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1[1].2子集全集补集练习题


1.2 子集、全集、补集练习题 子集、全集、
1、已知全集 U={ |- <x<9} ={ |1<x<a} 若 A≠ φ ,则 a 的取值范围是 、 ={x|- ,A={ ,若 ≠ ={ |-1< < } ={x| < < } , , (B) ) (A)a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D)1<a≤9 ) < ) ≤ ) ≥ ) < ≤ 。如果 2、已知全集 U={ ,4,1-a} ={ ,a2-a+2} 如果 CUA= ={2, , - } ={2, ,A={ 、 ={ , + } 。 = {-1} ,那么 {- } 那么 a 的值为 2 , 。 3、已知全集 U,A 是 U 的子集, φ 是空集,B=CUA,求 CUB,CU φ ,CUU。 、 的子集, 是空集, = , , , 。 (CUB= CU(CUA,CU φ =U,CUU= φ ) , , = 4、设 U={梯形},A={等腰梯形},求 CUA. 、 . {梯形} {等腰梯形} 求 解:CUA={不等腰梯形}. {不等腰梯形} 5、已知 U=R,A={x|x2+3x+2<0}, 求 CUA. 、 , { | } . { | ≤ 解:CUA={x|x≤-2,或 x≥-1}. 6、集合U={ ,y)|x∈{1,2},y∈{1,2} , (x, ) ∈ 、集合U { ( } ∈ } } (x, ) ∈ ,求 A={ ,y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3} 求 CUA. { ( ∈ } , . (1, )(2, ) }. 解:CUA={ ,1)( ,2) . { ( , } 7、设全集 U(U ≠ Φ) 已知集合 M,N,P,且 M=CUN,N=CUP,则 M 与 P 的关系是( ) ,已知集合 M=C , C , 的关系是( 、 ( , (B) (C) (D) M=C , ( , ( , ( . ( A) M=CUP, )M=P, )M ? P, )M ? P. 解:选 B. 选 8、设全集 U={2,3, a + 2a ? 3 },A={b,2}, CU A ={b,2},求实数 a 和 b 的值 、 的值. 求实数
2

(a=2、-4,b=3) 、 9、 1)若 S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CSA 、 ) ( , , , , , , , , , (2)若 A={0},求证:CNA=N* ) ,求证: 是无理数集。 。 3)求证:CRQ 是无理数集。 ( )求证: 10、已知全集 U=R,集合 A={ |1≤2x+1<9} 求 C U A。 、 ={x| ≤ + < } ,求 = , ={ , 。 11、已知 S={ |- ≤x+2<8} ={ |- <1-x≤1} 、 ={x|- ,A={ |-2< - ≤ } ={ |-1≤ + < } ={x|- , , B={ |5<2x-1<11} 讨论 A 与 C S B 的关系。 ={x| < - < } ,讨论 的关系。 ={ , 12、.已知 S={ ,b} ?S,则 A 与 CSA 的所有组对共有的个数为 、 已知 ={ ={a, } ,A , , (A)1 ) (B)2 ) (C)3 ) (D)4 ) (D) )

-1

A B4 1

0 2

13、.设全集 U(U≠ φ ) 已知集合 M、N、P,且 M=CUN,N=CUP,则 M 与 P 的关系是 、 设全集 ( ≠ , ,已知集合 、 、 , = , = , M=P = 。 14、已知 U=﹛( ,y)︱ ∈﹛1,2﹜, ∈﹛1,2﹜﹜, ﹛(x, )︱ )︱x∈ , ﹜, ﹜,y∈ , ﹜﹜, 、 ﹛( A=﹛(x,y)︱x-y=0﹜,求 ﹛ , ) ﹜
U

A。 。

(

U

A=﹛(1,2)(2,1)﹜) ﹛ , )( , ) , A 的真子集的个数。 的真子集的个数。 .

15、设全集 U=﹛1,2,3,4,5﹜, ﹛2,5﹜,求 、 ﹜,A=﹛ , ﹜, ﹜,求 ﹛ , , , , ﹜, 16、若 S={三角形 ,B={锐角三角形 ,则 CSB= 、 三角形}, 锐角三角形}, 三角形 锐角三角形 CSB={直角三角形或钝角三角形 直角三角形或钝角三角形} 直角三角形或钝角三角形

U

17、 已知 A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求 B= 、 , , , , , , , , 利用文恩图, 利用文恩图,B={1,4} , 18、 已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x∈U}, , ∈ , 、 , , , , 求 CUA、m. 、 2 解:将 x=1、2、3、4 代入 x -5x+m=0 中,m=4、6. 、 、 、 、 当 m=4 时,A={1,4}; , ; m=6 时,A={2,3}. , 故满足题条件: 故满足题条件:CUA={2,3},m=4;CUA={1,4},m=6 , , ; , ,

子集、全集、补集· 子集、全集、补集·典型例题
例 1 判定以下关系是否正确

(1){a} ? {a} ;
(4)0∈{0} ∈

(2){1,2,3}={3,2,1} ; , , = , ,

? (3)? ≠{0}

(5)?∈{0} (6)?={0}
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 何非空集合的真子集. 分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的. ①②③④是正确的 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的. 说明: 的集合非空. 说明:含元素 0 的集合非空. 列举集合{1, , 的所有子集 的所有子集. 例 2 列举集合 ,2,3}的所有子集. 分析 子集中分别含 1,2,3 三个元素中的 0 个,1 个,2 个或者 3 个. , ,

解 含有0个元素的子集有:?;
个元素的子集有{1}, , ; 含有 1 个元素的子集有 ,{2},{3}; 个元素的子集有{1, , , , , ; 含有 2 个元素的子集有 ,2},{1,3},{2,3}; 个元素的子集有{1, , . 含有 3 个元素的子集有 ,2,3}.共有子集 8 个.

