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赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题


· 48·

中学教研 ( 数学)

2013 年

赏 析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题
●周湖平 李阳华
( 吉水中学 江西吉水 331600)

13 世纪初意大 利 数 学 家 斐 波 那 契 在《算 盘 中提出了一个有趣的数列, 人们称之为斐波那 书》 契数列.

斐波那契数列源于兔子的繁殖问题 : 兔子出生后 2 个月就能每月生小兔, 若每月不 多不少恰好生一对 ( 一雌一雄 ) , 假如养了初生的 小兔子一对, 试问一年后共有多少对兔子? 1, 3, 依此类推, 该问题产生的数列为: 1, 2, 5, 8, 21……这个数列有个十分明显的特点: 前面 13, 相邻两项之和, 构成了后一项. 用 F n 表示经过 n 个 那么数列满足如下递推关系: 月后的兔子总对数, F0 = 1, 1 = 1, n = F n - 1 + F n - 2 ( n≥2) , F F 这就是著名的斐波那契数列. 可以证明 Fn = 1 5 槡

f( 10) = f( 8) + f( 9) = 123, 故 点评 a10 + b10 = 123. 本题考查了归纳推理的有关知识 , 在归 纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点 ( 即从 第 2 项起, 每一项都是前两项之和) . 1 , 例 2 已知 f( x) = 各项均为正数的数列 1 +x { a n } 满足 a1 = 1, n + 2 = f ( a n ) . 若 a2 010 = a2 012 , a 则 a20 + a11 = 解 . ( 2012 年上海市数学高考文科试题) 1 , 设 a2 010 = t. 由 a2 010 = a2 012 得 t = 解 1 +t

[(

1 +槡 5 2

) (
n +1

5 - 1 -槡 2

) ],
n +1

5 -1 , 得正数 t = 槡 于是 2 5 -1 a2k = 槡 . 2 又因为 所以 a1 = 1, n + 2 = a a1 = 1,3 = a 1 , 1 + an

这个公式又称比内公式. 由于其规律简单、 内涵丰 , . 下面以几道高 富 因而在高考与竞赛中颇受青睐 考题和竞赛题为例, 阐述其应用. 例 1 观察下列各式: a + b = 1; a2 + b2 = 3; a3 + b3 = 4; a4 + b4 = 7; a + b = 11; … 则a +b = A. 28 B. 76 解
10 10 5 5

1 2 3 , = , = . a a 2 5 3 7 5 Fk ( F 是斐波那 Fk + 1 k

利用数学归纳法可证明 a2k - 1 =

F 契数列通项公式 ) , 其中 F1 = F2 = 1, n + 2 = F n + F n + 1 ( n∈N * ) . 于是 ( ) 故 a11 = F6 8 = , F7 13

C. 123

D. 10

( 2012 年江西省数学高考理科试题) n n 记 a + b = f( n) , 则 f( 3) = f( 1) + f( 2) = 1 + 3 = 4; f( 4) = f( 2) + f( 3) = 3 + 4 = 7; f( 5) = f( 3) + f( 4) = 11.

5 - 1 8 3 + 13 槡 5 a20 + a11 = 槡 + = . 2 13 26 点评

本题设计巧妙, 以函数不动点、 斐波那 契数列为背景, 考查一元二次方程的求解、 归纳推 理、 分类处理问题的技能. 例 3 5 位学生围成一圈依序循环报数, 规定: ( 1) 第 1 位学生首次报出的数为 1, 2 位学 第 生首次报出的数也为 1, 之后每位学生所报出的数 都是前 2 位学生报出的数之和. ( 2) 若报出的数为 3 的倍数, 则报该数的学生 需拍手一次. 已知学生甲第 1 个报数, 5 位学生依序循环 当

通过观察不难发现 f( n) = f( n - 1) + f( n - 2) ( n∈N * , ≥3) , n 从而 f( 6) = f( 4) + f( 5) = 18; f( 7) = f( 5) + f( 6) = 29; f( 8) = f( 6) + f( 7) = 47; f( 9) = f( 7) + f( 8) = 76;

第1 期

周湖平, 赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题 等:

报到 第 100 个 数 时, 生 甲 拍 手 的 总 次 数 为 学 . 解 ( 2009 年福建省数学高考理科试题) 设报到第 n 个数为 a n , 则
*

