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山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编3:三角函数


山东省各地市 2013 届高三理科数学试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,
( )

则 tan ? 的最大值是


1 A. 4
【答案】B

3 B. 4
由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

3 C. 2 4

3 D. 2

tan ? ? tan ? 3 tan ? ,因为 ? 4 tan ? , 得 tan ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan 2 ?
3 1 ? 4 tan ? tan ? ? 2 3 1 ? 4 tan ? tan ? ? 3 ,当且仅当 4

? ? ? (0, ) , 所 以 tan ? ? 0 . 所 以 tan ? ?
2

1 1 1 3 ? 4 tan ? ,即 tan 2 ? ? , tan ? ? 时,取等号,所以 tan ? 的最大值是 ,所以选 B. 4 2 4 tan ?
2 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 定 义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 , 若 函 数

f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则 将 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

?
3

个单 位 所 得 曲线 的 一 条对称 轴 的 方 程是 ( )

A. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
2

D. x ? ?

【答案】A

6 3 ? ? 5? 5? ? 位 得 到 y ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) , 由 2x ? ? ? k? , k ? Z 得 对 称 轴 为 3 6 6 6 2 2? k? 2? ? ? ( ) x? ? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,对称轴为 x ? ? ? ,选 3 2 3 2 6
A.

由定义可知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?

) ,将 f ( x) 的图象向右平移

?

个单

3 . ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )关于函数 f (x)=2( sin x - cos x) cos x 的

? 个单位后可得到函数 4 7? 11? ,k? ? f ( x ) ? 2 (sin x? cos x )cos x 的图象;P3: 单调递增区间为 [ k? ? ], k ? Z ; P4:图象的 8 8 k ? 对称中心为( ? ? , ?1 ), k ? Z .其中正确的结论有 ( ) 2 8
四个结论 :P1: 最大值为 2 ;P2: 把函数 f (x) ?

2 sin 2 x? 1的图象向右平移

A.1 个
【答案】B

B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

【解析】因为 f (x)=2 sin x cos x ? 2 cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

2 sin (2x ?

?
4

) ? 1 ,所以最大值为

? 个 单 位 后 得 到 4 ? ? ? ? ? f (x) ? 2 sin 2(x ? ) ? 1 ? 2 sin (2 x ? ) ? 1 ,所以 P2 错误.由 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? , 2 4 2 4 2 ? 3? ? 3? ? k? ,k ? Z , 即 [ ? ? k? , ? k? ]k ? Z , 所 以 p3 正 确 . 由 解 得 增 区 间 为 ? ? k? ? x ? 8 8 8 8 ? k ? k ? 2x ? ? k? ,k ? Z ,得 x ? ? ? , k ? Z , 所以此时的对称中心为 ( ? ? , ?1) ,所以 p4 正确 ,所 4 2 8 2 8
2 ? 1 , 所 以 P1 错 误 . 将 f (x) ? 2 sin 2x ?1 的 图 象 向 右 平 移
以选 B.
4 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题) 一已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为
A.

( C.



4 5

B.

4 3

3 4

D.

2 3

【答案】B

【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所 以 2 2
B.

1 2? 2 tan ? 2 ? 1 ? 4 ,选 tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 3 2 4

5 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a

? b ,则


?? ? tan ? ? ? ? 等于 4? ?
A. ?



1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

【答案】B

【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a b ? 2 cos? ? sin? ? 0 , 即 tan ? ? 2

. 所 以

tan(? ?

?
4

)?

6 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是

tan ? ? 1 2 ? 1 1 ? ? ,选 B. 1 ? tan? 1? 2 3





A. y ? sin( 2 x ?

?
2

)
C. y ? sin( x ?

B



y ? cos(2 x ?

?
2

)

?
2

) D. y ? cos( x ?

?
2

)
( )

【答案】A

y ? sin(2 x ? ) ? ? cos 2 x 为偶函数,且周期是 ? ,所以选 2

?

A.
7 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测 (二模) 数学 (理) 试题)函数

? ? ?? f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ? , ? ? 2 2?

上的图象大致为

【答案】C

函数 f ? x ? ? 2x ? tan x 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 A, C.

B





x?

? 时, y ? 0 ,所以排除 D,选 2

8 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. )已知 ? ? (? ,





A.7
【答案】B

3 4 ? ? ), cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于 2 5 4 1 1 B. C. ? 7 7 3 2

( D. ? 7



【 解 析 】 因 为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?

4 3 3 , 所 以 sin ? ? 0 , 即 sin ? ? ? , tan ? ? . 所 以 5 5 4

3 1? 1 ? tan ? 4 ? 1 ,选 B. tan( ? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1+ 3 7 4

?

