(2012 安徽)设函数 f(x)= +sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

π 2 cos(2x+ ) 2 4

π (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+ )= 2 π 1 g(x),且当 x∈[0, ]时,g(x)= -f(x),求 g(x) 2 2 在区间[-π ,0]上的解析式.

π 2 1 2 【解析】f(x)= cos(2x+ )+sin x= cos2x 2 4 2 1 1 1 1 - sin2x+ (1-cos2x)= - sin2x. 2 2 2 2 2π (1)函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 1 1 (2)当 x∈[0, ]时,g(x)= -f(x)= sin2x 2 2 2 π π π 当 x∈[- ,0]时,(x+ )∈[0, ], 2 2 2 π 1 π 1 g(x)=g(x+ )= sin2(x+ )=- sin2x 2 2 2 2

π π 当 x∈[-π,- )时,(x+π)∈[0, ), 2 2 1 1 g(x)=g(x+π)= sin2(x+π)= sin2x 2 2 得:函数 g(x)在[-π,0]上的解析式为 ? 1 ? - sin2x (-π≤x≤0) 2 ? 2 g(x)=? . π ? 1 ? 2sin2x (-π≤x<- 2 ) ?

【命题立意】本题考查两角和与差的三角函数公式、二 倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数等基础知 识,考查考生的分类讨论思想和运算求解能力.

1.三角恒等变换 (1)同角三角函数关系——可实现函数名称的 转化. sinα 2 2 sin α +cos α =1,tanα = cosα .

(2)诱导公式及和、 差、 倍角的三角函数——可 实现角的形式的转化. 诱导公式的口诀:奇变偶不变,符号看象限. 和、差、倍角公式: sin(α± β)=sinα cosβ ±cosα sinβ ; cos(α± β)=cosα cosβ ?sinα sinβ ; tanα ±tanβ π tan(α± β)= (α, α± β, β≠kπ + , 2 1?tanα tanβ k∈Z);

sin2α =2sinα cosα ; cos2α = cos2 α - sin2 α = 2cos2 α - 1= 1- 2sin2α ; 2tanα tan2α = ; 1-tan2α asinα +bcosα = a2+b2sin(α+φ)(其中 b tanφ=a).

(3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升 幂或降幂的转化,同时也可以完成角的形式的转化.

3.三角函数恒等变换易错点

(1)“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解.
一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的, 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时, 要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并 且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”没有运用整体思想造成繁解.

给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数 值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关 系.

(3)“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解.

“给值求角”实质上是转化为“给值求值”,关键也是 变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数 值结合该函数的单调性区间求得角. 4.三角函数图象与性质的易错点
(1)利用三角函数图象变换中的周期变换与相位变换时, ? 易将ω与 求错.

由 y=sinx 得到 y=sin(ωx+φ)(ω>0)时,若先 进行相位变换, 即平移|φ|个单位; 若后进行相位变 ? 换,即平移| |个单位.

?

在做周期变换时,弄清楚 ω 的值的变化,做 周期变换只改变 x 前的系数,不改变初相 φ.

(2)对正弦型 y=Asin(ωx+φ)及余弦型 y= Acos(ωx+φ)的性质,如对称轴、对称中心等性质 理解不透彻. y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的波峰或 波谷,且与 y 轴平行,两条相邻对称轴的距离为周 期的一半;而对称中心是图象与 x 轴的交点,两个 相邻对称中心的距离为周期的一半, 对称轴与相邻 1 对称中心的距离为周期的 . 4

1.三角函数图象与解析式的应用及求法 例1(1)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0, π |φ|< )的最小正周期为π ,且 f(-x)=f(x),则( A ) 2 π A.f(x)在(0, )单调递减 2 π 3π B.f(x)在( , )单调递减 4 4 π C.f(x)在(0, )单调递增 2 π 3π D.f(x)在( , )单调递增 4 4

【解析】原式可化简为 f(x)= 2sin(ωx+φ+ π ), 4 因为 f(x)的最小正周期 T= 2π

ω

=π,

π 所以 ω=2.所以 f(x)= 2sin(2x+φ+ ), 4 又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数, π 所以 f(x)= 2sin(2x+φ+ )=± 2cos2x, 4

π π 所以 φ+ = +kπ,k∈Z, 4 2 π 所以 φ= +kπ,k∈Z, 4 π π 又因为|φ|< ,所以 φ= . 2 4 π 所以 f(x)= 2sin(2x+ )= 2cos2x, 2 π 所以 f(x)= 2cos2x 在区间(0, )上单调递减, 2 选 A.