截成的铁丝最短为 1, 于是可以放 2 个 1, 3 第 条线段就是 2( 为了使得 n 最大, 要使剩下来的铁 于是每一条线段总是前面的相邻 2 段 丝尽可能长, 1, 3, 8, 21, 55. 之和) , 依次为: 1, 2, 5, 13, 34, 以上各 数之和为 143, 144 相差为 1, 与 因此可以取最后一 段为 56, 这时 n 达到最大为 10. 143 在这个问题中, 是斐波那契数列的前 n 项 和. 我们是把 144 超出 143 的部分加到最后的一条 线段上去, 如果加到其他线段上, 就有 3 条线段可 以构成三角形, 不合题意. 从所截线段的长度看, 这是斐波那契数 列的前几项, 每段的长度不小于 1, 由最小数 1 通 点评 过构成三角形的条件产生了斐波那契数列 . 在这 里, 三角形的三边关系蕴含了重要的斐波那契数列 文化.
2 设 α, 是方程 x - x - 1 = 0 的 2 个根, β n n α -β ( n = 1, …) . 证明: 2, 数列{ a n } 中 a n = α-β ( 1) 对任意正整数 n, 都有 a n + 2 = a n + 1 + a n .

a1 = 1,2 = 1, n + a n + 1 = a n + 2 ( n∈N * ) . a a 写出前几项, 可找到规律: a4m ( m ∈ N ) 为 3 的倍 数. 下面用数学归纳法证明此规律. ( 1) 当 m = 1 时,4 = 3, a4 = 3 为 3 的倍数; a 故 ( 2) 假设当 m = k 时,4k 为 3 的倍数, a 则当 m = k + 1 时, a4k + 4 = a4k + 2 + a4k + 3 = a4k + a4k + 1 + ( a4k + 1 + a4k + 2 ) = a4k + 2a4k + 1 + ( a4k + a4k + 1 ) = 2a4k + 3a4k + 1 , 也是 3 的倍数. * a 由( 1) 和( 2) 可知, 对于 m ∈ N , 4m 为 3 的倍 t 数. 依题意, 学生甲报的数为 a5t + 1 ( 0 ≤ t ≤ 19,∈ N* ) , a a a 故学 这些数中是 3 的倍数有 a16 ,36 ,76 , 96 , 生甲拍手的总次数为 4. 这是一道以斐波那契数列为背景的实 , 际应用题 有生活气息, 考查了学生数列建模能力、 推理分析能力及其应用. 例 4 用 1 或 2 这 2 个数字写成 n 位数, 其中 记 任意 2 个位置不全为 1, n 位数的个数为 f( n) , 求 f( 10) . 解 ( 1) 当首位是 2 时, 则余下 n - 1 位数符合条 件的个数为 f( n - 1) ; ( 2) 当首位是 1 时, 则第 2 位是 2, 余下 n - 2 位数符合条件的个数为 f( n - 2) . 于是 f( n) = f( n - 1) + f( n - 2) , { f( n) } 为 故 . 因为 f( 1) = 2, f( 10) = 144. 斐波那契数列 所以 点评 解答本题的关键是对首位进行划分 , 找 出计数时的递推关系, 从而发现本题内蕴斐波那契 数列. 例 5 现有长为 144 cm 的铁丝, 要截成 n( n > 2) 小段, 每段的长度不小于 1 cm. 如果其中任意 3 小段都不能拼成三角形, n 的最大值为多少? 则 ( 第 16 届江苏省高中数学竞赛试题) 由于构成三角形的充要条件是任何两边 之和大于第三边, 因此不构成三角形的条件就是任 意 2 条边之和小于或等于最大边. 解 ( 第 2 届江苏省高中数学通讯赛试题) 符合条件的 n 位数可分为 2 类: 点评

例6

( 2) 数列{ a n } 中的项都为整数, 且任相邻两项 都互质. 证明 个根, 由韦达定理: α + β = 1, = - 1, αβ 得 α
n +2

( 2004 年北京市中学生数学竞赛试题) ( 1) 因为 α, 是方程 x2 - x - 1 = 0 的 2 β

- β n + 2 = ( α + β) ( αn + 1 - β n + 1 ) - αβ( αn - β n ) = ( αn + 1 - βn + 1 ) + ( αn - βn ) , n +2 - βn + 2 αn + 1 - βn + 1 αn - βn α = + , 从而 α-β α-β α-β an + 2 = an + 1 + an . 即 ( 2) 对数列{ a n } , a n = 由 得
2 2 α-β α -β = 1,2 = a = α + β = 1. α-β α-β 再由对任意正整 n, 都有

