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福建省莆田第六中学2015-2016学年高二数学6月月考试题理(实验班)(新)


莆田六中 2015-2016 学年高二下 6 月月考理科数学(A)
满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题有且只有一项是符合题目要 求的) 1.已知集合 A ? x 0 ? log 2 ? 2 , B ? y y ? 3 ? 2, x ? R , 则 A ? B ? (
x x

>
A. ?1, 4 ? A. a ? 5

?

B. ? 2, 4 ?
2

?

?

C. ?1, 2 ?

?



D. ? ) D. a ? 4 )
x0 x0

2.命题“ ?x ?[1, 2] , x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( B. a ? 5
x 2 x 2

C. a ? 4 B.?x0 ? R , 使得 2 D. ?x0 ? R , 使得 2 )位。

3.已知命题 p : ?x ? R ,都有 2 ? 0 且 x ? 2 x ? 0 ,则 ? p 为( A.?x ? R ,都有 2 ? 0 或 x ? 2 x ? 0 C.?x0 ? R , 使得 2 A.60 B.61
x0

? 0 或 x02 ? 2 x0 ? 0 ? 0 或 x02 ? 2 x0 ? 0

? 0 且 x02 ? 2 x0 ? 0
2000

4.已知 lg 2 ? 0.3010 ,则 2

的整数位数是( D. 603

C.602

5.已知命题:设 z 是复数,若 z 2 ? 0 ,则 z 是实数。那么它的逆命题、否命题、逆否命题 这三个命题中正确的有( A. 0 B.1 )个。 C. 2 D.3

6 .已知集合 ? ? ?0,1,2? , M ? x x ? a ? b, a ? ?, b ? A ,则集合 M 的真子集的个数是 ( ) B.31 C.15 ) D. a ? b ? c D.7 A.63

?

?

2 3 3 2 2 2 7.实数 a ? ( ) , b ? ( ) 3 , c ? log 3 的大小关系正确的是 ( 3 2 2 3
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? c ? b

8.2003 年至 2015 年某城市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中, 最不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是( )

A. f ( x) ? ax ? bx ? c
2

B. f ( x) ? ae ? b
x

C. f ( x) ? e

ax ?b

D. f ( x) ? a ln x ? b
-1-

9. 已知 x, y, z ? R? ,且 x ? y ? z ? 2 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是( ) A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.? 3

?e x ? a,x ? 0 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 5 有最小值,则实数 a 的取值范围是( ,x ? 0 ? ? x ?1
A. (4, ??) B.[4, ??) C. (??, 4)



D. ( ??, 4]

11.已知 A、B、C、D 为函数 f ( x ) ?

2x ? 3 图像上的四点,且四边形 ABCD 为矩形,则矩形 ABCD x ?1
) C.

的外接圆圆心与坐标原点的距离是( A.

6 2

B. 5

13 2

D. 5

? k ,x ?0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 若关于 x 的方程 f ( f ( x)) ? 0 有且只有一个实数解, 则 ? x?0 ?ln x,
实数 k 的取值范围是( A . (?1, 0) ? (0, ??) D. (??, ?1) ? (1, ??) ) B . (??, 0) ? (0,1) C . (?1,0) ? (0,1)

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
x ?1 13.设集合 A ? x x ? 1 ? 3 , B ? x 2 ? 4 ,则 A ? CR B ? ____________

?

?

?

?

14.若 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax 与 g ( x ) ? ____ ____ .

a 在区间 [1, 2] 上都是减函 数,则实数 a 的取值范围是 x ?1

15. 关 于 x 的 不 等 式 kx ? 3 k ? x ?2 ? 2 x ?4 ? 0 的解集为 R ,则实数 k 的取值范围是 ___________ 16.对任意的正数 a, b, c ,不等式 a ? b ? c ? m(2ab ? bc) 都成立,则实数 m 的取值范围是
2 2 2

_____

____ _____。

三、解答题:本大题共 6 小题,17,18 题 10 分,21 题 14 分,其它每题 1 2 分,共 70 分。解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

-2-

17. 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2cos ? 以坐标原点 O 为 (? 为参数 ) , ? y ? 2sin ?