9 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中

A >0, ? <

π 的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,只需将 f ( x) 的图象 2





π 个单位长度 4 π C.向右平移 个单位长度 12
A.向右平移

π 个单位长度 4 π D.向左平移 个单位长度 12 T 5? ? ? 2? 2? 【 答 案 】 C 由 图 象 可 知 , A ? 1, ? ,即 T? , 所 以 ? ?3 , 所 以 ? ? ? 4 12 4 6 3 ? 5? 5? 5? , 又 , 所 以 f ( ) ? sin(3 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 f ( x) ? sin(3x ? ? ) 12 12 4 5? 3? ? π ? ? ?? ? ? 2k? , k ? Z ,即 ? ? ? 2k? , k ? Z , 又 ? < , 所以 ? ? ,即 f ( x) ? sin(3 x ? ) . 4 2 4 2 4 4 ? ? ? ? π 因为 g ( x) ? sin 3 x ? sin(3 x ? ? ) ? sin[3( x ? ) ? ] , 所以只需将 f ( x) 的图象向右平移 个 4 4 12 4 12
B.向左平移 单位长度,即可得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,选 C.

10 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 当 x ?

?
4


时,函数

? 3? ? f ? x? ? A sin ?? ?? A ?? 0取得最小值,则函数 y ? f ? ? x ? 是 ? x ? 4 ?
A.奇函数且图像关于点 ?



?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?

B.偶函数且图像关于点 ?? ,0? 对称

C.奇函数且图像关于直线 x ?
【答案】C

?
2

对称

D.偶函数且图像关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?

当 x?

?

4 3? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 所 4 3? 3? y? ( f ? ) x ? s A i 4 4
C.

时,函数 f

? x? ?

A sin ?? ?? A ?? 0取 得 最 小 值 , 即 ? x


?
4

?? ? ? (? x

?
2

? 2 k? , k ? Z , 即 ? , )所A
以 0

f

? ??xs

3? ? n? ( , x ? ? ) A ? xs i x ? n 对称 ,选 所以函数为奇函数且图像关于直线 4 2
2 ? f ( x) ? e2 x ?1 ,若 f [cos( ? ? )] ? 1 , 2

3? i A ?n ? 4

11. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知函数

则 ? 的值为 A . k? ?

( B . k? ? 由



?
4

?
4
2

C.
?1

【 答 案 】 C

c o s ? 2 ?( 2

?

?

? ? 1 , 得 2 x 2 ? 1 ? 0 , 即 2 cos 2 ( ? ? ) ? 1 ? 0 , 所 以 2 ? k? ? )? c ? o ?s ? ( ? 2 ?,所以 ) ? 2?c ?o s ? k2 ? , k ?0 Z ,即 ? ? ? , k ? Z ,选 C. 2 2 4
f ( x) ? e2 x

k? ? ? 2 4

D . k? ?

?
4

(其中 k∈Z)

12. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为

g ( x) ,则函数 y ? x 2 g ( x) 的部分图象可以为.

【答案】C

y ' ? cos x ,即 g ( x) ? cos x ,所以 y ? x 2 g ( x) ? x 2 cos x ,为偶函数,图象关于 y 轴对称,
B .当 y ? x cos x ? 0 , 得 x ? 0 或 x ?
2

所以排除 A,

?
2

? k? , k ? Z , 即函数过原点 , 所以选
( )

C.
13. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,内角

A.

B. C 的对边分别为 a、 b、 c,且 2c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? ab ,则△ABC

是 A.钝角三角形 【答案】A 【 解 析 】

B.直角三角形

( ) C.锐角三角形

D.等边三角形



2c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? ab



,

1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab 2

,





1 ? ab a2 ? b 2 ? c 2 1 cos C ? ? 2 ? ? ? 0 ,所以 90 ? C ? 1800 ,即三角形为钝角三角形,选 ( 2ab 2ab 4
A.
14. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 函数 y ? cos ( x ?
2



?
4

) 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单
( )

位 (a ? 0) ,所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A. ? B.

3? 4

C.

?
2

D.

?
4

1 ? cos(2 x ? ) 2 2 ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? 1 sin 2 x ,函数向右平移 a 个单位得到 【答案】 D y ? cos ( x ? ) ? 4 2 2 2 2 1 1 1 1 函 数 为 y ? ? sin 2( x ? a ) ? ? sin(2 x ? 2a) , 要 使 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 有 2 2 2 2 ? ? k? ? ?2a ? ? k? , k ? Z ,即 a ? ? ? , k ? Z ,所以当 k ? ?1 时,得 a 的最下值为 ,选 D. 2 4 2 4 ? 15. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? (其中 A ? 0, ? ? ) 2

?