【点评】三角函数图象和性质综合成一题已成为高考选 择题的一种趋势,强化利用图象法研究y=Asin(ωx +? )(或y=Acos(ωx+ ? )、y=Atan(ωx+ ? )各种不同的 性质.

π (2)若把函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象 上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 得到函数 y=sinx 的图象. y=f(x)的解析式为( B ) 则 π π A.y=sin(2x- )+1 B.y=sin(2x- )+1 4 2 π π 1 1 C. y=sin( x+ )-1 D. y=sin( x+ )-1 2 4 2 2

【解析】将 y=sinx 的图象上每个点的横坐标变为 原来的一半(纵坐标不变),得到 y=sin2x 的图象, 再将所得到的图象向上平移 1 个单位,得到 y= π sin2x+1 的图象, 再将所得到的图象向右平移 个 4 π 单位,得到 y=sin2(x- )+1 的图象,故 f(x)= 4 π sin(2x- )+1,故选 B. 2

【点评】三角函数的图象变换分为平移变换, 伸缩变换和翻折变换三种,其变换规律是:作三角 函数图象变换时,要注意到不同变 换途径的区 别. 下面列出了三角函数图象变换的两种途径的差 异.

例2函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0, 0<φ<)的部分图象如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; π 2 π π (2)设 g(x)=[f(x- )] .求函数 g(x)在区间[- , ]上 12 6 3 的零点.

π T π 【解析】(1)由题设可得 A=2, = -(- ) 4 6 6 π = 3 π 则 =4× 3 ω 3 所以 ω= , 2 π π π 3 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ]=2sin(- + 6 2 6 4 φ)=0 π 即 sin(φ- )=0. 4 2π

π ∵0<φ< 2 π π π ∴- <φ- < 4 4 4 π π ∴φ- =0 即 φ= . 4 4 π 3 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin( x+ ). 2 4

π π π 3 (2)由(1)可得 f(x- )=2sin[ (x- )+ ] 12 2 12 4 π 3 =2sin( x+ ) 2 8 π 1-cos(3x+ ) π 2 4 ∴g(x)=[f(x- )] =4· 12 2 π =2-2cos(3x+ ), 4

π π ∵- ≤x≤ 6 3 π π 5π ∴- ≤3x+ ≤ 4 4 4 由 g(x)=0 π 得 cos(3x+ )=1 4 π π 从而 3x+ =0 即 x=- . 4 12 【点评】 求解三角函数的给图求解析式问题的 一般途径是:由最值(或特殊函数值)求振幅 A 值, 由周期求角速度 ω 的值, ω 的值,由五点法思想求初相的 由五点法思想求初相? φ 的值. 值.

2.三角函数的性质及应用 π 例3(1)函数 y=1-2sin (x- )是( B ) 4 A.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的偶函数 2 π D.最小正周期为 的奇函数 2
2

π π 【解析】由 y=1-2sin (x- )=cos(2x- ) 4 2 =sin2x. 可知周期 T=π,且是奇函数,故选 B.
2

π (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在区间 4 π ( ,π )上单调递减,则 ω 的取值范围是( A ) 2 1 5 1 3 A.[ , ] B.[ , ] 2 4 2 4 1 C.(0, ] D.(0,2] 2

5 5 【解析】方法一:淘汰法:取 ω= ,f(x)=sin( x 4 4 π + ), 4 π 8 8 其减区间为[ kπ+ , kπ+π](k∈Z) 5 5 5 π π 8 8 由( ,π)?[ kπ+ , kπ+π](k∈Z)排除 B、 2 5 5 5 C 取 ω=2.同理排除 D,故选 A.

π 方法二:由题设 x∈( ,π)时,f′(x)=ωcos(ωx+ 2 π )≤0 4 π 即 cos(ωx+ )≤0 恒成立 4 π 又 x∈( ,π)时 2 π π π π ωx+ 4 ∈( 2 ω+ 4 ,πω+ 4 ), π π π π 则( ω + ,π ω + )?(2kπ+ ,2kπ+ 2 4 4 2 3π )(k∈Z) 2

?π ? ω+π≥π 4 2 ?2 当 k=0 时,由? π 3π ? ?π ω + 4 ≤ 2 ? 1 5 求得 ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 【点评】分析研究函数的周期性或单调性,应将题 设三角函数解析式恒等变形为 y=Asin(ωx+φ)(ω >0)型(或 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)型), 然后再应用相关方法求解.