α -β ( n = 1, …) , 2, α-β

n

n

a1 =

an + 2 = an + 1 + an , 因此数列 { a n } 中的项都是正整数. 下面证明任意 相邻两项都是互质. a 若不然, ( a n + 2 , n ) = d > 1. 由对任意正整数 设 n, 都有 an + 2 = an + 1 + an , a a a 则 d = ( a n + 2 ,n + 1 ) = ( a n + 1 ,n ) = ( a n ,n - 1 ) = … = ( a4 ,3 ) = ( a3 ,2 ) = ( 1, = 1, a a 1) 与 d > 1 矛盾. 因此, 数列 { a n } 中任意相邻两项都

互质. 本题第 ( 1) 小题考查了斐波那契数列 难度并不大; 第 ( 2) 小题的结论其实 的递推关系, 点评 就是斐波那契数列的一个基本性质 , 利用辗转相除 法易证. 例7 ( n ∈N ) . ( 1) 猜想数列 { x n } 的单调性, 证 明 你 的 结 并 论; ( 2 证明: | x n + 1 1 - xn | ≤ 6
*



xn =

Fn = Fn + 1

已知数列{ x n } 满足 x1 =

1 1 , x = 2 n + 1 1 + xn

( ) ( ) 5 5 ( 1 +2槡 ) - ( 1 -2槡 )
1 +槡 5 2
n +1

5 - 1 -槡 2

n +1

n +2

n +2

( n = 0, 2, . 1, …)

点评

这是一道有着深刻背景的好题, 涉及到

斐波那契数列、 迭代数列等诸多问题. 黄金分割数、 若将斐波那契数列的前一项与后一项作比 , 比值作 就是这道高考题中的数列. 为一个新的数列的话, . 近年来, 高考数学试题与竞赛题中经常出现以 数学文化为背景的创新试题, 突出了对数学思想方 强调了数学文化价值, 有力地推动着素 法的考查, 质教育的全面开展. 数学教师必须开发与利用数学 文化这一重要的教学资源, 让学生在数学学习过程 中感受文化的熏陶, 体会数学独特的文化魅力, 提 升数学文化素养. = 1 + xn , 1 = . 1 + xn 参 考 文 献

( )
2 5 1 . 2

n -1



( 2009 年陕西省数学高考理科试题) Fn ( n = 1, …) , 2, 令 xn = 则 Fn + 1 x0 = 1,1 = x

Fn + 2 Fn =1 + , 由 得 Fn + 1 Fn + 1 1 xn + 1 即 xn + 1

由斐波那契数列的通项公式 Fn = 1 5 槡

[ 1] 刘海英, 徐章韬. 内蕴斐波那契数列文化的

[(

1 +槡 5 2

) (
n +1

5 - 1 -槡 2

) ]
n +1

J] 2011( 11) : 66 . 问题[ . 中学数学, ,

櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐

关于征订 2013 年《中学教研( 数学) 》 高考复习专辑启事
各位老师、 高三同学: , 为满足广大高三师生高考复习备考的需求 《中学教研 ( 数学 ) 》 特在 2013 年第 2 期推出高考复习专 辑( 2013 年 2 月 5 日前出版) . 本专辑由浙江省教研室高中数学教研员、 中学数学特级教师张金良老师组 稿, 并邀请了特级教师刘建永、 金克勤、 蒋海瓯等一批具有丰富高考经验的知名专家撰稿 , 并配有镇海中 学、 萧山中学等知名学校编制的模拟试卷 , 具有极强的权威性、 针对性和实用性, 是广大考生不可或缺的备 考复习资料( 本专辑将以小 5 号字体排版, 篇幅增加 20% , 但价格不变: 5 元 / 册) . 本专辑包括学法指导、 专题荟萃、 综合演练、 数学思想和方法, 结合考点分析与命题走向, 设有典型例 题解读、 易错点拨、 精题集萃、 模拟试题等板块. 征订时请注明订阅数量、 通讯地址、 手机号码; 读者可通过邮局汇款和银行转账 2 种方式支付订阅款 . 欢迎各个学校组织订阅! 项 82298829 Email: zxjysx@ zjnu. cn 联系电话: 0579《中学教研( 数学) 》 通讯地址: 浙江金华浙江师范大学 53 号信箱 编辑部( 收) 中国标准连续出版物号:
ISSN 1003 - 6407 CN 33 - 1069 / G4

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字数 90 000

定价 5. 00 元


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