?

的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象

( A.向右平移 C.向左平移
【答案】A



? ?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个长度单位 个长度单位

?

6

12

【解析】由图象可知 A ?1 ,

f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 又

?
6

?? ?

?
2

T 7? ? ? 2? ,所以 ? ? 2 ,所以函数为 ? ? ? ,即周期 T ? ? ? 4 12 3 4 ? 7? 7? ? f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 即 sin( ? ? ) ? 1 , 所 以 12 12 6

? 2 k? , k ? Z , 即 ? ?

?

f ( x) ? sin(2 x ?

?

3

? 2 k? , k ? Z , 因 为 ? ?

?

) . g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] , 所以只需将 f ? x ? 的图象向右平移 , 即 3 6 3 6
( )

?

?

2

,所以当 k ? 0 时, ? ?

?

3

,所以

?

可得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,所以选

A.
16. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象向右平移


?
6



单位后,所得的图象对应的解析式为 A. y ? sin 2 x B. y ? cos 2 x C .



y?

sin(2 x ?

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?
【答案】D

? ) 6
?



解 析 】 将 函 数

个 单 位 得 到 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的 图 象 向 右 平 移 6 6

?

f ( x) ? sin[2(x ?

?
6

)?

?
6

] ? sin(2x ?

?
6

),选

D.

17. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的
2 对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积为 S,且 2 S ? ? a ? b ? ? c , 则 tan C 等于 2





3 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 【答案】 C 由 2 S ? ? a ? b ? ? c 得 2S ? a ? b ? 2ab ? c , 即 2 ? ab sin C ? a ? b ? 2ab ? c , 2
A. B. C. ? D. ?

3 4

4 3

4 3

s i nC ? 所以 ab

2a ? b

2

a ?

2

a 2 ? b 2 ? c 2 ab sin C ? 2ab sin C ? ? ?1 , 所 以 b ? ,又 c cos C ? 2ab 2ab 2
2

siC n C C C 2 C c oC s? ? 1 ? sin cos , 所以 tan ? 2 , 即 tan C ? , 即 2 cos 2 2 2 2 2
选 C.

C 2 ? 2? 2 ? ? 4 , C 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 2 tan

18. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) )要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数

y ? sin 3 x 的图象
A.向左平移 2 个单位 C.向左平移
【答案】D

( B.向右平移 2 个单位 D.向右平移



2 个单位 3

2 个单位 3 2 个单位, 3

【 解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移 即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D.
2

2 3

19. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?

?
4

)是





A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为
【答案】B

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

?
2

的偶函数

?
2

的奇函数

【解析】 y ? 1 ? 2sin 2 ( x ? 所以函数为奇函数,所以选

?

? ? 2? 2? ) ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ,所以周期 T ? ? ?? , 4 4 2 ? 2
B.

20( .山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 π,

π 6







π , 0 )对称 3 π B.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 3 π C.函数 f ( x) 的图象向右平移 个单位后,图象关于原点对称 3
A.函数 f ( x) 的图象关于点( D.函数 f ( x) 在区间 (0,π ) 内单调递增
【答案】C 因为函数的周期 T ?

2?

?

? 4? , 所 以 ? ?

1 ? 1 ? , 所 以 f ( x ) ? sin( x ? ) . 当 x ? 2 3 2 6

? 1 ? ? ? 3 时, f ( ) ? sin( ? ? ) ? sin ? ,所以 A ,B 错误.将函数 f ( x) 的图象向右平移 3 2 3 6 3 2 π 1 ? ? 1 个单位后得到 f ( x) ? sin[ ( x ? ) ? ] ? sin( x) ,此时为奇函数,所以选 C. 3 2 3 6 2
21. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理) )已知 ? ? ? ? ,

? ?

? 3 ? 4 ? ?, cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 4 2 ? 5
( )

等于 A.7
【答案】B

B.

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7



解 析 】 因 为 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

4 , 5

所 以 sin ? ? ?

3 3 , tan ? ? . 所 以 5 4

3 4 4 ? 1 ,选 tan( ? ? ) ? ? ? 3 7 4 1 ? tan tan ? 1 ? 4 4

?

tan

?

? tan?

1?

B.

22. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 sin( x ?

?
4

)??

5 , 则 sin 2 x 的值等于 13

( A.
120 169



B.

119 169

C. ?

120 169

D. ?

119 169

【答案】D

? 5 【解析】因为 sin( x ? ) ? ? , 所以
4 13

2 5 1 25 ,解得 (sin x ? cos x) ? ? ,两边平方得 (1 ? sin 2 x) ? 2 13 2 169

sin 2 x ? ?

