tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

三角形五“心”向量形式的充要条件


维普资讯 http://www.cqvip.com

数 学 通 讯 

2 0 0 2年 第 1 期 

三角 形五 “ 心” 向量 形式 的充要 条件 
赵加营  
( 宿迁 中 学 , 江苏 2 2 3 @ 0 D )  

中 圈分 类 号 : O1 2 2—4 2  

r />
文 献标 识 码 : A  

文章编号 : 0 4 8 8 —7 3 9 5   c 2 0 0 2 ) O 1 —0 0 2 6一o 2  

利用 向量 的 加法 、 减 法 和 向量 的 数 量积  运算 , 解决 几何 问题显 得 简 捷 、 明快 , 思路 清  晰. 本文 就利用 向量来研 究三 角形五 “ 心” ( 外  心、 重心 、 垂心 、 内心 、 旁心) 向 量形 式 的充要 
条 件 
1 外 心 

据 向量加法 的定 义可得 
由  得 


+  
,   .  

=_ 0  .  

十   +  

+   =一  

_ _ 一 oC = 0 C 



| _c、 D、 c   三点 共线 , 而 D在 O C   上,  


.  

c, O, D共线 , 即C D 为AA BC 的边 

结论 1  

若 。 是 

A B 上的 中线 .  

aA B C 所 在 平 面 上 一 
点, 则 。是 a A B C 的 外 

设 AO, B O 的延 长线 交 对 边分 别 为 E,  
F点, 同理 可证 AE, B F 为边 B C, AC 上 的 
中线 
.   .

心的充 要条件 是 
2 =  2=   2  

0 是 AA BC 的 重 心 .  

证  由 向量 数 量积  的运算 性质可 得 
=  

圉 1 外 

必要 性 : 设 。 是 AA B C的重心, D, E,   F分别 为边A B, B C, C A 的中点 .  

1  .  

如图 3 , 延长 O D 至  M, 使I   O M =2 I   O D ,   则 四 边形 O AMB 为平  行 四边 形 , 根 据 向 量加 
法 的 定 义 可 得 。五 十  



.  

2 =面   =   错 I   l   z ={ 蕊 I 。 =I   I  
∞   I f =I   f =I   错 0 是 a AB C 的外 心 

2 重 心 

诵 :西疏.  
若 。 是 

围3 重  

结论 2  

‘   o 是AA BC 的 重 心 ,  


A AB C 内一 点 , 则 。 是 

  I j =2 I 面 I .  
  I OCf = oM I .  

AAB C重 心 的充 要 条 件 



是蕊 +   + 一 O C= 一 O .  

+  + 

C 

又 ‘ . ’C, o, M 三点 共线 ,  


充 分性 : 若 
图2 重  C  
.  



石疏 =一   . 即  
OA +OB+Oe=6.  

O A +OB = 一0C.  
‘ .

如 图 2, 以O A、 O B 为邻 边作口 O AC   B,  

设 OC   与AB交 于点 D, 刚 D 为A B 中点 根 

3 垂 心 

收 稿 日期 t 2 0 0 1 —0 8—2 7  

作者简介 : 赵加营( 1 9 6 7 ~) , 男, 江苏宿迁^ , 江苏宿迂 中学一级教师, 学士 

维普资讯 http://www.cqvip.com

2 0 0 2年 第 1 期 

数 学 通 讯 

结论 3 若 。 是 AA BC所 在 平面 上一  点, 则 O 是A A BC 的垂 心的充 要条件 是 
-   =

内 心 ,则  O A B =  

O AC,  

O B A  

蔬 .   =   .  
. 一 O B:   .   =  

Z 2 0 B C, 由一 A O.   c 0 s  O A B, - A 6-  

= I   - A 6    I i   = f   - A 6 ;i  



充分性 : 若 
.  

oC - 0A ,  

c o s  c , 得c o s Z O A B = 需需 ,  
c o s  


如 图 4, 由 


c = 

面 .   得赢 . 蔬 一  

oB ?0C = 0,  
.  