例4已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤ π )为偶函数,其图象上相邻的两条对称轴之间的 距离为π . π 5π (1)求函数 f(x)在区间[- , ]上的最大值与 4 4 最小值; π π π π 1 (2)若 α∈(- , ),f(α+ )= ,求 sin(2α+ ) 3 2 3 3 3 的值.

【解析】 (1)由函数 f(x)图象上相邻两条对称轴 2π T 之间的距离为π,可知 =π,即 T=2π= , 2 ω 从而 ω=1. 又 f(x)=sin(x+φ)为偶函数,则 sin(-x+φ) =sin(x+φ) 所以 x+φ=2kπ-x+φ(舍)或 x+φ=2kπ+ π-(-x+φ) π 得 φ=kπ+ (k∈Z) 2

又 φ∈[0,π] π 故 φ= . 2 π 因此 f(x)=sin(x+ )=cosx, 2 π 5π 故 f(x)在[- , ]上的最大值为 1,此 4 4 时 x=0, 最小值为-1,此时 x=π.

π π 1 (2)由(1)f(α+ )=cos(α+ )= . 3 3 3 π π π 5π 又 α∈(- , ),从而 α+ ∈(0, ). 3 2 3 6 π 2 2 则 sin(α+ )= , 3 3 π π π 4 2 所以 sin2(α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )= , 3 3 3 9 π π 7 2 cos2(α+ )=2cos (α+ )-1=- . 3 3 9

π π π 故 sin(2α+ )=sin[2(α+ )- ] 3 3 3 π π π π =sin2(α+ )cos - cos2(α+ )sin . 3 3 3 3 4 2 1 7 3 4 2+7 3 = × + × = . 9 2 9 2 18 【点评】(1)三角函数的最值与值域求解方法相同, 但求三角函数最值时,一定要检验最值的“可取性”. (2)本例第(2)小问为三角函数的“给值求值”问题,在 探究求解思路时, 先应观察分析待求值的角怎样利用由 已知值的角通过“和、差、倍、半”运算表示,然后再 进行运算求解.

3.三角函数求值问题 例5(1)已知函数 f(x)= 3sin2x-cos2x, x∈[0, ], π π π [ , ] 6 2 若 f(x)≥1,则 x 的取值范围是 .

π 【解析】由题设可得 f(x)=2sin(2x- ), 6 ∵f(x)≥1, π 1 ∴sin(2x- )≥ 6 2 π π 5π ∴2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z) 6 6 6 π π ∴kπ+ ≤x≤kπ+ 6 2

又 x∈[0,π] π π 取 k=0 得 ≤x≤ 6 2 π π 即 x 的取值范围是[ , ]. 6 2 【点评】解三角函数不等式时,一般都应用换 元思想和数形结合思想分析求解.

(2)已知函数 f(x)=sinx-cosx 的导函数为 f′(x), 19 1+sin2x 若 f′(x)=2f(x),则 2 的值为 - 5 . cos x-sin2x

【解析】因为 f′(x)=cosx+sinx. 由 f′(x)=2f(x) 得 cosx+sinx=2sinx-2cosx, 从而 tanx=3 1+sin2x 2sin2x+cos2x 又 2 = 2 cos x-sin2x cos x-2sinxcosx 2tan2x+1 2×32+1 19 = = =- . 5 1-2tanx 1-2×3

【点评】本小题为三角函数的常见题型,求解的关键 是先“化同角”,然后“弦化切”,便可解决问题.

A A 例6已知 A∈(0°, ), 180° 且满足 2sin2 + 3cos 2 2 =2. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin(A+10°)· [1- 3tan(A-10°)]的值. A 2A 【解析】(1)由 2sin + 3cos =2 2 2 A 2A 得 3cos =2(1-sin ) 2 2 A 2A 即 3cos =2cos 2 2 A 又 A∈(0°,180° ),则 ∈(0°,90° ) 2

A 则 cos >0, 2 A 3 故 cos = . 2 2 A 从而 =30° 2 故 A=60°.

(2)由(1)sin(A+10°)· [1- 3tan(A-10°)] cos50°- 3sin50° =sin70°·(1- 3tan50°)=sin70°· cos50° 3 1 2( cos50°- sin50° ) 2 2 =sin70°· cos50° 2sin70°·sin(30° -50° ) = cos50° -2sin20°·cos20° = =-1. sin40°

【点评】本例第(2)小题为“给角求值”问题,求 解思想是:向特殊角转化,构造相互约分或互为 相反数,从而实现函数值的求得.