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标下, 射线 ? ? ? 和 ? ? ? ? 交于异于极点 O 的 A 、 B 两点。 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

?
3

(0 ? ? ?

?
2

) 与圆 C 分别

(Ⅱ)求 OA ? OB 的最大值。

18.已知函数 f ( x) ? x ? 2 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? f (2 x) ? 5 ; (Ⅱ)已知 a, b ? R 且
?

1 1 ? ? 2 ,求证: af (b) ? bf (?a) ? 4 a b

19.2015 年 7 月 31 日,国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季运动会(简称冬奥 会)在北京和张家口两个城市举办,某中学为了普及冬奥会知识,举行了一次奥运会知识竞 赛,随机抽取 20 名学生的成绩(满分为 100 分)如下: 男生:93 91 90 86 女生:96 87 85 83 83 79 80 76 69 67 65 78 77 74 73 68

(Ⅰ)根据两组数据作出男、女生成绩的茎叶图,并比较男、女生成绩的平均值大小及分散 程度; (Ⅱ)从成绩 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取 4 人,要求 4 人中必须既有男生又有女生, 用 X 表示所选 4 人中男生与女生人数的差,求 X 的数学期望。

-3-

20.已知函数 f ( x) ? 4x ? a ? 2x ? 3 (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)已知 p : x ? 1 ? 2 ; q : f ( x) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取 值范围.

21.(本小题满分 14 分)设 a ? R ,函数

f ( x) ? x x ? a ? 2x .

(Ⅰ)当 a ? 2 时, ?x0 ?[0,3] ,使得不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求 m 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若存在 a ? [?2 , 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t ? f (a) 有三个不相等的实数解,求实 数 t 的取值范 围.

22. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A(?1,1) 关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与

1 BP 的斜率之积等于 ? . 3 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得 ?PAB 与

?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。
-4-

莆田六中 2015-2016 学年高二下 6 月月考理科数学(A)评分标准 一.选择题 1-5:BADCD 二、填空题 13、 ( ??, 4] 三、解答题 17. 解: (1)依题意得,圆 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 14、 0 ? a ? 1 15、 [ ,1] 6-10:BADCB 11-12: BA

4 5

16、 ( ??,

2 5 ] 5

(2)依题意 OA ? 4cos ? , OB ? 4 cos( ? ? 所

?
3

)


OA ? OB ? 4
分 又0 ? ? ? 10 分

??

??
?
3

?
3

?

??
?
6

??

??

??

?
3

。8

c

?
2

,所以当 sin(? ?

) ? 1,即 ? ?

时, OA ? OB 有最大值 4 3

。 。 。 。 。 。

18.解(1)原不等式即为 x ? 2 ? 2x ? 2 ? 5 当 x ? 2 时,上述不等式可化为 3x ? 4 ? 5 ,解得 x ? 3 ,所以 x ? 3 ; 当 1 ? x ? 2 时,上述不等式可化为 x ? 5 ,所以无解; 当 x ? 1 时,上述不等式可化为 4 ? 3x ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? ; 综上,原不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? 3? 【说明】 :如果采用函数图像法求解也给满分。 (2)不等式左边 ? a b ? 2 ? b a ? 2 ? ?ab ? 2a ? ab ? 2b ? 2a ? 2b

。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分

1 3

1 3

? ?

1 3

? ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

1 1 ? 2a ? 2b ? (a ? b)( ? ) a b b a b a ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 4 =右边 a b a b

所以原不等式得证。 19. 本小题主要考查茎叶图的画法和理解,古典概型,随机变量的数学期望等基础知识,考 查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想、化归与转化思想.满 分 12 分. 解: (Ⅰ)茎叶图如图所示.

2分

················

-5-

男生的平均成绩为

x?