119 ,选 D . 169

23. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |?

?
2

)的部

分图象如图所示,为了得到 g( x ) ? cos 2 x 的图象,则只要将 f ( x ) 的图象

( A.向左平移 C.向左平移



?
?
12 6

个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

?
12

个单位长度 个单位长度

个单位长度

?

【答案】A 由图象可知 A ?1 ,

f ( x) ? sin(2 x ? ? )

.

7? 3? ? ? ? ?? ? ? 2k? , k ? Z , 即 ? ? ? 2k? , k ? Z , 所 以 ? ? , 即 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 因 为 6 2 3 3 3 g ( x) ? cos 2 x ? sin( ? 2x ) ? sin[2(x ? ) ? ] ,所以直线将 f ( x) 向左平移 个单位长度即可得 2 12 3 12
到 g ( x) 的图象,选 A.
24 .(【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 )现有四个函
x 数:① y ? x sin x ② y ? x cos x ③ y ? x | cos x | ④ y ? x 2 的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ?? .又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,即 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 又 , 所 以 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 12 12 6

6

?

?

?

?





照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

( A.④①②③ 【答案】C B.①④③② C.①④②③ D.③④②①



【解析】①为偶函数,②为奇函数,③为奇函数,且当 x ? 0 时 y ? 0 ,④为非奇非偶函数.所以对应的顺 序为①④②③,选 顶角的余弦值为 C. ( )

25. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么

A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8

【答案】D

(2 x) 2 ? (2 x) 2 ? x 2 7 【解析】设底边长为 x ,则两腰长为 2 x ,则顶角的余弦值 cos ? ? ? .选 D. 2 ? 2x ? 2x 8
26. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)函数 y ?

x ? sin x 的图象大致是 3

【答案】C

【 解析】函数 y ? f ( x) ?

x B . 当 ? sin x 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 3 1 1 D . f '( x) ? ? cos x , 由 f '( x) ? ? cos x ? 0 , 得 x ? ?? 时, y ? 0 ,排除 3 3 1 x C. cos x ? ? ,所以函数 y ? f ( x) ? ? sin x 的极值有很多个,所以选 3 3

27. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 (理) 试题) 在 ?ABC中,?A=60

, AB ? 2 ,且 ?ABC
( )

的面积为

3 ,则 BC 的长为 2
B.3 C. 7 D.7

A. 3
【答案】A

1 1 3 3 S ? ? AB ? AC sin 60 ? ? 2 ? AC ? 2 2 2 2
B
A.
2

,





AC ? 1

,





?C

2

A ?

2B

2

?

A c C ? o,,所以 s BC A 6 ?, 0选 A ? B 3

3C





28. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5
( )

A. ?

24 25

B.

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25

【答案】C

? ? ? ? 7 sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? cos 2( x ? ) ? ?[1 ? 2sin 2 ( x ? )] ? ? 【 解析】 4 2 4 4 25 ,选
29. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题) 若函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 [ ?

C.

? ?

, ]上 3 4

单调递增,则 ? 的最大值等于 A.





3 C.2 D.3 2 ? ? T T 【答案】B 因为函数在 [ ? , ] 上递增,所以要使函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 [ ? , ] 上单调递 3 4 4 4 ? T 4? 2? 4? 3 3 ? 增,则有 ? ? ? ,即 T ? ,所以 T ? ,解得 ? ? ,所以 ? 的最大值等于 ,选 B. 3 4 3 ? 3 2 2
B.
30 .( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

2 3

? ? , ? ? ( , ? ), 且 tan ? ? cot ? , 那么必有
2
A. ? ? ? ?
【答案】B

( D. ? ? ?



?
2

B. ? ? ? ?

3 ? 2

C. ? ? ?

【 解 析 】 因 为 cot ? = tan (

?
2

? ?) = tan (? ?

?
2

? ?) = tan (

3? ? ? ? ? ? ,而函数 y ? tan x 在 x ? ( , ? ) 上单调递增,所以由 tan ? ? cot ? , 2 2 2 2 3? 3? 3? 即 tan ? ? tan 可得 ? ? ,选 B. ( ? ?) ? ? ,即 ? ? ? ? 2 2 2 ?

?

? ? ? ? ?? ,

?

3? ? ? ?), 因 为 ? ? ? ? , 所 以 2 2

?

31( .山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ?

< ) 2

?