1.要能熟练推证公式,熟悉公式的正用、逆用, 还要熟练掌握公式的变形应用. 如两角和与差的正切公式可变形为: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).

余弦二倍角公式有多种形式,即 cos2α =cos2α - sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,变形公式 sin2α 1-cos2α 1+cos2α 2 = ,cos α = .它的双向应用分 2 2 别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.

2.对于形如 asinα +bcosα 的式子,都可通过合 理地变形,借助两角和与差的三角函数公式的逆 用,化为只含有一个三角函数的形式,即 asinα + b 2 2 bcosα = a +b sin(α+φ)(其中 tan ? = ),这个 a 公式称为辅助角公式, 它在解决三角函数问题中具 有广泛的应用.

3.三角恒等变换常用方法:正切化弦、常数 代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用 公式等. (1)要注意拆角、拼角技巧.例如:2α=(α+β) α +β α -β α -β +(α-β), =(α+β)-β, α β= - , 2 2 2 β α =(α+ )-( +β)等. 2 2

α (2)注意倍角的相对性,如 α 是 的倍角,3α 2 3α 是 的倍角等. 2 (3)要注意公式间的内在联系及特点, 解题过程 中,要善于观察差异,寻找联系,实现转化,要熟 悉公式的正用、逆用和变形应用,也应注意公式成 立的条件. 4.最基本的三角函数图象形状和位置特征,要准 确掌握, 它是利用数形结合的思想解决三角函数问 题的关键.

(1)给出 y=Asin(ωx+φ)的图象, 求它的解析 φ 式,常从寻找“五点法”中的第一个零点(- , ω 0)作为突破口,要从图象的升降找准第一个零点 的位置(同理也可以找最高点位置等). (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 h(h>0) 个单位后对应的函数为 y=Asin[ω(x+h)+φ], 不 是 y=Asin(ωx+h+φ).

5.三角函数中最值、奇偶性、对称性、单调区间及其 周期是高考命题的热点. (1)三角函数值域的求法 三角函数的值域问题,实质上大多是含有三角函数的复 合函数值域问题,常用的方法为:化为代数函数的值域, 也可以通过三角恒等变换化为求y=Asin(ωx+φ)+B的 值域;或化为关于sinx(或cosx)的二次函数,再利用换 元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.

(2)三角函数的奇偶性问题 ①判断函数的奇偶性, 应首先判定函数的定义 域关于原点的对称性. ②函数 y=Asin(ω x+φ)(A, ω≠0)为奇函数的 充要条件为 φ=kπ ,k∈Z,为偶函数的充要条件 π 为 φ=kπ + ,k∈Z. 2

③函数 y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数的 π 充要条件为 φ=kπ + ,k∈Z;为偶函数的充要 2 条件为 φ=kπ ,k∈Z. ④函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数的 kπ 充要条件为 φ= (k∈Z),它不可能是偶函数. 2

(3)三角函数的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=Acos(ωx+φ)的对称轴 必过最值点,对称中心是函数图象与 x 轴的交点,函数 y=tan(ωx+φ)无对称轴,对称中心除了和 x 轴交点外, π 还有(x0,0),其中 x0 满足 ωx0+φ=kπ + ,k∈Z. 2 ①函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk 成轴 π 对称,则 ωxk+φ=kπ + (k∈Z). 2 ②函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xi, 0)成中心 对称,则 ωxi+φ=kπ (k∈Z).

(4)三角函数单调区间的求法及单调性的应用 ①函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的 确定,基本思路是把 ωx+φ 看作一个整体,比如: π π 2kπ - ≤ω x+φ≤2kπ + (k∈Z)解出 x 的范 2 2 π 围,所得区间即为增区间,由 2kπ + ≤ω x+ 2 3 φ≤2kπ + π (k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间即为 2 减区间.

②若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式 将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),y=Asin(-ωx-φ)的 增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间, 对于函数y=Acos(ωx+φ)的单调性的讨论与上类似.

③比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性 转化为属于同一单调区间上的两个同名函数,再利用单 调性比较.

(5)三角函数的周期性 ①函数 y=Asin(ωx+θ),y=Acos(ωx+θ),周 2π 期 T= . |ω | π ②函数 y=Atan(ωx+θ),周期 T= . |ω | ③y=|sinx|, y=|cosx|, 周期 T=π , y=|tanx| 但 的周期 T=π .