1 (3 ? 90 ? 3 ? 80 ? 70 ? 3 ? 60 ? 1 ? 3 ? 3 ? 6 ? 6 ? 5 ? 7 ? 9) ? 80 , 10 1 (90 ? 3 ? 80 ? 5 ? 70 ? 60 ? 6 ? 7 ? 5 ? 3 ? 9 ? 8 ? 7 ? 4 ? 3 ? 8) ? 80 , 10

女生的平均成绩为

y?
5分

所以男、女生的平均成绩一样. ··················· 由茎叶图可以看出,男生的成绩比较分散,女生的成绩比较集中. ···· 6分 (Ⅱ)成绩在 80 分以上(包括 80 分)的学生共有 10 人,其中男生 6 人,女生 4 人, X 的所有可能取值为 – 2,0,2, ················· 7分

P( X ? ?2) ?
8分

1 3 C6 C4 12 , ············· ? 1 3 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97

P( X ? 0) ?
9分

2 2 C6 C4 45 ? , ·············· 1 3 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97

3 1 C6 C4 40 , ·············· P( X ? 2) ? 1 3 ? 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97

10 分 所以 E ( X ) ? ?2 ? 12 分
x x 20.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ,

12 45 40 56 ? 0? ? 2? ? . ············· 97 97 97 97
。 。 。 。 。 。 。 。 。

1分 令 t ? 2 ,则 y ? t ? 2t ? 3 ? (t ?1) ? 2
x

2

2

。 。 。 。 。 。 。 。 。3

分 因为 x ? R ,所以 t ? 0 ,所以当 t ? 1 时,函数有最小值, ymin ? 2 4分 所以函数 f ( x ) 的值域为 [2, ?? ) 。 。 。5 分 (2) x ? 1 ? 2 解得 ?1 ? x ? 3 .所以 p : ?1 ? x ? 3 ; 6分 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件 7分 即不等式 f ( x) ? 0 在区间 [?1,3] 上恒成立。 8分
-6-

。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。

x 2 令 t ? 2 ,则转化为不等式 t ? at ? 3 ? 0 在区间 [ ,8] 上恒成立。

1 2

即t ? 分

1 3 ? a 在区间 [ ,8] 上恒成立 2 t 3 ,则 g (t )min ? a t 3 3 ? 2 3 ,当且仅当 t ? ,即 t ? 3 时取等号。 t t

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 9

记 g (t ) ? t ? 分 又 g (t ) ? t ? 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。10

。 。 。 。 。 。 。 。 。11

所以 g (t )min ? 2 3 ,则 a ? 2 3 。 分 21 解: (Ⅰ)原命题即为 f max ( x) ? m 。 。 。 。 。 。1 分

。 。 。 。 。 。 。 。 。12

| x ? 2 | ?2 x ? ? 当 a ? 2 , x ? [0,3] 时, f ( x) ? x?

? 2 ?x

,
2

x?2

? ? ? x ? 4 x, 0 ? x ? 2

。 。 。 。 。 。 。2 分

作函数图像(图像略) ,可知函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上是增函数, 。 。 。 。 。 。 。3 分 所以 f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ,所以 m ? 9 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

? 2 ? x ? (2 ? a) x , x ? a (Ⅱ) f ( x) ? ? 。 。 。 。 。 。 。5 分 2 ? ? x ? (2 ? a ) x , x ? a ?
(1)当 a ? 2 时,

a ? 2 2 (a ? 2)2 ) ? ①当 x ? a 时, f ( x) ? ( x ? , 2 4
因为 a ? 2 ,所以

(a ? 2) ? a ,所以 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增. 2

②当 x ? a 时, f ( x) ? ?( x ? 所以 f ( x) 在 (??,

a ? 2 2 (a ? 2)2 (a ? 2) ) ? ?a, ,因为 a ? 2 ,所以 2 2 4

a?2 a?2 ] 上单调递增,在 [ , a] 上单调递减. 。 。 。 。 。 。 。6 分 2 2 (2)当 ?2 ? a ? 2 时 a?2 a?2 ? a, ? a ,所以 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数。 当 ?2 ? a ? 2 时, 。 。 。 。 。 。7 分 2 2 (3)当 a ? ?2 时

