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司马红丽——文科二轮复习讲义


文科二轮专题讲义

第一讲 选择题的七大方法总结
【知识要点归纳】 1、直接求解法: 例 1、定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ? 2? ? 0 在区间 ? 0, 6 ? 内整数解的个数的最小值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ) )

例 2、已知等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30 ,前 2

m 项和为 100 ,的它的前 3m 项和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

例 3、如果等比数列 ?an ? 的首项是正数,公比大于 1 ,那么数列 ?log 1 an ? 是(

? ?

? ?



3

A.递增的等比数列

B.递减的等比数列

C.递增的等差数列

D.递减的等差数列 )

例 4、已知 ? 是第三象限角, cos? ? m ,且 sin

?
2

? cos

?
2

? 0 ,则 cos
D. ?

?
2

等于(

A.

1? m 2

B. ?

1? m 2

C.

1? m 2

1? m 2

例 5、设 F 1 、 F2 为双曲线 积是( A. 1 ) B.

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,点 P 在双曲线上满足 ?F1PF2 ? 90? ,则△ F1PF2 的面 4

5 2

C. 2

D. 5

2 2 例 6、 椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于 A 、B 两点, 过 AB 中点 M 与原点的直线斜率为

m 2 , 则 n 2

的值为( A.

) B.

2 2

2 3 3

C. 1

D.

3 2

2、特殊化法: 例 1、如图,定圆半径为 a ,圆心为 ? b, c ? ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点在( A.第四象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 y )

O
1

x

文科二轮专题讲义

例 2、函数 f ? x ? ? M sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 )在区间 ? a, b? 上是增函数,且 f ? a ? ? ?M , f ? b ? ? M , 则函数 g ? x ? ? M cos ?? x ? ? ? 在 ? a, b? 上( A.是增函数 B.是减函数 ) D.可以取得最小值 ? M

C.可以取得最大值 M

例 3、已知实数 a , b 均不为零,

a sin ? ? b cos ? ? b ? tan ? ,且 ? ? ? ? ,则 等于( ) a cos ? ? b sin ? 6 a
C. ? 3 D. ?

A. 3

B.

3 3

3 3


例 4、已知 a , b 是任意实数,记 a ? b , a ? b , b ? 1 中的最大值为 M ,则( A. M ? 0 B. 0 ? M ?
2

1 2

C. M ? 1

D. M ?

1 2

例 5、已知函数 f ? x ? ? 2mx ? 2 ? 4 ? m? x ?1 , g ? x ? ? mx ,若对于任一实数 x , f ? x ? 与 g ? x ? 的值至 少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( A. ? 0, 2 ? B. ? 0,8? C. ? 2,8? ) D. ? ??,0?

例 6、给出下列四个命题,正确的是: ⑴若 sin 2 A ? sin 2 B 则△ ABC 是等腰三角形; ⑵若 sin A ? sin B 则△ ABC 是直角三角形; ⑶若 sin A ? sin B ? sin C ? 2 则△ ABC 是钝角三角形; ⑷若 cos ? A ? B? cos ? B ? C ? cos ?C ? A? ? 1 则△ ABC 是正三角形; A.⑴⑵ B.⑶⑷ C.⑴⑷ D.⑵⑶

2 例 7 、设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A , B , C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则

FA ? FB ? FC ?(
A. 9 B. 6

) C. 4 D. 3

例 8、已知对任意实数 x 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , g ? ? x ? ? g ? x ? ,且 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , g? ? x ? ? 0 ,则

x ? 0 时(

) B. f ? ? x ? ? 0, g? ? x ? ? 0 D. f ? ? x ? ? 0, g? ? x ? ? 0

A. f ? ? x ? ? 0, g? ? x ? ? 0 C. f ? ? x ? ? 0, g? ? x ? ? 0

2

文科二轮专题讲义

3、排除法:

?2? x ? 1 ? 例 1、设函数 f ? x ? ? ? 1 2 ? x ?
A. ? ?1,1?

? x ? 0? ? x ? 0?

,若 f ? x0 ? ? 1 ,则 x0 的取值范围是(



B. ? ?1, ?? ?

C. ? ??, ?2?

?0, ???

D. ? ??, ?1?

?1, ???

例 2、已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? p ? 2? x ? p ,若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 内至少存在一个实数 c ,使

f ? c ? ? 0 ,则实数 p 的取值范围是(
A. ?1, 4 ? 例 3、已知 sin ? ? B. ?1, ?? ?

) D. ? 0,1? )

C. ? 0, ???

m?3 4 ? 2m ? ? , cos ? ? ( ?? ?? ) ,则 tan ? ( m?5 m?5 2 2
B.

A.

m?3 9?m

m?3 9?m

C.

1 3


D. 5

例 4、函数 f ? x ? ?

sin x sin x ? 2sin x 2

是(

A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

?2 x ? y ? 12 ?2 x ? 9 y ? 36 ? 例 5、变量 x , y 满足下列条件: ? ,则使得 z ? 3x ? 2 y 的值取得最小的 ? x, y ? 是( ?2 x ? 3 y ? 24 ? ? x ? 0, y ? 0
A. ? 4.5,3? B. ? 3,6 ? C. ? 9, 2 ? D. ? 6, 4 ? )



例 6、设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则( A. 0 ? x ? ? B.

?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2

4、数形结合法(图像法) : 例 1、对于任意 x ? R ,函数 f ? x ? 表示 ? x ? 3 , ( A. 2 ) B. 3 C. 8 D. ?1

3 1 x ? , x 2 ? 4 x ? 3 中的较大者,则 f ? x ? 的最小值是 2 2

3

文科二轮专题讲义

例 2、已知向量 OB ? ? 2,0 ? ,向量 OC ? ? 2, 2 ? ,向量 CA ? 的夹角的取值范围是( A. ? 0, ) C. ?
?

?

2 cos ? , 2 sin ? ,则向量 OA 与向量 OB

?

? ?? ? 4? ?

B. ?

? ? 5? ? , ? 4 12 ? ?

? 5? ? ? , ? 12 2 ? ?

D. ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

例 3、已知方程 x ? 2n ? k x ( n ? N )在区间 ? 2n ?1, 2n ? 1? 上有两个不相等的实数根,则 k 的取值范 围是( A. k ? 0 ) B. 0 ? k ?

1 2n ? 1

C.