1.已知函数 y=sinx+cosx,给出以下四个命 题,其中为真命题的是( C ) π A.若 x∈[0, ],则 y∈[0, 2] 2 π 5π B.在区间[ , ]上是增函数 4 4 π C.直线 x= 是函数图象的一条对称轴 4 D.函数图象可由 y= 2sinx 的图象向右平移 π 个单位得到 4

π 【解析】y=sinx+cosx= 2sin(x+ ), 4 π 当 x= 时,函数取得最大值 2, 4 π 故直线 x= 是函数图象的一条对称轴. 4 【点评】 正弦函数的图象与余弦函数的图象既是中 心对称图形也是轴对称图形, 在解题中根据其对称 性, 再结合三角函数的其他的性质可以顺利解决问 题.

π 2.将函数 f(x)=2sin(ωx- )(ω>0)的图象向 3 π 左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y 3ω π =g(x)在[0, ]上为增函数, ω 的最大值为( B ) 则 4 A.1 B.2 C.3 D.4

π π 【解析】由条件得 g(x)=2sin[ω(x+ )- ] 3 3ω =2sinωx, π π 从而 ≥ ,解得 ω≤2,所以 ω 的最大值 2ω 4 为 2. 【点评】可以将 y=sinx,x∈[0,2π)的图象分为 π π 四个部分,其中在[0, ]是递增的,且[0, ]的 2 2 2π 1 π 1 长度为 个周期,∴ × ≥ ,利用图象很容易 4 ω 4 4 找到关系式.

π 3.设函数 f(x)=sin(2x+ ),则下列结论正确 3 的是( C ) π A.f(x)的图象关于直线 x= 对称 3 π B.f(x)的图象关于( ,0)对称 4 π C.把 f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个 12 偶函数的图象 π D.f(x)的最小正周期为π ,且在[0, ]上为增 6 函数

【解析】A、B 选项采用代入法即可排除, π C 项中把 f(x)的图象向左平移 个单位,得到 12 π π π f(x) = sin[2(x + ) + ] = sin(2x + ) = 12 3 2 cos2x, 则 f(x)为偶函数,可知 C 正确. 【点评】 这是一道三角函数性质综合应用的问 题,需学生对三角函数的基本性质都要熟悉.

π ? φ ?≤ ) 4.函数 y=A· sin(ωx+φ)(A>0,ω>0, ? π 2 y=2sin(3x- ) 2 . 的图象如图所示,则其解析式为
? ? ?

π π 【解析】由图易知,A=2,T=4×( - ) 2 3 2π = , 3 2π 所以 ω= =3,即 y=2sin(3x+φ). T 确定 φ 的方法常有以下两种: π T π 解法一:令 3×( - )+φ=0 得,φ=- , 3 4 2 π 故所求函数的解析式为:y=2sin(3x- ). 2

π 解法二:把点( ,2)的坐标代入 y=2sin(3x+φ), 3 得 π 2sin(3× +φ)=2, 3 π 所以π+φ=2kπ+ (k∈Z), 2 π π 满足|φ|≤ 的 φ 值为- , 2 2 π 故所求函数的解析式为 y=2sin(3x- ). 2 【点评】 求解析式的难点是求 φ, 通常用代入法. 在 选择代入的点时,一般选最值点和平衡点.

m-2sinx π 5.已知函数 f(x)= 在区间(0, )上单调 cosx 2 递减,则实数 m 的取值范围为 (-∞,2] .

【解析】已知条件实际上给出了这样一个信息:函 π 数 f(x)在区间(0, )上导数小于等于零恒成立. 2 -2cosx·cosx-(-sinx)(m-2sinx) f′(x)= cos2x msinx-2 = ≤0 恒成立, cos2x 2 上式等价于 msinx≤2 恒成立,即 m≤ . sinx

π 又∵x∈(0, ), 2 2 ∴ >2,可知 m≤2,m∈(-∞,2]. sinx 【点评】 本题主要是训练学生运用导数解决三角函 数问题.三角函数的导数在理科中是一个热点问 题,它要求学生综合运用三角函数、导数、不等式 等知识, 还需要运用化归与转化的思想解决函数最 值的问题,有利于培养学生的运算能力,以及对知 识进行整合化归的能力.