-7-

①当 x ? a 时,对称轴 增。

a?2 ( a ? 2) a?2 ] 上递减,在 [ ? a ,所以 f ( x) 在 [ a , , ?? ) 上单调递 2 2 2

( a ? 2) ? a ,所以 f ( x) 在 (??, a] 上单调递增。 。 。 。 。 。 。 。8 分 2 a?2 ] 和 [a, ??) ; 综上,当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, 2
②当 x ? a 时, 当 ?2 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ??) 。 。 。 。 。 。 。9 分 当 a ? ?2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ( ??, a ] 和 [

a?2 。 。 。 。 。 。9 分 , ??) 。 2

(3) 由 (2) 可知当 ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数, 关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 不可能有三个不相等的实数解. 。 。 。 。 。 。 。10 分 所以 2 ? a ? 4 ,由(2)知 f ( x) 在 (??, 减 函 数 , 当 且 仅 当 2a ? tf (a) ? 解. 。 。 。 。 。 。 。11 分

a?2 a?2 ] 和 [a, ??) 上分别是增函数,在 [ , a] 上是 2 2

(a ? 2) 2 时 , 方 程 f ( x) ? tf (a) 有 三 个 不 相 等 的 实 数 4

即1 ? t ?

(a ? 2)2 1 4 ? (a ? ? 4) .在 a ? (2, 4] 时有解。 。 。 。 。 。 。12 分 8a 8 a
4 , g(a) 在 a ? (2, 4] 时是增函数,故 g(a)max ? 5 。 。 。 。 。 。 。13 分 a

令 g( a ) ? a ?

所以,实数 t 的取值范围是 (1, ) 。 。 。 。 。 。 。14 分

9 8

22.(Ⅰ)解:因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1) 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

y ?1 y ?1 1 ? ?? , x ? 1 x ?1 3
2

代简得 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) 故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1)
2 2

。 。 。 。 。 。 。 。4 分

(Ⅱ)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M,N 的坐标分别为 (3, y M ), (3, y N )

-8-

则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) , 直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1). x0 ? 1 x0 ? 1
。 。 。 。 。 。 。 。6 分

令 x ? 3 得 yM ?

4 y 0 ? x0 ? 3 2 y ? x0 ? 3 , yN ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

于是 ?PMN 的面积

S ?PMN ?

| x ? y0 | (3 ? x0 ) 2 1 | y M ? y N | (3 ? x0 ) ? 0 2 2 | x0 ?1|

。 。 。 。 。 。 。 。7 分

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0, | AB |? 2 2 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ?PAB 的面积

| x0 ? y 0 | 2
1 | AB | ?d ?| x0 ? y 0 | 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 2

S ?PAB ?

当 S ?PAB ? S ?PMN 时,得 | x0 ? y 0 |? 又 | x0 ? y0 |? 0.
2 所以 (3 ? x0 ) 2 ?| x0 ? 1 | ,解得 x 0 ?

| x0 ? y0 | (3 ? x0 ) 2 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 2 | x0 ?1|

5 3

。 。 。 。 。 。 。 。11 分

2 2 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y 0 ? ?

33 9

。 。 。 。 。 。 。 。12 分

故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( ,? 解法二:故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等, 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

5 3

33 ) 9

1 1 | PA | ? | PB | sin ?APB ? | PM | ? | PN | sin ?MPN . 2 2 因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,
则 所以

。 。 。 。 。 。 。 。6 分

| PA | | PN | ? | PM | | PB |

。 。 。 。 。 。 。 。7 分

所以

| x0 ? 1 | | 3 ? x0 | ? | 3 ? x0 | | x0 ? 1 |
5 3

。 。 。 。 。 。 。 。9 分

2 2 即 (3 ? x0 ) ?| x0 ? 1 | ,解得 x 0 ?

。 。 。 。 。 。 。 。11 分

-9-

2 2 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y 0 ? ?

33 9

。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( ,?

5 3

33 ) 9

- 10 -


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