1 1 ?k? 2n ? 1 2n ? 1

D.以上都不是

5、极限法: 例 1、设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( a 2 ? a ? 1?2



A.

?

2, 2

?

B.

?

2, 5

?


C. ? 2,5?

D. 2, 5

?

?

例 2、设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V , P 、 Q 分别是侧棱 AA1 、 CC1 上的点,且 PA ? QC ,则四 棱锥 B ? APQC 的体积为( A. V

1 6

B. V

1 4

C. V

1 3

D. V

1 2

6、推理分析法: 例 1、当 x ?? ?4,0? 时, a ? ? x ? 4 x ?
2

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能值是( 3
D. ?5



A. 5

B.

5 3

C. ?

5 3

7、类比推理法: 例 1、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结 论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

4

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1. 设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a
1

) C. c ? a ? b D. c ? b ? a

2. 某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 ..6 时再 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? ? x?( ? x ? 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A.y=[ ( )

x ] 10

B.y=[

x?3 ] 10

C.y=[

x?4 ] 10

D.y=[

x?5 ] 10

5 5 5 ,则 a , b , c 的大小关系是( 3. 设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2



A. a ? c ? b
1

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

4. 给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间(0,1)上单调递
2

减的函数序号是( A.①② B.②③

) C.③④ D.①④

5. 观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x3 , (cos x)' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足

f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =(
A. f ( x ) B. ? f ( x ) C. g ( x)

) D. ? g ( x)

6. 已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 A. 5 2 B.7 C. 6 D. 4 2

a4a5a6 =(

)

7. 设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成 立的是( ) B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

2 2 P F2 = 60 0 ,则 | PF1 | ? | PF2 |? 8. 已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1

( A.2

) B.4 C. 6 D. 8
5

文科二轮专题讲义

2 2 P 在 C 上, ?F1PF2 ? 600 ,则 P 到 x 轴的 9. 已知 F 1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 1 的左、右焦点,点

距离为( A.

) B.

3 2

6 2

C. 3

D. 6

10. 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ] C.[-1, 1 ? 2 2 ]
2 2



B.[ 1 ? 2 ,3] D.[ 1 ? 2 2 ,3]

11. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M 、 N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围 是( )

A. ? ? , 0 ? ? 4 ?

? 3

?

B. ? ??, ? ? 4

? ?

3? ?

?0, ?? ?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ? , 0 ? ? 3 ?

? 2

?

12. 动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 调递增区间是( A. ?0,1? ) B. ?1,7? C. ?7,12? D. ?0,1? 和 ?7,12?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单 2 2

6

文科二轮专题讲义

第二讲 填空题的三大方法
1、直接求解法: 例 1、过抛物线 y ? ax2 ( a ? 0 )的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若线段 PF 、 FQ 的长分别 为 p 、 q ,则

1 1 ? ? p q



2、特殊化法: 例 1 、 在 △ ABC , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c . 若 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 , 则

cos A ? cosC ? 1 ? cos A cos C

. . . .

例 2、设 a ? b ? 1 ,则 log a b , logb a , log ab b 的大小关系是 例 3、求值 cos a ? cos
2 2

? a ?120?? ? cos 2 ?a ? 240 ? ? ?

例 4、若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是
2

例 5、如果函数 f ? x ? ? x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f ? 2 ? t ? ? f ? 2 ? t ? ,那么 f ?1? , f ? 2 ? , f ? 4 ? 的 大小关系是 .

例 6、已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? a4 ? a10



3、数形结合法(图像法) 例 1 、如果不等式 是 .
2

4 x ? x 2 ? ? a ? 1? x 的解集为 A ,且 A ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ,那么实数 a 的取值范围

2 例 2、已知实数 x 、 y 满足 ? x ? 3 ? ? y ? 3 ,则

y 的最大值是 x ?1



例 3、已知 A? 4,0? , B ?3, 3 是椭圆 值是 .

?

?

x2 y 2 ? ? 1 内的点, M 是椭圆上的动点,则 MA ? MB 的最大 25 9

7

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1. 如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直, 且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平 分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1 ,S2 ,S3 ,则 S1 ,S2 ,S3 的 大小关系为 . A y C O P

O

C

B

2. 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动. 设顶点 p ? x, y ? 的纵坐标 与横坐标的函数关系是 y ? f ( x) ,则 f ( x ) 的最小正周期为 ;

B

y ? f ( x) 在 其 两 个 相 邻 零 点 间 的 图 像 与 x 轴 所 围 区 域 的 面 积
为 .

A

x

3. 观察下列等式: ① cos 2a ? 2cos a ? 1;
2

② cos 4a ? 8cos a ? 8cos a ? 1 ;
4 2

③ cos 6a ? 32cos a ? 48cos a ? 18cos a ? 1 ;
6 4 2

④ cos8a ? 128cos a ? 256cos a ? 160cos a ? 32cos a ? 1;
8 6 4 2

⑤ cos10a ? m cos10 a ?1280cos8 a ? 1120cos6 a ? n cos4 a ? p cos2 a ?1 . 可以推测, m ? n ? p ?
3 3 2 3


3 3 2 3 3 3 3 2

4. 观察下列等式:1 +2 =(1+2) ,1 +2 +3 =(1+2+3) ,1 +2 +3 +4 =(1+2+3+4) ,?, 根据上述规律,第四个等式 为 ..... 5. 已知椭圆 C : .

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0 ? 0 ? y0 ? 1 ,则 PF1 ? PF2 的取值范 2 2
x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数_____. 2

围为_______,直线

8

文科二轮专题讲义

第三讲 解析几何大题训练—弦长问题
【要点归纳】 一、点、线和圆锥曲线的位置关系及判定:

二、韦达定理法:

三、运算技巧:

9

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、已知椭圆方程为 ⑴ y ? x;

x2 ? y 2 ? 1,试判断下列直线和椭圆的位置关系. 4
⑵ y ? x ?8; ⑶ y ? x? 5.

例 2、已知双曲线方程为 ⑴ y ? 3x ;

x2 y 2 ? ? 1 ,试判断下列直线和双曲线的位置关系 3 9
⑵ y ? x ?8; ⑶ y ? 2x ? 3 .

例 3、已知直线 y ? kx ? 3 与椭圆 一个交点和没有交点.

x2 ? y 2 ? 1,试判断 k 的取值范围,使得直线与椭圆分别有两个交点、 2

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 例 4、直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 5 m



10

文科二轮专题讲义

例 5、直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A 、 B .求实数 k 的取值范围.