的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象

( A.向右平移 C.向左平移
【答案】A



? ?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

? ?
3 3

个长度单位 个长度单位

6

【 解 析 】 由 图 象 可 知 A ? 1,

T 7? ? ? 2? ,所以 ? ?2 ,所以 ? ? ? ,即 T ?? ,又 T ?? ? 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 7? 3? ? ? ) ? ?1 ,得 in( ? ? ) ? ?1 ,即 ?? ? ? 2 k? , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,由 f ( ) ? sin(2 ? 12 12 6 6 2

即 ??

?

3

? 2 k? , 因 为 ? ?

?

g ( x ) ? sin 2x ? sin[2(x ?

?
6

)?

?
3

2

, 所 以 ??

?

3

, 所 以

f ( x) ? sin(2x ?

?

], 所 以 只 需 将 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

?
6

3

) . 因 为

个长度单位,即可得到 ( )

g ( x) ? sin 2 x 的图象,所以选
A.

32( .山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) 右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R ) 在区间 [? ? , 5? ] 6 6

上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

( A.向左平移



?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移 变
【答案】A

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不

由图象知 A ? 1 , T ?

2 ? (? ) ? ? ? 0 , 得 ? ? , 所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ? ) . 所以为了得到这个函数的图象 , 只需将 6 3 3
y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平移
倍,纵坐标不变,选 A.
33. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. )函数 y ? x sin x 在

?

5? ? 2? ? (? ) ? ? , T ? ? ? , 所以 ? ? 2 . 所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ? ? ) . 由 6 6 ?

?

?

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (


1 2




?? ? , ? ? 上的图象是

【答案】A

【解析】函数 y ? x sin x 为偶函数,所以图象关于 y 对称,所以排除

D. 当x?

?
2

时, y ? A.

?
2

? 0 ,排除 B.当 x ?

? 3? 2 ? ? 2 ? 3? 时, y ? sin ? ? ? ? ? ,排除 C,选 4 4 2 4 2 4 2 4






34. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. )要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象







A.向左平移 2 个单位 C.向左平移
【答案】D

B.向右平移 2 个单位 D.向右平移

2 个单位 3

2 个单位 3 2 个单位,即 3

【解析】 因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移 可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D.

2 3

35. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |?

? ? ) 向左平移 个 6 2
( )

单位后是奇函数,则函数 f ( x) 在 ? 0,

? ?? 上的最小值为 ? 2? ?
C.

A. ?

3 2

B. ?

1 2

1 2

D.

3 2

【 答 案 】 A

函 数 f ( x) ? sin(2x ? ? ), (|? |?

? ? 个 单 位 后 得 到 函 数 为 ) 向左平移 6 2
?

以? ??

? ? ? , 所 以 当 k ? 0 时 , ? ? ? , 所 以 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 当 3 2 3 3 ? ? ? 2? ? ? ? , 即 当 2 x ? ? ? 时 , 函 数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 有 最 小 值 为 0 ? x ? , 所 以 ? ? 2x ? ? 2 3 3 3 3 3 3

f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为奇函数 ,所以 ? ? ? k? , k ? Z ,所 6 6 3 3

?

?

?

?

? k? , k ? Z . 因 为 | ? |?

? 3 ,选 sin(? ) ? ? 3 2
A.
二、填空题 36. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)函数 y





? sin( x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所 2

?

示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB _______________.

【答案】 ?2

函 数 的 最 大 值 是

1, 周 期 T ?

2?

?

? 4 , 则 AD ?

T ? 1 , BD ? 3, PD ? 1 , 则 4

2
AD BD ? 1, tan ?BPD ? ? 3, 所以 tan ?APB ? tan(?APD ? ?BPD) PD PD tan ?APD ? tan ?BPD 1? 3 ? ? ? ?2 . 1 ? tan ?APD ? tan ?BPD 1 ? 1? 3 tan ?APD ?
37 .( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

? ?? ? ? f ( x) ? 2 sin 2 ( ? x ) ? 3 cos 2x ? 1 , x ? ? , ? ,则 f ( x) 的最小值为_________. 4 ?4 2?
【答案】1

【 解析】 f ( x) ? 2sin 2 (

?

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos 2( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1 4 4

?

? ? , 所 以 ?x? ? ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 因 为 4 2 2 3
?
6 ? 2x ?

?

?

?
3

?

1 ? 2 sin(2x ?

?

2? 3

, 所 以 sin

?
6

? sin(2x ?

?
3

) ? sin

?
2

, 即

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 所 以 2 3

3

) ? 2,即 1 ? f ( x) ? 2 ,所以 f ( x) 的最小值为 1.

38. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时

间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y ? h ? A sin(? x ? ? ) 的图象.最能近似表示表

中数据间对应关系的函数是_______.
【答案】 y ? 5.0 ? 2.5sin

?
6

t 2?

由数据可知函数的周期 T ? 12 ,又 T ? 12 ?

