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浙江省杭州市第二中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


杭州二中 2014 学年第二学期高二年级期中考数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题: ?x ? ?0,

? ?? ,sin x ? cos x ? 2 的否定是( ? 2? ?



A. ?x ?

?0,

? ?? ,sin x ? cos x ? 2 ? 2? ? ? ?? ,sin x ? cos x ? 2 ? 2? ?
B.若 p 则 q D.若 ? q 则 ? p

B. ?x ? ?0,

? ?? ,sin x ? cos x ? 2 ? 2? ? ? ?? ,sin x ? cos x ? 2 ? 2? ?

C. ?x ? ?0,

D. ?x ? ?0, )

2.与命题“若 p 则 q ”的否命题 必定同真假的命题为( ... A.若 q 则 p C.若 ? q 则 p

3.如图,一个几何体的三视图,侧视图和正视图均为矩形,俯 视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的体积为( ) A.18 C. 12 3 4. “ x ? 0 ”是“ B. 9 3 D. 4 3

1 ? 2 ”的( x

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 5.关于函数 y ? 4 x ?
2

1 在 x ? (0, ??) 上的最值的说法,下列正确的是( x
B. 无最大值,最小值为3 D. 无最大值,最小值为



A. 最大值为3,无最小值 C. 无最大值,无最小值

33 2


6.设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中真命题是 ( A.若 a , b 与 ? 所成角相等,则 a / / b C.若 a ? ? , b ? ? , a / /b, 则? / / ?

B.若 a / /? , b / / ? , ? / / ? , 则a / /b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? , 则a ? b

-1-

7.设 F1、F2 是双曲线

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0, 则 4 2
( B. 2 2 C.4 D.8 ) )

???? ???? ? |PF1 | ? | PF2 | 的值为
A.2

8.过点 (0,8) 作曲线 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 的切线,则这样的切线条数为( A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9.函数 f ( x) ? ln( x 2 ?1) 的导函数 f '( x) ? 10.函数 f ( x ) ? . . 命题(填“真”或“假” ) . ....... . .

1 2 x ? ln x 的单调递增区间是 2

11.已知 x, y ? R ,命题“ 若xy ? 18, 则x ? 2或y ? 9 ”是

12.函数 f ( x) ? e x ? kx 在区间 (1, ??) 上单调递增,则实数 k 的取值范围是 13.已知 x ? R ,若“ x ? a ”是“ 是 .

x有意义 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围

14.若存在 ..x ? [1,3] ,使得 ln x ? ax ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是 15.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? b 在 x ? 0 处有极大值 1 ,则 a ? b ?
3 2 2

. .

杭州二中 2014 学年第二学期高二年级期中考数学(文科)答卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分, 共 32 分,在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 二、 空 本 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 填 题: 大

-2-

题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分.请将答案填写在答题卷中的横线上.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.
A D

一、解答题:本大题有 4 小题, 共 40 分. 16 . 在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 , EF ⊥ 平 面 AEB , AE ? EB , AD // EF ,EF // BC ,BC ? 4 ,EF ? 3 , AD ? AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (1)求证: BD ? EG ; (2)求二面角 G ? DE ? F 的平面角的余弦值.
B

E

F

G

C

17.已知命题 p : 函数f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x 在R上无极值, 3 2

q:函数f ( x) ? x3 ? 3x - a 在(0, 2)上有两个不等的零点,
若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

-3-

18.抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点到其准线的距离是 2 .
2

(1)求抛物线 C 的标准方程;

??? ? ??? ? ??? ? ( 2 )直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点 , 若 OA ? OB ? ?4 , 且 | AB |? 4 6 ,求直线 l 的方
程. ( O 为坐标原点)

-4-

19.已知函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax ,
3 2

(1)若 a ? 2 ,求 f ( x ) 在 R 上的极值;

-5-

(2)若函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上的最大值是 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式.

2014 学年第二学期杭州二中高二数学(文)期中答案 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分, 共 32 分 . 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C

二、填空题:本大题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分.

9.

10.

11.



12.

13.

14.

15.

三、解答题:本大题有 4 小题, 共 40 分. 16. 解: (1) 解法 1 证明:∵ ∴ 又 平面 , , 平面 , , 平面 ,

-6-

∴ 过 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 作

平面 交 平面 .

. 于 , ,则 平面 .

,∴四边形 , ,又 为正方形, , 平面 ⊥平面 平面 . 平面 ⊥平面 , 平面 . , ,

平行四边形,



∴四边形 ∴ 又 ∴ ∵ ∴ (2)∵ ∴平面

平面

,

由(1)可知 ∴ ∵ ∴ 取 的中点 ,连结 是正方形, , ⊥平面 平面

∵四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ⊥平面 ⊥

平面



平面

-7-

∴ 由计算得

是二面角

的平面角,



∴平面 解法 2 ∵ ∴ 又 ∴

与平面

所成锐二面角的余弦值为

.

平面 , ,

, ,

平面



平面



两两垂直. 以点 E 为坐标原点, 分别为 轴

建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得, (2,4,0) , (2,2,0). ∴ ∴ ∴ (2)由已知得 设平面 ∵ 的法向量为 , . 是平面 的法向量. , , , , (0,0,2) , (0,3,0) , (2,0,0) , (0,2,2) ,

∴ 设平面

,即 与平面

,令

,得

.

所成锐二面角的大小为 ,



-8-

∴平面

与平面

所成锐二面角的余弦值为

.

17.解:

,则 ,

,即



则函数

,由图像可知,

则 由于

,解得 为真命题, 为假命题,则 必定为一真一假,所以

18.解: (1)由题意可知,

,则抛物线

的方程

(2)设直线 l 的方程为 可得 则 设 由 整理可得 即 化简可得 ,即 可得 ,即 ,则

,由



,即

,故


-9-

由于

解得,

,即

,则由于

,故

,即



把②③代入①,显然成立 综上,直线 的方程为

19. 解: (1) 若

, 则

, 则

x f'(x) f (x)
+ ↗ 0 极大值 , (2) ①当 = ②当 = 由于 , 在 故 ③当 ④当 =
- 10 -



0 极小值

+ ↗

时,



单调递减,在

单调递增,

时,



单调递增,在

单调递减,在

单调递增,

的条件下, 肯定为正, 所以 ,



= 时, 时, 在 在 单调递增 单调递增,在 =

单调递减,在

单调递增,

由于

,则当

时,

,即

当 ⑤当

时, 时, 在

,即 单调递增,在 单调递减, =

综上所述,

- 11 -


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