例 6、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ?



例 7、已知直线 y ? x ? 1 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1相交于 A 、 B 两点,求 AB 的长. 4

例 8、已知椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . ⑴当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点; ⑵若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

11

文科二轮专题讲义

例 9、已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在坐标轴上,直线 y ? x ? 1 与椭圆交于 P 和 Q ,且 OP ?OQ ,

OP ?

10 ,求椭圆方程. 2

例 10、斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于两点 A 、 B ,求线段 AB 的长.

12

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1.直线 y ? x ? b ( b ? 0 )与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的交点( A.只有 1 个 B.只有 2 个 C.没有交点 ) D.交点个数与 b 的大小有关 )

2.过点 ? 3,0 ? 的直线 l 与双曲线 4x2 ? 9 y 2 ? 36 只有一个公共点,则直线 l 共有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 )

3.过点 ? 0,1? 且与抛物线 y 2 ? x 只有一个公共点的直线有( A.一条 B.两条 C.三条 D.无数条

4.过点 M ? 2,4 ? 作与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线 l 有( A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 C. 3 条



5.直线 y ? x ? m 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点,则 AB 的最大值是( 4



A. 2
2

B.

4 5 5

C.

4 10 5

D.

8 10 5


6.抛物线 y ? 4 x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为

7.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB ? ( ) B. 8
2

A. 10

C. 6

D. 4

8.已知双曲线 x ?

y2 ? 1,过点 P ?1,1? 的直线 l 与双曲线只有一个公共点,求直线 l 的斜率值. 4

9.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1,它的弦 PQ 的长是实轴长的 2 倍,如果弦 PQ 所在的直线 l 过点 A 2

?

3, 0 ,

?

求直线方程.
2 10.过抛物线 y ? 4 x ( a ? 0 )的焦点 F ,作相互垂直的两条焦点弦 AB 和 CD ,求 AB ? CD 的最小

值.

13

文科二轮专题讲义

第四讲 解析几何大题训练—向量结合
【知识要点归纳】 一、向量相关知识:

二、向量与韦达定理法的关系:

14

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、 设F F2 分别为椭圆 C : 1,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B a 2 b2

两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

例 2、在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 ? 3, 0 , F2

?

?

?

3, 0 的距离之和是 4 ,点 M 的轨迹是 C ,直

?

线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q . ⑴求轨迹 C 的方程; ⑵是否存在常数 k , OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

15

文科二轮专题讲义

1 x2 y 2 例 3、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )短轴的一个端点 D 0, 3 ,离心率 e ? .过 D 作直线 l 与椭 2 a b
圆交于另一点 M ,与 x 轴交于点 A (不同于原点 O ) ,点 M 关于 x 轴的对称点为 N ,直线 DN 交 x 轴于点 B . ⑴求椭圆方程; ⑵求 OA ? OB 的值.

?

?

例 4、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B . ⑴求椭圆 C 的方程;

1 ? 3? ,且经过点 M ? 1, ? ,过点 P ? 2,1? 的直线 l 2 ? 2?

⑵是否存在直线 l ,满足 PA ? PB ? PM ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

2

16

文科二轮专题讲义

例 5、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,经过点 P 线与椭圆相交于 A , B 两点. ⑴求椭圆的方程;

?

2,1 且离心率 e ?

?

2 .过定点 C ? ?1,0? 的直 2

A? M B 为常数?若存在, ⑵在 x 轴上是否存在点 M , 使M 求出点 M 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

例 6、椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 2

1?

2 ,直线 l 与 y 轴交于点 P ? 0, m? ,与椭圆 C 交于相异两点 A , B ,且 AP ? ? PB . 2

⑴求椭圆方程; ⑵若 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围.

17

文科二轮专题讲义

例 7、已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A , B ,已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? . (i)若|AB |=

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

(ii)若点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值.

例 8、 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F , 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点, 点 A 关于 x 轴 的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

18

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A 、 B 两点.当 k 为何值时,以 AB 为直径的圆经过原点.

2.椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且过 ? 2, 0 ? 点. 2 a b 2

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,若△ OAB 是直角三角形,求 m 的 值.

19

文科二轮专题讲义

x2 y 2 3.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 , F2 也是抛物 a b
线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 MF2 ? ⑴求 C1 的方程;

5 . 3

l / / MN ,且与 C1 交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ? 0 , ⑵平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线
求直线 l 的方程.

4. 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上没一点到点 F ?1,0 ? 的距离减去它到 y 轴距离的差都是1 . (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m ,对于过点 M ? m,0? 且与曲线 C 有两个交点 A 、 B 的任一直线,都有

FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20

文科二轮专题讲义

第五讲 解析几何大题训练—面积问题
【要点归纳】 一、常见平面图形:

二、面积公式总结:

21

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 、 F2 ,过中心 O 作直线与椭圆相交于 A 、 B 两点,若要使 45 20

?ABF2 的面积是 20 ,求该直线方程.

例 2、已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )相交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB , ( O 为坐标原 点)且 S?AOB ? 2 5 ,求抛物线方程.

例 3、已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 ⑴求椭圆 C 的方程;

1 ? 3? ,且点 ?1, ? 在该椭圆上. 2 ? 2?

C 相交于 A 、 B 两点,若 ?AOB 的面积为 ⑵过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 与椭圆
点 O 且与直线 l 相切的圆的方程.

6 2 ,求圆心在原 7

22

文科二轮专题讲义

x2 y 2 例 4、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ? 0,1? ,过右焦点 F 且不与 x 轴重合的动直线 l 交椭圆于 a b
A, C 两点,当动直线 l 的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
⑴求椭圆的方程; ⑵过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点,且 AC ? BD ,当四边形 ABCD 的面积 S ? 的方程.

2 5 . 5

16 时,求直线 l 9

例 5、如图,抛物线 y 2 ? 4 x 的顶点为 O ,点 A 的坐标为 ? 5,0 ? ,倾斜角为

? 的直线 l 与线段 OA 相交(不 4

经过点 O 或点 A ) 且交抛物线于 M 、N 两点, 求△ AMN 面积最大时直线 l 的方程, 并求△ AMN 的 最大面积. y l

M

O N

A

x

例 6、已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,长轴长为 2 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于 2 a b 3

不同的两点 A 、 B . ⑴求椭圆的方程; ⑵若 m ? 1 ,且 OA ? OB ? 0 ,求 k 的值( O 为坐标原点) ; ⑶若坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 ?AOB 的最大值. 2

23

文科二轮专题讲义

例 7、已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. ⑴当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; ⑵当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

【课堂练习】 1.已知椭圆中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,点 A ?2 3, 0 是其左顶点,点 C 在椭圆上且 AC ? CO ? 0 ,

?