?

,所以 ? ?

?
6

.函数的最大值为 7.5 ,最小值为 2.5 ,即

h ? A ? 7.5, h ? A ? 2.5 , 解 得 h ? 5.0, A ? 2.5 , 所 以 函 数 为 y ? f ( x) ? 5.0 ? 2.5sin( t ? ? ) , 又 6

?

y ? f (3) ? 5.0 ? 2.5sin( ? 3 ? ? ) ? 7.5 , 所以 sin( ? ? ) ? cos ? ? 1 , 即 ? ? 2k? , k ? Z , 所以最能 6 2
近似表示表中数据间对应关系的函数是 y ? 5.0 ? 2.5sin

?

?

?

6

t.

39. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)若 tan( π ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? 【 答 案 】

? ___________.
, 所 以

?

4 5



tan( π ??) ? 2



tan ? = ? 2

sin 2? ?

2 sin? cos? 2 tan ? 2 ? ? ( 2) 4 ? ? ?? . 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1? tan ? 1 ? ? ( 2) 5

40. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分别为 a,b,c,若

a cos B ? b cos A ? c sin C ,
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,则角 B=________.
【答案】 60 由 b
2

? c 2 ? a 2 ? 3bc 得 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 ,所以 A ? 30 .由正弦定理 ? ? 2bc 2bc 2

得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 即 sin( A ? B ) ? sin C sin C ? sin C , 解得 sin C ? 1 , 所以

C ? 90 ,所以 B ? 60 .
41. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)如图,将边长为 1cm 的正方形 ABCD 的四边沿

BC 所在直线 l 向右滚动( 无滑动 ),当正方形滚动一周时 , 正方形的顶点 A 所经过的路线的长度为 _______cm.

【答案】

2 ? ?? 2 1 1 2 2cm 滚动一周的路程是: ? 2? ( 2) ? ? 2? ? 2 ? ? ?? . 4 4 2

AB=1cm,所以 AC= AC ?

42. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另

两边长之积的最大值等于. 【答案】16 【解析】设另两边为 a, b , 则由余弦定理可知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60 , 即 16 ? a 2 ? b 2 ? ab , 又

16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab ,所以 ab ? 16 ,当且仅当 a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16.
43. (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,

若 a ? 3, b ?

2, B ? 45? ,则角 A=_______.

【答案】 60 或 120

【解析】由正弦定理可知

3 2 3 a b ,即 ,因为 a ? b ,所以 ? ? 2 ,所以 sin A ? ? sin A sin 45 2 sin A sin B

A ? 45 ,所以 A ? 60 或 A ? 120 .
三、解答题 44. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)

已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x ,? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 , b ? c ? 4 ,求

A 2

?ABC 的面积.
【答案】解:(1)由 m ? n 得 m ? n

? 0 ,? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

即 y ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ∴? ∴?

?
6

) ?1

?

?

2 3

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ? A 2

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

?
6

? k? , k ? Z ,即增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

(2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 2sin( A ? ∴ A?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

) ? 1 ? 3 , sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

,k ? Z

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 4 ? b 2 ? c 2 ? bc ∴ 4 ? (b ? c) ? 3bc ,因为 b ? c ? 4 ,所以 bc ? 4
2

∴S

ABC

1 ? bc sin A ? 3 2
2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

45 . ( 山 东 省 潍 坊 市

f ( x) ? 3 sin
距离为

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) . 其图象的两个相邻对称中心的

?
2

,且过点 (

?
3

,1) .

(I) 函数 f ( x) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中 .a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边 , a ? 5 , S ?ABC ? 2 5 , 角 C 为锐角 . 且满

f(

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

【答案】解:(Ⅰ) f ( x ) =

3 1 sin( wx + j ) + [1 - cos( wx + j ) ] 2 2

= sin( wx + j -

π 1 )+ 6 2

π Q 两个相邻对称中心的距离为 ,则 T = π , 2

\

2π = π, Q w>0, \ w=2 , |w|
π 3

又 f ( x ) 过点 ( ,1) ,

骣 骣 2π π 1 π 1 \ sin 珑 - +j 鼢 + = 1, 即 sin + j = , 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 3 6 2 2 2
\ cos j = 1 , 2 π π π 1 Q 0 < j < , \ j = , \ f ( x ) = sin(2 x + ) + 2 3 6 2

(Ⅱ) f 珑 珑 珑-

骣 C 桫 2

骣 π π π鼢 1 1 7 = sin C + + = sin C + = , 鼢 桫 6 6 12 鼢 2 2 6

\ sin C =

2 , 3

Q0< C <
又a =

π 5 , , \ cos C = 2 3
1 1 2 ab sin C = 创 5 b ? 2 2 3
2 2

5, SD ABC =

2 5,

\ b = 6,
由余弦定理得 c = a + b - 2ab cos C = 21 ,
2

\ c=

21

46. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

已知 3 sin2A=1-cos2A. (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 1, B ?

