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北师大版数学选修1-1《1.2充分条件必要条件》备课精选同步练习含答案


§ 2

充分条件与必要条件

课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.了解充分而不必要条件,必 要而不充分条件,既不充分也不必要条件的含义.3.正确判断充分不必要条件、必要不充 分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.4.通过学习,理解对条件的判定可以归结为 判断命题的真假.

1.充分条件 “若 p,则 q”形式的命题为真命题是指:由条件 p 可以得到结论 q.通常记作________, 读作“p 推出 q”.此时我们称________________________. 2.必要 条件 如果“若 p,则 q”形式的命题为真命题,即________,称 p 是 q 的____________,同 时,我们称 q 是 p 的____________. 3.充要条件:由于 p?q,所以 p 是 q 的充分条件;由于 q?p,所以 p 是 q 的必要条件, 在这种情况下,我们称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 4.推出与充分条件、必要条件 若 p?q,但 q ? p,则称 p 是 q 的________________________; 若 p ? q,但 q?p,则称 p 是 q 的_________________________; 若 p ? q,且 q ? p,则称 p 是 q 的________________________ .

一、选择题 1.“A=B”是“sin A=sin B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件,又是必要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2.“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( ) 4 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 π 2 3.设 0<x< ,则“xsin x<1”是“xsin x<1”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M,或 x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分 也不必要条件 5.若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(0)=3,f(3)=-1,设 P={x|| f(x+t)-1|<2},Q={x|f(x)< -1},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是( ) A.{t|t≤0} B.{t|t≥0} C.{t|t≥-3} D.{t|t≤-3} 1 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题

6.“lg x>lg y”是“ x> y”的____________条件. 7.p 是 q 的充分不必要条件,r 是 q 的必要不充分条件, 那么 p 是 r 的____________条 件. 8.不等式(a+x)(1+x)<0 成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则 a 的取值范围 是___ _____. 三、解答题 9.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件是 a≥2 且|b|≤4.

10.已知 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+ 2x-8>0,且 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

能力提升 11. 记实数 x1, x2, ?, xn 中的最大数为 max{x1, x2, ?, xn}, 最小数为 min{x1,x2,?,xn}. 已 知 △ ABC 的 三 边 边 长 为 a , b , c(a≤b≤c) , 定 义 它 的 倾 斜 度 为 ?a b c ? ?a b c? l=max?b,c ,a?· min?b,c ,a?, ? ? ? ? 则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.

1.判断两个条件之间的关系,可以从推出“?”或“?”成立的情况来确定. 2.可以利用集合间的关系来判断条件之间的关系. 3.利用条件的充分性、必要性可以 解决一些与范围有关的问题. 4.探求充要条件,要保证转化过程是等价转化,分清条件的充分性和必要性.

§ 2

充分条件与必要条件

知识梳理 1.p?q p 是 q 的充分条件 2.p?q 充分条件 必要条件 4.充分但不必要条件 必要但不充分条件 既不充分也不必要条件 作业设计 1.A [“A=B”?“sin A=sin B”,反过来不对.] 2.A [由 x2+x+m=0 知, 1 1 Δ=1-4m≥0?m≤ ?m< .] 4 4 π 3.B [当 0<x< 时,0<sin x<1. 2 1 由 xsin2x<1 知 xsin x< ,不一定得到 xsin x<1. sin x 反之,当 xsin x<1 时,xsin2x<sin x<1. 故 xsin2x<1 是 xsin x<1 的必要不充分条件.] 4.A [本题可以根据集合间的关系来解. (M∩P) (M∪P).] 5.D [由|f(x+t)-1|<2,得-1<f(x+t)<3, f (3)<f(x+t)<f(0). 又因为 f(x)是 R 上的减函数,∴-t<x<3-t. 由 f(x)<-1=f(3),得 x>3, 若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件, 则-t≥3,∴t≤-3.] 6.充分不必要 7.充分不必要 解析 p?q?r,反之不对. 8.a>2 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解为 -a<x<-1.由题意有(-2,-1) (-a,-1),∴-2>-a,即 a>2. 9.证明 先证明条件的充分性: ?a≥2, ? ∵? ?a2≥4≥b, ? b ≤ 4 , ?

∴方程 x2+2ax+b=0 有 Δ=4(a2-b)≥0, ∴方程有实数根,① ? ? ?a≥2, ?-2a≤-4, ∵? ?? ?b≥-4, ?b≥-4 ? ? ∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2-4) =-2a-4≤-4-4=-8<0, 而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4 =b+4a+4≥-4+8+4=8>0, ? ? ??x1-2?+?x2-2?<0, ?x1-2<0, ∴? ?? ??x1-2??x2-2?>0, ?x2-2<0, ? ?
?x1<2, ? ? ,即方程有小于 2 的实数根.② ?x2<2 ?

显然,由①、②知“a≥2,且|b|≤4”?“方程有实数根且两根均小于 2”. 再验证条件不必要性: 1 ∵方程 x2-x=0 的两根为 x1=0,x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- <2, 2 ∴“方程的两根小于 2” ? “a≥2,且|b|≤4”. 综上,a≥2 ,且|b|≤4 是方程有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件. 10.解 由 x2-4ax+3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a, 所以 p:3a<x<a. 由 x2-x-6≤0 得-2≤x≤3, 由 x2+2x-8>0 得 x<-4 或 x>2, 所以 q:x<-4 或 x≥-2 因为 p?q 所以 a≤-4 或-2≤3a<0 2 所以 a≤-4 或- ≤a<0 3 故所求 a 的取值范围是 2 ? ? ?a|a≤-4或- ≤a<0?. 3 ? ? 11.A [当△ABC 是等边三角形时,a=b=c, ?a b c ? ?a b c ? ∴l=max?b,c ,a?· min?b,c ,a?=1×1=1. ? ? ? ? ∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件. ?a b c ? c ∵a≤b≤c,∴max?b,c,a?= . ? ? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min?b,c ,a?= , ? ? c a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.] 12.解 当{an}是等差数列时,∵Sn=(n+1)2+c, ∴当 n≥2 时,Sn-1=n2+c, ∴an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an+1-an=2 为常数. 又 a1=S1=4+c, ∴a2-a1=5-(4+c)=1-c, ∵{an}是等差数列,∴a2-a1=2,∴1-c =2. ∴c=-1,反之,当 c=-1 时,Sn=n2+2n,

可得 an=2n+1 (n≥1)为等差数列, ∴{an}为等差数列的充要条件是 c=-1.


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