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高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 . 古典概型练习 理-课件


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.5 古典概型练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2016·安徽联考]有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的编号互不相同的概率为( A. C. 5 21 1 3 ) B. D. 2 7 8 21
4

答案 D 解析 从编号分别为 1

,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球中随机取出 4 个,有 C10=210 种 不同的结果,由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的.设事件 A 为“取出 80 1 1 1 1 1 球的编号互不相同”,则事件 A 包含了 C5·C2·C2·C2·C2=80 个基本事件,所以 P(A)= 210 8 = .故选 D. 21

x y 1 2.抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为 a,b,那么直线 + =1 的斜率 k≥- 的 a b 2
概率为( A. C. 1 2 3 4 ) B. D. 1 3 1 4

答案 D 解析 记 a,b 的取值为数对(a,b),由题意知(a,b)的所有可能取值有 36 种.由直线

x a

y b 1 b 1 + =1 的斜率 k=- ≥- ,知 ≤ ,那么满足题意的(a,b)可能的取值为(2,1),(3,1), b a 2 a 2
9 1 (4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有 9 种,所以所求概率为 = . 36 4 3.[2015·广东高考]袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个 红球.从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( A. C. 5 21 11 21
2

)

B.

10 21

D.1

答案 B 解析 由题意得基本事件的总数为 C15, 恰有 1 个白球与 1 个红球的基本事件个数为 C10C5, C10C5 10 所以所求概率 P= 2 = .故选 B. C15 21 4.[2014·课标全国卷Ⅰ]4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
1
1 1 1 1

A. C.

1 8 5 8

B. D.

3 8 7 8
4

答案 D 解析 解法一:4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有 2 =16(种)结果, 而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人,另一天三人,C4A2=8(种);② 8+6 7 2 每天二人,有 C4=6(种),所以 P= = . 16 8 解法二(间接法):4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动,共有 2 =16(种)结 2 7 果,而 4 人都选周六或周日有 2 种结果,所以 P=1- = . 16 8 5.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特 征完全相同.从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( A. C. 8 91 48 91 B. D. 25 91 60 91 )
4 1 2

答案 C 解析 (直接法:结合排列、组合知识用古典概型求解) 因为总的取法为 C15,而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅 汤圆取得个数分别按 2,1,1;1,2,1;1,1,2 三类,故所求概率为 C6C5C4+C6C5C4+C6C5C4 15×20+6×40+180 48 = = . 4 C15 15×13×7 91
2 1 1 1 2 1 1 1 2 4

P=

6.[2016·洛阳诊断]设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个 数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件

Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为(
A.3 C.2 和 5 答案 D B.4 D.3 和 4

)

解析 点 P 的所有可能值为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3). 当 n=2 时,P 点可能是(1,1); 当 n=3 时,P 点可能是(1,2),(2,1); 当 n=4 时,P 点可能是(1,3),(2,2); 当 n=5 时,P 点可能是(2,3). 即事件 C3,C4 的概率最大,故选 D. 7.[2015·江苏高考]袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球. 从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 答案 5 6
2

解析 从 4 只球中一次随机摸出 2 只球,C4=6,有 6 种结果,其中这 2 只球颜色不同有
2

5 5 种结果,故所求概率为 . 6 8.[2015·西安测评卷]从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的 1 两数之和等于 5 的概率为 ,则 n=________. 14 答案 8 解析 试验基本事件总个数为 Cn,而和为 5 的取法有 1,4 与 2,3 两种取法,由古典概型 2 1 概率计算公式得 P= 2= ,解得 n=8. Cn 14 9.[2016·徐州月考]如图,沿田字形的路线从 A 往 N 走,且只能向右或向下走,随机地 选一种走法,则经过点 C 的概率是________.
2

答案

2 3

解析 解法一(数形结合法): 按规定要求从 A 往 N 走只能向右或向下, 所有可能走法有:

A→D→S→J→N , A→D→C→J→N , A→D→C→M→N , A→B→C→J→N , A→B→C→M→N , A→B→F→M→N 共 6 种,其中经过点 C 的走法有 4 种,∴所求概率 P= = .
解法二:由于从 A 点出发后只允许向右或向下走,记向右走为 1,向下走为 2,欲到达 N 点必须两次向右,两次向下即有两个 2 两个 1.∴所有基本事件为(1122),(1212),(1221), (2112),(2121),(2211)共 6 种不同结果,而只有先右再下或先下再右两类情形经过 C 点, 即前两个数字必须一个 1 一个 2,∴事件“经过点 C”含有的基本事件有(1212),(1221), (2112),(2121)共 4 个, 4 2 ∴P= = . 6 3 10.[2016·洛阳模拟]现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率. (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 解 (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,
3 3

4 2 6 3

所以基本事件总数为 10×10×10=10 (种); 设事件 A 为“连续 3 次都取出正品”,则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种, 8 因此 P(A)= 3=0.512. 10
3
3