1 6.若 tanθ + =4,则 sin2θ = . tanθ tan2θ+1 1 【解析】∵tanθ+ = =4, tanθ tanθ 2sinθcosθ ∴sin2θ=2sinθcosθ= 2 sin θ+cos2θ 2tanθ 2 1 = 2 = = . tan θ+1 4 2

1 2

【点评】考查同角三角函数的关系、二倍角公式,以及 “1”的代换及弦切互化等方法.解题的突破口是通过 “1”的代换,将整式转化为齐次分式,再通过同除以 cos2θ达到化切目的.

7.已知复数 z1=sin2x+λi,z2=m+(m- 3cos2x)i(λ,m,x∈R),且 z1=z2. (1)若 λ=0 且 0<x<π ,求 x 的值; (2)设 λ=f(x),求 f(x)的最小正周期和单调 减区间.

【解析】(1)利用 z1=z2,即实部、虚部对应相 等, 得到 λ=sin2x- 3cos2x. 当 λ=0 时,由 sin2x- 3cos2x=0 得 tan2x= 3. 注意角的范围 0<x<π, ∵0<2x<2π, π 4π ∴2x= 或 2x= , 3 3 π 2π 得 x= 或 . 6 3

1 (2)由 λ=f(x)=sin2x- 3cos2x=2( sin2x 2 3 - cos2x) 2 π 可化简得到 f(x)=2sin(2x- ). 3 最小正周期为π,单调减区间为[kπ+ 5π 11π ,kπ+ ],k∈Z. 12 12

【点评】第(1)问是从复数相等入手,但实质上,转化后 就是三角函数化简与求值问题.在知识的交汇中进行命 题也是新课标明确提出的,通过这道题目也可以让学生 进一步学会如何将新的问题化归为自己熟悉的题目,渗 透了数学的化归思想.

8 . 已 知 函 数 f(x) = 2 3 sinxcosx + 2cos2x - 1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ] 2 上的最大值和最小值; π π 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值. 5 4 2

【解析】(1)由 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1, 得 f(x)= 3(2sinxcosx)+(2cos2x-1) = 3sin2x+cos2x π =2sin(2x+ ). 6 所以函数 f(x)的最小正周期为π.

π π ∵f(x)=2sin(2x+ )在区间[0, ]上为增函 6 6 数, π π 在区间[ , ]上为减函数, 6 2 π π 又 f(0)=1,f( )=2,f( )=-1. 6 2 π ∴f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小值 2 为-1.

π (2)由(1),可知 f(x0)=2sin(2x0+ ), 6 6 又因为 f(x0)= , 5 π 3 所以 sin(2x0+ )= . 6 5 π π 由 x0∈[ , ], 4 2 π 2π 7π 得 2x0+ ∈[ , ]. 6 3 6

π 从而 cos(2x0+ )=- 6 4 =- 5

π 1-sin (2x0+ ) 6
2

π π 所以 cos2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin 6 6 6 6 3-4 3 = . 10

【点评】(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭 示同名不同角的三角函数的运算规律”,对公式要会 “正用”、“逆用”、“变形用”,记忆公式要注意、 三角函数名称排列以及连接符号“+”,“-”的变 化特点.

(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时, “变 换”是其中的精髓, 在“变换”中既有公式的各种 π 形式的变换,也有角之间的变换,如把 +2α 变 2 π 换成 2( +α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α 4 + β) + (α - β) , 2α = (β + α) - (β - α) , α + β = α+β α+β β α 2· , =(α- )-( -β)等. 2 2 2 2

+ 3sinω x 2 -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所 示,A 为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 10 2 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈(- , ),求 f(x0 5 3 3 +1)的值. 9.函数 f(x)=6cos

2ω x

【解析】(1)由已知可得, π f(x)=3cosωx+ 3sinωx=2 3sin(ωx+ ). 3 ∴正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,

ω

π ω= . 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3].

8 3 (2)因为 f(x0)= , 5 πx0 π 8 3 由(1)有 f(x0)=2 3sin( + )= , 4 3 5 πx0 π 4 即 sin( + )= . 4 3 5 πx0 π π π 10 2 由 x0∈(- , ),知 + ∈(- , ). 3 3 4 3 2 2 πx0 π 4 2 3 所以 cos( + )= 1-( ) = . 4 3 5 5

πx0 π π 故 f(x0+1)=2 3sin( + + ) 4 4 3 πx0 π π =2 3sin[( + )+ ] 4 3 4 πx0 π π πx0 = 2 3 [sin( + )cos + cos( + 4 3 4 4 π π )sin ] 3 4 4 2 3 2 7 6 =2 3( × + × )= . 5 2 5 2 5


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