?

AC ? CO .
⑴求椭圆的方程; ⑵若平行于 CO 的直线 l 和椭圆交于 M , N 两个不同点,求△ CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.
24

文科二轮专题讲义

2. 已知圆 C 经过点 A ? ?2,0? ,B ? 0,2? ,且圆心在直线 y ? x 上, 又直线 l : y ? kx ? 1 与圆 C 相交于 P 、Q 两点. ⑴求圆 C 的方程; ⑵若 OP ? OQ ? ?2 ,求实数 k 的值; ⑶过点 ? 0,1? 作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值.

x2 y 2 M 中有一内 3.已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F 1 ? ?2,0? , F 2 ? 2,0? .在椭圆 a b
接三角形 ABC ,其顶点 C 的坐标 ⑴求椭圆 M 的方程; ⑵当 ?ABC 的面积最大时,求直线 AB 的方程. 4.已知椭圆 C :

?

3,1 , AB 所在直线的斜率为

?

3 . 3

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的短轴长为 2 ,且与抛物线 y 2 ? 4 3x 有共同的焦点,椭圆 C a 2 b2

的左顶点为 A ,右顶点为 B ,点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AP , BP 与直线 y ? 3 分 别交于 G , H 两点. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求线段 GH 的长度的最小值; ⑶在线段 GH 的长度取得最小值时,椭圆 C 上是否存在一点 T ,使得△ TPA 的面积为1 ,若存在,求 出点 T 的坐标,若不存在,请说明理由. 5. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A ? ?1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜 率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

25

文科二轮专题讲义

第六讲 解析几何答题训练—定值问题
【要点归纳】 一、定值包括哪些?

二、涉及到的知识总结

26

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、如图倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F , 且与抛物线交于 A, B 两点
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y

l

A

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(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴 于点 P ,证明 FP ? FP cos 2? 为定值,并求此定值
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y

?


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F B

P

x m

例 2、已知,椭圆 C 过点 A(1, ⑴求椭圆 C 的方程;

3 ) ,两个焦点为 ? ?1,0? ?1,0 ? . 2

⑵ E , F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

27

文科二轮专题讲义

例 3、如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M , N 两点,自 M , N 向准线

l 作垂线,垂足分别为 M1 , N1 .
(Ⅰ)求证: FM1 ? FN1 ; (Ⅱ)记△ FMM 1 、 、△ FM1 N1 、△ FNN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,试判 断 S22 ? 4S1S3 是否成立,并证明你的结论.

x2 y 2 3 例 4、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的 a b 2
圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 P ? 4,0? ,M , N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连接 PN 交椭圆 C 于另一点 E , 求直线 PN 的斜率的取值范围; ⑶在⑵的条件下,证明直线 ME 与 x 轴相交于定点.

28

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1. 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) , 称圆心在原点 O , 半径为 a 2 ? b2 的圆是椭圆 C 的 “准圆” . 若 2 a b

椭圆 C 是一个焦点为 F

?

2, 0 ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 .

?

⑴求若椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; ⑵点 P 是若椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 、 l2 ,使得 l1 、 l2 与椭圆 C 都只有一个 交点,且 l1 、 l2 分别交其“准圆”于点 M 、 N . ①当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 、 l2 的方程; ②求证: MN 为定值.

2. 如图,已知椭圆

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 (1, ,左、右焦点分别为 F ) ,离心率为 1 、 F2 .点 2 a b 2 2

P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、B 和 C 、
D , O 为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k2 . (i)证明:

1 3 ? ?2; k1 k2

(ii) 问直线 l 上是否存在点 P , 使得直线 OA 、OB 、OC 、

OD 的 斜 率 kOA 、 kOB 、 kOC 、 kOD

满 足

kO A ? k

O B

? k

P 的坐标;若不存在,说明理由. ? k 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 ?O D O C

29

文科二轮专题讲义

第七讲 解析几何大题训练—点差法
【要点归纳】 一、点差法的适应题型:

二、点差法的步骤总结:

【典例分析】 例 1、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 ? ?2,0 ? 及 AB 中点,求 直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围.

例 2、已知椭圆的焦点 F 1 ? ?3,0? 、 F 2 ? 3,0? ,且与直线 x ? y ? 9 ? 0 有公共点,求其中长轴最短的椭圆方 程.

30

文科二轮专题讲义

例 3、已知椭圆 C : 之和为 6 .

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离 2 a b 3

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,点 P ? 0,1? ,且 PA ? PB ,求直线 l 的方程.

例 4、椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F 1 AF2 的角平分线所在直线的方程.

1 . 2
y A

F1 O

F2

x

例 5、求与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A 、 B 两点,并且线段 AB 的中点为 M ?1,1? 的直线方程. 9 4

31

文科二轮专题讲义

y2 例 6、已知双曲线 x ? ? 1与点 P ?1, 2 ? ,过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A 、 B 两点,若 P 为 AB 的中 2
2

点. ⑴求直线 AB 的方程; ⑵若 Q ?1,1? ,是否存在以 Q 为中点的弦.

例 7、求抛物线 y 2 ? ?8x 被点 P ? ?1,1? 平分的弦所在直线方程.

32

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1. 已知直线 y ? k ? x ? 2?( k ? 0 与抛物线 C : y2 ? 8 x 相交 A 、B 两点,F 为 C 的焦点. 若 FA ? 2 FB , 则 k ? () A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

2.求以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内的点 A ? 2, ?1? 为中点的弦所在直线方程. 8 5

3.求中线在原点,一个焦点为 0,5 2 且被直线 y ? 3x ? 2 解得的弦中点横坐标为

?

?

1 的椭圆方程. 2

4. 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 同的两点 M 、 N ,以线段为直径作圆 P ,圆心为 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q ? x, y ? 是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值.

6 ,直线 y ? t 与椭圆 C 交与不 3

33

文科二轮专题讲义

m2 5. 已知 m 是非零实数,抛物线 C : y ? 2 ps ( p ? 0 )的焦点 F 在直线 l : x ? my ? ? 0 上. 2
2

(I)若 m ? 2 ,求抛物线 C 的方程 (II)设直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B ,△ AA2 F ,△ BB1F 的重心分别为 G 、 H . 求证:对任意非零实数 m ,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外.