?
4

,求 b 的值.

【答案】

47 . ( 山 东 省 潍 坊 市

2013

届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 ( A )) 已 知 函 数

f ( x) ? cos(?x ?

?

) ? cos(?x ? ) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? . 6 6

?

(I)求函数 f ( x) 的对称轴方程; (II)若 f (? ) ?
【答案】

6 ? ,求 cos( ? 2? ) 的值. 3 3

48 .( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

x ? ? ? m ? ? As i n A? , n ?, ? 3 ? ? ?
(1)求 A 的值; (II)设 ? 、 ? ? ?0,
【答案】由题意得

x? ?? ? 3 ,? c fo? x s? ? m , ? n 且f ? ? ? , 3 4 ? ? ?

2 .

30 ? ?? , f ? 3? ? ? ? ? , ? 17 ? 2?

7 ? 8 ? f ? 3? ? ? ? ? ? , 求 cos ?? ? ? ? 的值. 2 ? 5 ?

49. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知函数 f ( x ) ? cos

x x ? 3 sin . 2 2

(I)若 x ? [ ? 2? , 2? ] ,求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 f ( 2 A ? △ABC 的面积.
【答案】

2 4 ? ) ? ,sin B ? 5 cos C,a ? 2 ,求 3 3

50. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知角

,sin B ? 3sin C. 3 (1)求 tan C 的值;
(2)若 a ?
【答案】

A?

?

7, 求△ABC 的面积.

51. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )若函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? m 在区

间 [0,

?
2

] 上的最大值为 2,将函数 f ( x) 图象上所

有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移

?
6

个单位,得到函数

g ( x) 的图象.
(1)求函数 f ( x) 解析式; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,又 g ( 积等于 3,求边长 a 的值,
【答案】

?

8 ? A) ? , b ? 2 ,△ABC 的面 2 5

52 .( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 平 面 向 量 a

=(cos ? ,sin ? ),b=(cosx,sinx),c=(sin ? ,-cos ? ), 其 中 f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值; (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移

0< ? <

? , 且 函 数

? ,1). 6

? 个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的 2 倍, 12 ? 纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 2
【答案】

53. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 ?ABC 的角 A、B、C,所对的边分

别是 a、b、c,且 C ? (1)若 m / /n ,求 B;

?
3

,设向量 m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p=(b-2,a-2)

.

(2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c.
【答案】证明:(1)? m // n,? a sin A ? b sin B

由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b
又? c ?

?
3

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a (b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ①
由正弦定理和①②得, 3 ?

1 . sin c.ab 2

?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

? ab ? 4 ②
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?c ? 2
54. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)设 f ( x) ? 6 cos x ? 2 3 sin x cos x .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;

? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移 个单位 ,得 y ? g ( x) 的图象 ,求 3
切线方程.
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? 6

F ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x 在

x?

?
4 处的

故 f(x)的最小正周期 T ? ? , 由 ? ? ? 2k? ? 2 x ?

(1 ? cos 2 x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 , 2 6

?

6

? 2k? 7? ? , k? ? ]?k ? Z ? 12 12

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 3 cos[2( x ?

?

) ? ] ? 3 ? 2 3 sin 2 x ? 3 , 3 6

?

F ( x) ?
F ' ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

?

sin 2 x , x

2 x cos 2 x ? sin 2 x , x2

因此切线斜率 k ? F ' ( ) ? ? 切点坐标为 (

?

16

? 4 , ), 4 ?

4

?2

,

故所求切线方程为 y ? 即 16 x ? ? y ? 8? ? 0
2

4

?

??

16

?

2

(x ?

?
4

),

55 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ?
(I)求 f ? x ? 的表达式;

1 ? ?? ? 0 ? ,其最小正周期为 . 2 2

(II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 8
? ?? 上有且只有一个实数解, ? 2? ?

变),得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0, 求实数 k 的取值范围.
【答案】解:(I) f ( x ) ?

3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 2

?

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) 2 2 2 6

由题意知 f ( x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2 所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

? ?

??
? 6?

? ? 个单位后,得到 y ? sin( 4 x ? ) 的图象,再将所得图象所有点的横坐 8 3 ? 标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 3 ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? ) 3 ? ? ? 2? 因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 3 3 3 2
(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个

? ?? ? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ?0, ? 上有且 ? 2? ? 2?
只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ?k ?