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z), 则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能, 所以基本事件总数为 10×9×8. 设事件 B 为“3 件都是正品”, 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6, 8×7×6 7 所以 P(B)= = . 10×9×8 15 [B 组·能力提升练] 1. [2016·梅州质检]从正方体的 8 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条, 则 这两条直线是异面直线的概率是( A. C. 29 189 34 63
2

) B. D. 29 63 4 7
2

答案 B 解析 从 8 个顶点中任选 2 个共确定直线 C8=28(条),从中任取两条直线有 C28种取法, 从八个顶点任取四个不共面的点共有(C8-12)组,而其中每一组不共面的四点可以出现 3 对 ?C8-12?×3 29 异面直线,故 P= = . 2 C28 63 2.[2015·淄博一模]将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点 数记为 b,设任意投掷两次使两条不重合直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 平行的概率为 137 的内部, 则实数 m 的取值范围是( 144 7? ? B.?-∞, ? 18? ?
4 4

P1, 相交的概率为 P2, 若点(P1, P2)在圆(x-m)2+y2=

)

? 5 ? A.?- ,+∞? ? 18 ? ? 7 5? C.?- , ? ? 18 18?
答案 D

? 5 7? D.?- , ? ? 18 18?

解析 对于 a 与 b 各有 6 种情形,故总数为 36 种. 两条直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 平行的情形有 a=2,b=4 或 a=3,b=6,故概 2 1 率为 P1= = . 36 18 两条直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 相交的情形除平行与重合(a=1,b=2)即可, 33 11 ∴P2= = , 36 12 137 2 2 ∵点(P1,P2)在圆(x-m) +y = 的内部, 144 ∴?

? 1 -m?2+?11?2<137, ? ? ? ?18 ? ?12? 144

5 7 解得- <m< ,故选 D. 18 18

4

3.[2015·福州一模]已知|p|≤3,|q|≤3,当 p,q∈Z 时,则方程 x +2px-q +1=0 有两个相异实数根的概率是________. 答案 44 49
2 2 2 2 2

2

2

解析 (数形结合思想)由方程 x +2px-q +1=0 有两个相异实数根,可得 Δ =(2p) - 4(-q +1)>0,即 p +q >1. 当 p,q∈Z 时,设点 M(p,q),如图,直线 p=-3,-2,-1,0,1,2,3 和直线 q=-3, -2,-1,0,1,2,3 的交点,即为点 M,共有 49 个,其中在圆上和圆内的点共有 5 个(图中黑 点).
2

当点 M(p,q)落在圆 p +q =1 外时, 方程 x +2px-q +1=0 有两个相异实数根. 49-5 44 2 2 所以方程 x +2px-q +1=0 有两个相异实数根的概率 P= = . 49 49 4.[2015·唐山模拟]无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5,当 a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4>a5 时称 为波形数,则由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 ________. 答案 2 15
2 2 2

2

2

解析 ∵a2>a1,a3;a4>a3,a5,∴a2 只能是 3,4,5. (1)若 a2=3,则 a4=5,a5=4,a1 与 a3 是 1 或 2,这时共有 A2=2(个)符合条件的五位数. (2)若 a2=4,则 a4=5,a1,a3,a5 可以是 1,2,3,共有 A3=6(个)符合条件的五位数. (3)若 a2=5,则 a4=3 或 4,此时分别与(1)(2)情况相同. ∴满足条件的五位数有 2(A2+A3)=16(个). 又由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A5=120(个),故所求概率为 16 2 = . 120 15 1 5. [2015·杭州模拟]袋中装有黑球和白球共 7 个, 从中任取 2 个球都是白球的概率为 . 7 现有甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取,?,取后不放回,直到两
5 2 3 3

5

人中有 1 人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求取球 2 次即终止的概率; (3)求甲取到白球的概率. 解 (1)设袋中原有 n 个白球,从袋中任取 2 个球都是白球有 Cn=
2 2

n?n-1?
2

种结果,从

袋中任取 2 个球共有 C7=21(种)结果.

n?n-1?
1 由题意知 = 7 2 21 =

n?n-1?
42



∴n(n-1)=6,解得 n=3 或 n=-2(舍去), 即袋中原有 3 个白球. C4C3 2 (2)记“取球 2 次即终止”为事件 A,即 P(A)= 2 = . A7 7 (3)记“甲取到白球”为事件 B,“第 i 次取到白球”为事件 Ai,i=1,2,3,4,5,因为甲 先取,所以甲只能在第 1 次,第 3 次和第 5 次取球. C3 A4C3 A4C3 3 6 1 22 所以 P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)= 1+ 3 + 5 = + + = . C7 A7 A7 7 35 35 35
1 2 1 4 1 1 1

6


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