34

文科二轮专题讲义

第八讲 范围与最值问题
8.1 二次函数的范围与最值问题
【要点归纳】 设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,则二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??

b 2a

m??

b b ?n即 ? ? m, n ? 2a ?2 a

?

b ?m?n 2a

图 像

最 值

方 法 归 纳

35

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、求函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ? R 的值域.

变式 1、 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8

x ?? ?3 , 0 ?;

变式 2: y ? ? x 2 ? 2 x ? 8

x ? ?0 , 2 ?;

变式 3、 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8

x ? ?0 , 4 ?;

变式 4: y ? ? x 2 ? 2 x ? 8

x ? ?3 , 4 ?;

2 例 2、函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ( a ? 0 )在 ? 2,3? 上有最大值 5 和最小值 2 ,求 a , b 的值.

例 3、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1, x ??1,3? 的最小值.
2

变式 1、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1, x ??1,3? 的最大值.
2

变式 2、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1, x ??1,3? 的最值.
2

36

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1.求下列函数的最值 ⑴函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间 ?0,3? 上的最大值是 ⑵已知 2 x ? 3x ,求函数 f ? x ? ? x2 ? x ? 1 的最值;
2

,最小值是



⑶ y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ?? ?2,0?

2.求函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间 ?t, t ?1? 上的最小值.

3.已知二次函数 f ? x ? ? ax ? 4ax ? a ?1 在区间 ? ?4,1? 上的最大值为 5 ,求实数 a 的值.
2 2

37

文科二轮专题讲义

8.2 分式函数的范围与最值
【要点归纳】 一、反比例函数与对勾函数知识总结:

二、分式函数的类型及求解方法:

38

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、函数 f ? x ? ?

5x ? 3 1 ( x ?? ?1,3? , x ? )的值域是 3x ? 1 3



例 2、求函数 y ?

2x ? 3 , x ??3,8? 的值域. x?2

4 ? 3e x 例 3、函数 y ? 的值域是 2 ? ex



例 4、求函数 y ? 4 x ? 2 ?

1 5 ( x ? )的值域. 4x ? 5 4

4 x 2 ? 8x ? 13 例 5、求 y ? , x ??1, ?? ? 的最小值. 6 ? x ? 1?

39

文科二轮专题讲义

例 6、求函数 f ? x ? ?

x , x ??1, ?? ? 的值域. x ? 2x ? 4
2

例 7、求值域 y ?

x?2 ( x ? ?2 ) x ? x ?1
2

x2 ? 4 x ? 4 例 8、求函数 f ? x ? ? 2 , x ??1,0? 的值域. x ? 4x ? 5

例 9、求函数 f ? x ? ?

x2 ? 4x ? 5 , x ? ?0, 2? 的值域. x2 ? 4x ? 3

40

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1.函数 y ?

1 ? x2 的值域是 1 ? x2 x2 ? x ?1 的值域是 x2 ? x ? 1



2.函数 y ?



3.函数 f ? x ? ? 9 x ?

4 ? 2? , x ? ? 0, ? 的值域是 x ? 5?



t 2 ? 4t ? 1 4.已知 t ? 0 ,则函数 y ? 的最小值为 t
5.函数 y ?



x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为



6.函数 y ?

x2 ? 2x ? 2 的值域是 x ?1



41

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8.3 三次函数的范围与最值问题 例 1、求下列函数的最值: ⑴ y ? x4 ? 2 x2 ? 5 , x ?? ?2, 2? ;

⑵ f ? x ? ? x ? 2ln x .
2

42

文科二轮专题讲义

第九讲 导数单调性的分类讨论
【要点归纳】 一、含参不等式的分类讨论 ⑴一次

⑵二次

⑶分式不等式及其它变形

二、含参单调性的分类讨论

43

文科二轮专题讲义

【典例分析】 例 1、解下列不等式: ⑴ ax ? 1 ? 0 ; ⑵ (a ? 1) x ? a ? 0 .

例 2、解下列不等式: ⑴ x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0 ; ⑵ ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .

练习:⑴ (4 x ? m)(x ? 2) ? 0 ;

⑵ x ? 4ax ? 5a ? 0 ;
2 2

⑶ ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .
2

44

文科二轮专题讲义

例 3、解下列不等式: ⑴

a ( x ? 1) ? 1; x?2

⑵ ( x ? a)(x 2 ? x ? 2) ? 0 ;

⑶ e x ( x ? a)(x 2 ? x ? 2) ? 0

练习:⑴

ax ? 2 ? 2( a ? R) ; x ?1



2 x 2 ? (a ? 1) x ? 3 ? 1. x 2 ? ax

x 2 例 4、已知 a 为实数,函数 f ? x ? ? e x ? ax ? a , a ? 2 .求函数的单调区间.

?

?

45

文科二轮专题讲义

例 5、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ?
围. 求 m 的取值范 f ( x) 的图象有三个不同的交点,

例 6、已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3

(I)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;

例 7、已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

46

文科二轮专题讲义

例 8、已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ax ? ? a ? 1? ln x , a ? 1 ,讨论函数 f ( x) 的单调性. 2

例 9、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)当 a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

2 例 10、已知函数 f ? x ? ? x ?1 与函数 g ? x ? ? a ln x ( a ? 0 ) .

⑴若 f ? x ? , g ? x ? 的图像在点 ?1,0 ? 处有公共的切线,求实数 a 的值; ⑵设 F ? x ? ? f ? x ? ? 2g ? x ? ,求函数 F ? x ? 的极值.

47

文科二轮专题讲义

第十讲
【要点归纳】 1.什么叫恒成立问题:

导数的恒成立问题

2.恒成立问题的形式:

3.恒成立问题的类型总结:

4.恒成立问题的解题思路:

【典例分析】
2 例 1、若不等式 2 x ? 1 ? m x ? 1 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围.

?

?

48

文科二轮专题讲义

例 2、若不等式 ? m ?1? x2 ? ? m ?1? x ? 2 ? 0 的解集是 R ,求 m 的范围.

2 例 3、若不等式 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对满足 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.

例 4、求使不等式 a ? sin x ? cos x , x ??0, ? ? 恒成立的实数 a 的范围.

, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 例 5、当 x ? (1
2

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例 6、设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a ,对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值. 2

例 7、已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a, b 为常数 (Ⅰ)试确定 a, b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ≥ ?2c2 恒成立,求 c 的取值范围

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3 例 8 、设函数 f ( x) ? x4 ? ax ? 2 x2 ? b ( x?R ),其中 a,b ? R .若对于任意的 a ?? ?2, 2? ,不等式

f ( x ) ≤ 1在 ??11 , ? 上恒成立,求 b 的取值范围.

50

文科二轮专题讲义

例 9、设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ?1 ? a ? x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 ,若当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 恒成立, 3

求 a 的取值范围.

例 10、设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数.已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 3 2

a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.

例 11、已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

⑴当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? ⑵已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

51

文科二轮专题讲义

【课堂练习】 1. 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??11 , ? 上有零点,求 a 的取 值范围
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2.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? ?1 ? y ? ,若不等式 ? x ? a ? ? ? x ? a ? ? 1对任意实数 x 成立,则( A. ?1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?



1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

2 3.已知向量 a ? x , x ? 1 , b ? ?1 ? x, t ? ,若函数 f ? x ? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求 t 的取值范

?

?

围.

4.求解下列问题: ⑴函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2 在区间 ?1, ?? ? 内是增函数,求 a 的取值范围;
2

⑵函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2 在区间 ?1, ?? ? 内是增函数,求 a 的取值范围;
3

⑶函数 f ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? a ? 2? x ? b 在区间 ? ?1,1? 上不单调 ,求 a 的取值范围; ...
3 2

⑷函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3x ? 1在区间 ? 2,3? 中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.
3 2 2 2 5.设函数 f ? x ? ? tx ? 2t x ? t ?1 ( x ? R , t ? 0 ) .

⑴求 f ? x ? 的最小值 h ? t ? ; ⑵若 h ? t ? ? ?2t ? m 对 t ? ? 0, 2? 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6. 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值 (Ⅰ)求 A、B 的值;
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3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 C 的取值范围 (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0,
2

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3 2 7. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,又 f ?( ) ?

1 2

3 . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围

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52

文科二轮专题讲义

第十一讲
例 1、设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

导数综合

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值 4 4

? 3 1? ? ?

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3 例 2、 设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c( a ? 0 ) 为奇函数, 其图象在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0

?

?

垂直,导函数 f ? ? x ? 的最小值为 ?12 (Ⅰ)求 a, b, c 的值;

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(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并求函数 f ? x ? 在 ? ?1,3? 上的最大值和最小值

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例 3、如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值
D
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C 4r

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A

2r

B

53

文科二轮专题讲义

例 4、已知函数 f ? x ? ?

2x ? b

? x ? 1?

2

,求导函数 f ? ? x ? ,并确定 f ? x ? 的单调区间.

例 5、已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R x2 ? 1

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(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值

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例 6、已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围.

54

文科二轮专题讲义

例 7、设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

例 8、设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0)

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? ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x ) ,讨论 F ( x) 在 (0,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1

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例 9、设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ) ,其中 a ? R

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(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅲ)当 a ? 3 时,证明存在 k ?? ?1 , 0? ,使得不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立
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55

文科二轮专题讲义

第十二讲 数列基础题型
【要点归纳】 基础题型一:求通项公式

基础题型二:求前 n 项和

基础题型三:证明数列为等差或等比

【典例分析】 例 1、已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求数列 2

? ? 的求前 n 项和 S
an

n



56

文科二轮专题讲义

例 2、已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2( (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a3 a4 a5 a1 a2

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

例 3、已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

例 4、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 16 , a4 ? 7 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵求

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

1 1 ? . an an ?1 2

57

文科二轮专题讲义

例 5、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

例 6、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1



(Ⅱ)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn
a

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?1? 例 7、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ? ? ?2?
n

n ?1

. ? 2 ( n 为正整数)

⑴令 bn ? 2 an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? n

? cn ,求 Tn .

58

文科二轮专题讲义

例 8、 设 C1 , C2 ,

, Cn ,

是坐标平面上的一列圆, 它们的圆心都在 x 轴的正半轴上, 且都与直线 y ?

3 x 3

相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

y

n rn

O

x

例 9、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? ?1 ? ⑴设 bn ?

? ?

1? n ?1 ? an ? n . n? 2

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n

⑵求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

59

文科二轮专题讲义

例 10 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ?

1 ,求通项公式 an . n ? n ? 1?

例 11、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 Sn ? n ? 2n ?1? an ,试求通项公式 an . 3

例 12、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 与 an 满足: an , Sn , S n ? 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

1 ( n ? 2 )成等比数列,且 a1 ? 1 ,求 2

例 13、数列 ?an ? 中, Sn ? 4an?1 ? 1 ( n ? 2 )且 a1 ? 1 ; ⑴若 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵若 cn ?

an ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列. 2n

60

文科二轮专题讲义

例 14、已知数列满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ( n ? N ) . ⑴求证数列 ?an ?1 ? 是等比数列; ⑵求 ?an ? 的通项公式.

?

例 15、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 a 2a ? 1 * ,且当 n ? 1 , n ? N 时,有 n ?1 ? n ?1 . 5 an 1 ? 2an

⑴求证:数列 ?

?1? ? 为等差数列; ? an ?

⑵试问 a1 ? a2 是否是数列 ?an ? 中的项?如果是,是第几项;如果不是请说明理由.

例 16、数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

1 2 a ?1 * n ? 2n ( n ? N * ) ,数列 ?bn ? 满足 bn ? n (n? N ) . 2 an

⑴判断数列 ?an ? 是否为等差数列,并证明你的结论; ⑵求数列 ?bn ? 中值最大的项和值最小的项.

61

文科二轮专题讲义

第十三讲 数列综合
例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
*

例 2、已知 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 . ⑴求 q 的值; ⑵设 ?bn ? 是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn .当 n ? 2 时,试比较 bn 与 Tn 的大小.

例 3、已知数列 ?an ? 满足以下两个条件 ①点 ? an , an?1 ? 在直线 y ? x ? 2 上; ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b2 ? a2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,解 不等式 Tn ? Sn . ②首项 a1 是方程 3x ? 4 x ? 1 ? 0 的整数解.
2

62

文科二轮专题讲义

例 4、设数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ? can ? 1 ? c ( n ? N ) ,其中 a , c 为实数,且 c ? 0 .
*

⑴求证: a ? 1 时数列 ?an ?1 ? 是等比数列,并求 an ; ⑵设 a ? ⑶设 a ?