说明:对于集合A,我们把?和A叫做它的平凡子集.
例3 已知{a,b} ? A ? {a,b,c,d},则满足条件集合A的个数为 ________. . ≠
真子集, 分析 A 中必含有元素 a,b,又 A 是{a,b,c,d}真子集,所以满足条件的 A 有:{a,b}, , , , , , 真子集 , , {a,b,c}{a,b,d}. , , , , . 答 共 3 个. 说明: 中元素受到的所有约束. 说明:必须考虑 A 中元素受到的所有约束.

? 例 4 设U为全集,集合M、N ≠ U,且N ? M,则 [

]

图形. 分析 作出 4 图形. 答 选 C. . 说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便. 说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便. 例 5 设集合 A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系式 = = - + ∈ , = = + , ∈ , 中正确的是[ 中正确的是 ]

A.A=B C.A ? B ≠
x=5-4a+a2=(2-a)2+1≥1, = - + - ≥ ,

B.A ? B ? D.A ≠ B

问题转化为求两个二次函数的值域问题, 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上

y=4b2+4b+2=(2b+1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此 A=B. = 相同的, + = + ≥ ,所以它们的值域是相同的 = . 答 选 A. . 说明:要注意集合中谁是元素. 说明:要注意集合中谁是元素.

M 与 P 的关系是 的关系是[ A.M= UP . =

] B.M=P . =

? C.M ≠ P

D.M ? P

可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除 的方法;二是利用补集的性质: 排除)的方法 分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证 排除 的方法;二是利用补集的性质:M = UN= U( UP)=P;三是利用画图的方法. = = ;三是利用画图的方法.

答 选 B. . 说明:一题多解可以锻炼发散思维. 说明:一题多解可以锻炼发散思维. 下列命题中正确的是[ ] 例 7 下列命题中正确的是 A. U( UA)={A} . =

B.若A∩B=B,则A ? B C.若A={1,?,{2}},则{2} ? A ≠
D.若A={1, 2 , 3},B={x|x ? A},则A∈B
分析 D 选择项中 A∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支. ∈ 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的选择支.

∵D选择支中,B中的元素,x ? A,即x是集合A的子集,而A的子

集有?,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2 , 3},{1, 2 , 3},而B
是由这所有子集组成的集合, 是其中的一个元素. 是由这所有子集组成的集合,集合 A 是其中的一个元素. 子集组成的集合 ∴A∈B. ∈ . 答 选 D. . 说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意. 说明:选择题中的选项有时具有某种误导性,做题时应加以注意. 例 8 已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合 C 是这样一个 = , , , , , = , , , , , 集合: 的一个子集; 集合:其各元素都加 2 后,就变为 A 的一个子集;若各元素都减 2 后,则变为 B 的一个子 集,求集合 C. . 逆向操作: 中元素必在其中; 分析 逆向操作:A 中元素减 2 得 0,2,4,6,7,则 C 中元素必在其中;B 中元素加 2 , , , , , 中元素必在其中; 得 3,4,5,7,10,则 C 中元素必在其中;所以 C 中元素只能是 4 或 7. , , , , , . 答 C={4}或{7}或{4,7}. = 或 或 , . 说明:逆向思维能力在解题中起重要作用. 说明:逆向思维能力在解题中起重要作用. 4}, 2, 4}, = , 则 = . 例 9 设 S={1, , , , M={x∈S|x2-5x+p=0}, = , 3, 且 = ∈ + = , 若 SM={1, , p=________. 本题渗透了方程的根与系数关系理论, 分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于 SM={1,4}, = , ,

? 且M ≠ S,
则由韦达定理可解. ∴M={2,3}则由韦达定理可解. = , 则由韦达定理可解 = × = . 答 p=2×3=6. 说明:集合问题常常与方程问题相结合. 说明:集合问题常常与方程问题相结合. 的值. 例 10 已知集合 S={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2}, SA={a+3},求 a 的值. = , , - , = + , , = + ,

S 这个集合是集合 A 与集合 SA 的元素合在一起“补成”的,此外,对这类字母的集合问 的元素合在一起“补成” 此外,对这类字母的集合问 题,需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用. 需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用. 解 由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满足

?a+ 3= 3 ? 2 ?|a+1| =a + 2a- 3 (1) ? 2 ?a + 2a- 3≠ 2 ?a 2 + 2a- 3≠ 3 ?

?a+ 3=a 2 + 2a- 3 ? ② ?|a+1| = 3 或 (2) ? 2 ③ ?a + 2a- 3≠ 2 ?a 2 + 2a- 3≠ 3 ④ ? ①

① ② ③ ④

②③④检验 在(1)中,由①得 a=0 依次代入②③④检验,不合②,故舍去. 中 = 依次代入②③④检验,不合② 故舍去. =-3, = ,分别代入②③④检验, =- 不合② 故舍去, = ②③④检验 =-3 在(2)中,由①得 a=- ,a=2,分别代入②③④检验,a=- 不合②,故舍去,a=2 能满 中 =- ②③④. 足②③④.故 a=2 符合题意. = 符合题意. 说明:分类要做到不重不漏. 说明:分类要做到不重不漏.


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