2

3 或 ?k ? 1 2

所以 ?

3 3 或 k ? ?1 . ?k? 2 2

56 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

A?

π π π , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

(Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.
【答案】解:(Ⅰ)由 b sin(

π π ? C ) ? c sin( ? B) ? a, 用正弦定理得 4 4 π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. 4 4

∴ sin B sin(

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? , 2 2 2 2 2

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ∵ 0<B, C< π , ∴ ? π <B ? C< π , ∴B?C ? 又A?

3 4

3 4

3 4

π . 2

π 3 ,∴ B ? C ? π , 4 4 5 π 解得 B ? π , C ? . 8 8 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ? ,由正弦定理, 8 8 5 2 2 ? sin π a sin B 8 ? 4sin 5π. 得b ? ? π sin A 8 sin 4 1 1 5 π ∴△ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? 2 2 ? 4sin π sin 2 2 8 8 5 π π π ? 4 2 sin π sin ? 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. 4
57 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且

a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2a sin B
(I)求角 C; (II)求 3 sin A ? cos ? B ?
【答案】

? ?

??

? 的最大值. 4?

58. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )在△ABC 中,已知 A=

? 2 5 , cos B ? . 4 5

(I)求 cosC 的值;

(Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.
2 5 且 B ? (0 5

【答案】解:(Ⅰ) ? cos B ?

,180 ) ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ?

5 5

3? cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( ? B) 4
? cos 3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10
1 ? cos2 C ? 1 ? (? 10 2 3 10 ) ? 10 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 由正弦定理得

BC

sin A sin C

?

AB

,即
2 5 2 2 ? AB 3 10 10

,解得 AB ? 6

在 ?BCD 中, CD2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ?

2 5 ? 5 ,所以 CD ? 5 5

59. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?
3

]上

单调递增,在区间 [

? 2?
3 , 3

] 上单调递减;如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ ABC 的内角 A,B,C

4? ? cos B ? cos C sin B ? sin C 的对边,且满足 . ? 3 sin A cos A
(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最大值.
C

B

O

?

A

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? ? sin A cos A ? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
【答案】解:(Ⅰ)由题意知:

2?

?

? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a (Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形
1 3 SOACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? ? 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) 4 5 3 ? 5 3 , ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

? sin ? - 3 cos ? ?

? ? 2? ? ? (0,? ) ,?? - ?(- , ), 3 3 3
当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

即? ? ,

5 3 5? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? 4 6

60 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C 所对应的边分别为

a, b, c , A, B 为锐角且 B ? A , sin A ?

5 , 5

3 sin 2 B ? . 5
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 5 ? 1 ,求 a, b, c 的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ A 为锐角, sin A ?

1 2 5 ∴ cos A ? 1 ? ? 5 5 5

∵ B ? A , sin A ?

5 2 ? ,∴ B ? 45 5 2

∵ sin 2 B ?

9 4 3 ? ,∴ cos 2 B ? 1 ? 25 5 5
1 1 ? cos 2 B 3 ? , sin B ? 2 10 10
2 3 1 1 2 ? ? ? ?? 2 5 10 5 10

∴ cos B ?

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ?
∴ C ? 135 (Ⅱ)由正弦定理

a b c ? ? ?k sin A sin B sin C
1 2 + )k ,解得 k ? 10 10 2

∴ b ? c ? 5 ? 1=( ∴a ?

2, b ? 1, c ? 5.

61 . ( 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

x x x x m ? ( 3 cos , cos ), n ? (sin , cos ), 函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)在锐角 ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 a cos C ?
【答案】

1 c ? b, 求 f (2 B) 的取值范围. 2

62. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 且满

足 ? 2b ? c ? cos A ? a cos C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2, c ? 3 ,求 | AB ? AC | .
【答案】解:(1)由正弦定理可得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? cos C sin A,

? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

1 sin B ? 0,? cos A ? . 2

?A?

? . 3
2 2 2

(2) AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB AC cos A

? 7 ? 2 3.

? AB ? AC ? 7 ? 2 3
63 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 2 cos( x ? ) cos( x ? ) ? 2 2 sin x cos x . 4 4
(I)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的图象,并说明 y ? f ( x) 的图象 是由 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到的.
【答案】

?

?

64 .( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ( x) ? a.b, 其中向量a ? (2 cos x1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R
(1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)若 x ? [?
【答案】

?
4

, 0] ,求函数 f ( x) 的值域;

65 .( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( ? ? x)(?>0) 的 图 像 上 两 相 邻 最 高 点 的 坐 标 分 别 为 2

?

?? ? 4? , 2? ? , 2? 和? ?3 ? 3
(1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求
【答案】

b ? 2c 的取值范围. a


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