1 1 c ? , bn ? n ?1 ? an ? ( n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2 3 1 3 ? an * * , c ? ? , cn ? (n? N ) ,记 dn ? c2 n ? c2 n?1 ( n ? N ) ,设数列 ?dn ? 的前 n 项 4 4 2 ? an 5 . 3

和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 Tn ?

例 5、设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 ? 15 ? 0 . (Ⅰ)若 S5 ? 5 ,求 S6 及 a1 ; (Ⅱ)求 d 的取值范围.

例 6、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn . (Ⅰ)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,证明:当且仅当 n ? 3 时, cn?1 ? cn


63

文科二轮专题讲义

例 7、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

例 8、已知 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn ? 4 . ⑴求证:数列 ?an ? 是等比数列; ⑵是否存在正整数 k ,使

Sk ?1 ? 2 ? 2 成立. Sk ? 2

例 9、已知 ?an ? 是正数组成的数列, a1 ? 1 ,且点 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

?

an , an?1 ( n ? N * )在函数 y ? x2 ? 1 的图像上.

?

2 ⑵若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2an ,求证: bn ? bn?2 ? bn ?1 .

64

文科二轮专题讲义

例 10、已知二次函数 y ? f ? x ? 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ? ? x ? ? 6x ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项和 为 Sn ,点 ? n, Sn ? ( n ? N )均在函数 y ? f ? x ? 的图像上.
*

⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ?

m 1 * , 求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m . Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和, 20 an an?1

例 11、已知数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , a3 ? 7 , S4 ? 24 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 p 、 q 都是正整数,且 p ? q ,证明: S p ? q ?

1 ? S2 p ? S2 q ? . 2

例 12、已知数列 ?an ? 是递增等差数列,前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列. ⑴求 ?an ? 的通项公式; ⑵令 Tn ?

Sn , 2

①当 n 为何正整数时, Tn ? Tn?1 ? ②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围.

65

文科二轮专题讲义

例 13、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , a2 ? 3 , 2an?1 ? 3an ? an?1 ( n ? 2 ) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑵求使不等式

an ? m 2 ? 成立的所有正整数 m 、 n 的值. an ?1 ? m 3

例 14、 等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 第 17 项的平方等于第 24 项, 求使 a1 ? a2 ? 恒成立的正整数 n 的取值范围.

? an ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 an

例 15、设数列 ?an ? 的首项 a1 ? ? 0,1? , an ? ⑴求 ?an ? 的通项公式;

3 ? an ?1 , n ? 2,3, 4, 2



⑵设 bn ? an 3 ? 2an ,证明: bn ? bn?1 ,其中 n 为正整数.

66

文科二轮专题讲义

综合练习一
一、选择题
2 1.若集合 A ? y | y ? x ? 1 , B ? x | y ? log2 ? x ? 2? ,则 CB A ? (

?

?

?

?



A. ? ?2,1?

B. ? ?2,1?

C. ? ?2,1?

D.以上都不对 )

2.命题“函数 y ? f ? x ? ( x ? M )是偶函数”的否定是( A. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ? C. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ?
0.5 0.4

B. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ? D. ?x ? M , f ? ?x ? ? f ? x ? ) D. a ? c ? b

3.设 a ? ?

?3? ?4? ? , b ? ? ? , c ? log 3 ? log3 4? ,则( ?4? ?3? 4
B. a ? b ? c C. c ? a ? b

A. c ? b ? a

4 函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ( x ? R )的图像按向量 ? m,0? 平移后,得到函数 y ? f ? ? x ? 的图像,则 m 的 值是( A. ? ) B.

? 2

C. ?

?
2

D. ??

5.如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 以是( )

? .则该几何体的俯视图可 4

1 1 主视图 A B C D 1 左视图

6.实数 a, b, c, d 满足 a ? b ,c ? d ,a ? b ? c ? d ,ab ? cd ? 0 ,则 a,b,c,d 四个数的大小关系为( ) A. c ? d ? a ? b B. a ? b ? c ? d C. a ? c ? b ? d D. c ? a ? d ? b

7.已知△ ABC 中, AB ? AC ? 4 , BC ? 4 3 ,点 D 为 BC 边的中点,点 P 为 BC 边所在直线上的一 个动点,则 AP ? AD 满足( A.最大值为 8 ) C.最小值为 2 D.与 P 的位置有关

B.为定值 4

67

文科二轮专题讲义

8.点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题正确的个数是 ①三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② A 1P ∥平面 ACD 1; A. 0 二、填空题 9.已知集合 A ? x | 2 x ? 1 ? 3 , B ? ? ?3, a ? ,若 A 10.设 p : B. 1 C. 2 D. 3 ③ DP ? BC1 . ( )

?

?

B ? A ,则实数 a 的取值集合是

. . (只

x ? 0 , q : 0 ? x ? m ,若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则 m 的值可以是 x?2

写出满足条件的一个 m 的值即可)
2 11.函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? sin x 的最小正周期是



12.定义 a ? b ? ?

? a, a ? b 0.3 3 ,已知 a ? 3 ,b ? 0.3 ,c ? log3 0.3 ,则 ? a ?b ??c ? ?b, a ? b

. (结果用 a ,

b , c 表示)

?x ? 1 b?c ? ? 13.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 7 ,最小值为 1 ,则 a ? ax ? by ? c ? 0 ?
14.若直线 l : tx ? y ? 6 ? 0 与曲线 C : x ? y ? 2 有两个不同交点,则实数 t 的取值范围是
2 2





三、解答题 15.已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 , x? R. 2

⑴求函数 f ? x ? 的最小值和最小正周期; ⑵已知△ ABC 内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 且 c ? 3 , f ?C ? ? 0 , 若向量 m ? ?1,sin A? 与 n ? ? 2,sin B ? 共线,求 a 、 b 的值.

68

文科二轮专题讲义

16.某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间,按他们 学习时间的长短分 5 个组统计得到如下频率分布表: 分组 频数 频率

?180, 210? ?210, 240? ?240, 270? ?270,300?
?300,330?
(1)求分布表中 s , t 的值;

4

0.1

8
12

s
0.3 0.25

10

n

t

(2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性,需要在这 40 名学生中按时间用 分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究,问应抽取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 2 人,在(2)的条件下抽取第一组的学生,求既有男生又有 女生被抽中的概率.

17.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,三角形 ADE 是等腰直角三角形, EF / / AB ,

AD ? AE ? EF ? 1 , AB ? 2 ,平面 ADE ⊥平面 ABCD .
⑴求证: AF ? 平面 BCF ; ⑵求多面体 ABCDEF 的体积. A D C B E F

69

文科二轮专题讲义

18. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 且满足 S 2 n ?1 ?

1 2 an ,n ? N ? . 数列 ?bn ? 2

? 2n?1 , n为奇数 ? 满足 bn ? ? 1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 T2 n . ? an?1 , n为偶数 ?2

19.已知函数 f ? x ? ? x3 ? x2 ? ax ? b . ⑴当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵若函数 f ? x ? 的图像过点 ?1,1? 且极小值点在区间 ?1, 2 ? 内,求实数 b 的取值范围.

20.已知椭圆 C 的两焦点为 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,并且经过点 M ? 1, ⑴求椭圆 C 的方程;

? 3? ?. ? 2?

⑵已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,证明当点 P ? m, n ? 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

70

文科二轮专题讲义

综合练习二
一、选择题 1.抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为( A. )

1 8

B. ?

1 8


C. 8

D. ?8

2.下列说法正确的是(

A.函数 f ? x ? ? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像恒过点 ? 0,1? B.函数 f ? x ? ? xa ( a ? 0 )在其定义域上是减函数 C.命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.给定命题 p 、 q ,若 ? p 是假命题,则“ p 或 q ”为真命题.

1 3 x ? x 2 ? 1 ? ln 2 的极大值为( ) 3 7 7 A. ? ? ln 2 B. ?1 ? ln 2 C. ? ? ln 2 D. ?1 ? ln 2 3 3 1 4.函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的一个零点落在下列哪个区间( ) x
3.函数 f ? x ? ? A. ? 0,1? B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ?

5.已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0 ,? ? 0 ,?? ? ? ? ? )的部分图像如图所示,则函数 f ? x ? 的解析式为( ) y
2

?? ?1 A. f ? x ? ? 2sin ? x ? ? 4? ?2
B. f ? x ? ? 2sin ?

3? ? ?1 x? ? 4 ? ?2

? 2
?

3? 2

?
2

O
?2

x

C. f ? x ? ? 2sin ?

?? ?1 x? ? 4? ?2
3? ? ?1 x? ? 4 ? ?2

y ? f ? x?

D. f ? x ? ? 2sin ?

71

文科二轮专题讲义

6.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为( A. 0 B.



开始

3 2

C. 3

D. ?

3 2


S ? 0, n ? 1
n?7
是 y 否

xa x 7.函数 f ? x ? ? , ( 0 ? a ? 1 )的图像的大致形状是( x
y y y

S ? S ? sin
x

1
O

1

1

1

n? 3

输出 S

结束

?1

x

O

?1

x

O

?1

x

O

?1

n ? n ?1

A

B

C

D

8.已知函数 f ? x ? 的导函数的图像如图所示,给出下列四个结论: ①函数 f ? x ? 在区间 ? ?3,1? 内单调递减; ②函数 f ? x ? 在区间 ?1,7 ? 内单调递减; ③当 x ? ?3 时,函数 f ? x ? 有极大值; ④当 x ? 7 时,函数 f ? x ? 有极小值; 其中正确的是( A.②④ 二、填空题 ) C.①③ D.②③ y

y ? f ? ? x?
4

?5

?3

1

7

x

B.①④

?y ? x y?4 ? 9.设变量 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? 的最小值为 x?3 ? x ? ?2 ?



? y ? x ?1 ? 10. 设 x ,y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 , 若目标函数 z ? abx ? y( a ? 0, b ? 0 ) 的最大值为 35 , 则a ?b ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为 .

72

文科二轮专题讲义

11.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P ? ABCD 的体积为



2

2

12.点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在 点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 则点 P 的坐标为 .

1 主视图

1 侧视图

1 俯视图

13.已知数列 an ? 2n ? 1( n ? N ) ,把数列 ?an ? 的各项排成如图所示的
?

1 3 7 13 15 9 17 5 11 19

三角形数阵.记 S ? m, n ? 表示该数阵的第 m 行中从左到右的第 n 个数, 则 S ?10,6? 对应于数阵中的数是 .

14. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 的一个焦点 F 作渐近线的垂线 l , 垂足为 M ,l 交 y 轴于点 E , a 2 b2


若 FM ? 3ME ,则该双曲线的离心率为 三、解答题

15.已知△ ABC 的内角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b , A ? 45? , cos C ?

3 . 5

16.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 1 ,?bn ? 为等比数列,数列 ?an ? bn ? 的前三项依次为 5 ,11 , 21 . ⑴求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; ⑵求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

73

文科二轮专题讲义

17 . 某 人 抛 掷 一 枚 硬 币 , 出 现 正 反 面 的 概 率 都 是

1 , 构 造 数 列 ?an ? , 使 得 2

? 1, 当第n次出现正面时 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? an ? ? ??1, 当第n次出现反面时
⑴若抛掷 4 次,求 S4 ? 2 的概率;

? (n? N ) . ? an ,

⑵已知抛掷 6 次的基本之间总数是 N ? 64 ,求前两次均出现正面 且 2 ? S6 ? 4 的概率. ........

18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC ,?ADC ? 90? , BC ?

1 AD , 2

PA ? PD , Q 为 AD 的中点.
⑴求证: AD ? 平面 PBQ ; ⑵已知点 M 为线段 PC 的中点,证明: PA ∥平面 BMQ .

P

M

Q A

D B

C

74

文科二轮专题讲义

19.已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? 3x . ⑴若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; ⑵若 x ? ? 是 f ? x ? 的极大值点,求 f ? x ? 在 ?1, a ? 上的最大值; ⑶在⑵的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ? x ? ? bx 的图像与函数 f ? x ? 的图像恰有 3 个交点, 若存在,求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由.

1 3

x2 y 2 A ,在 x 轴负半轴上有 20.设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,上顶点为 a b
一点 B ,满足 BF 1 ?F 1 F2 ,且 AB ? AF2 . ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A 、 B 、 F2 三点的圆恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; ⑶在⑵的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,若点 P ? m,0? 使得以

PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,求 m 的取值范围.
y A

B

F1

O

F2

x

75


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