葡  

.  

’   ’
嘲 4 垂 心 

_ _  
?   ?  

’  
.  

oB? ( OA 一0C)  

= 0.  

即 

而 


一  

=一 C A

. . . .  

萌  0  
.  

而商 :   一  


,   =  

一o X   . (  

魂 上蕊   NNNi  ̄ . :   上   , 而
. . .

O A. ( 面 一  

) =  



L  

) .  

o 是 A ABC 的垂 心 

必要性 : 设 。 是 AA B C的垂心, 则 0e  

即o X. 蔼 一   z =  
0 
. 

. 茄 一  
0 

z .  

上赢 ,   上蔚 , 蔬 _ _ 蕊 .  
_   =  ?   +

鱼 

由   上面 得  . 蔬 =0 。   而商 = 石舀一   ,  
‘   .


同 理 可 得 

(  

一  
一  

) :0 ,  
. 一 04 : 0  


i 荫. 魂 =  

.   +   二钶 2  

即 


.  


充分性 : 可仿 照必 要性 的过程逆 推 
5 旁 心 



.  

面  


. 丽   .   = 蕊 . 礴 .  

同理可得 
’ 

结论 5

若 。 是 △A B C 所在 平 面上 一 

.  

蔬 .   :   . 丽  

点, 则 0 是 AA B C 的旁 心 的充要条 件是 


4 内 心 

结论 4 若 ( )是 A A B C所 在平 面上 一  点, 则 。 是 △A B C 的 内心 的充要 条件是 


O A. 蔬 =   l f 赢 2 一÷   .  
0  D 


生  
口 

一 ̄ o - g. 茄  
口 

穗 : 导   .   + o   2  ̄ O - X 2  
=  

( 或 

.  

=  

一  

?  

=  
一  

a 

?  

+  “

— Ⅱ+c —  uD 一  —u^ ’uD .     或 ㈨

. ’  u L :  

( 或一 O B‘ 一 O C   旦蕊 ?  
f 
.   :

D  

丽 ?  

+  

—  n   A一 一鱼  n   A. ?  
2  

—  一  /— , , 7 ,    

+   _“ 碚  或  
c 


_

6  ̄ -. 魂 +  

C  

b 碚 .  
c   B 

, 

蕊   :鱼商 .  
f   n 

+   A 
罔5

其 中 n, b , c为 
AABC 的 三 边 )  

a- 5  ̄ 2其 中 。, b,   为 


内? D  

n 

类 似 于 内 心 ” 的  
证 明过程 .  
图 6 旁 心 

A AB C 的 三边 ) .  



必要 性 : 如图 5 , 若 0 是 AA BC 的 

证 明 略 


推荐相关:

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

三角形“四向量形式的充要条件应用知识总结 一. 知识总结 1.重心 中线交点...是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五 B 组第 6 题) 1 证明 ...


三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四向量形式的充要条件应用知识总结_其它课程_高中教育_教育专区。三角...(五)将平面向量与三角形结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , O...


三角形“四心”向量形式的充要条件应用

三角形“四向量形式的充要条件应用_数学_高中教育_教育专区。三角形“四...OB ? OC D.重心 ,则 O 是 ?ABC 的( ) C.垂心 (五)将平面向量与三角...


三角形“四心”向量形式的充要条件应用

三角形“四向量形式的充要条件应用(修正稿) 衡阳县三中 刘仲生 湖南祁东...(五)将平面向量与三角形结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP...


三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四向量形式的充要条件应用知识总结_数学_高中教育_教育专区。三角...(五)将平面向量与三角形结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP...


全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用(原创)河南马守林

全面剖析三角形“四向量形式的充要条件及其应用(原创)河南马守林_理学_高等教育_教育专区。三角形全面剖析三角形“四” 全面剖析三角形“四”向量形式...


(学习用 )三角形“四心”及其向量形式的充要条件

三角形“四”及其向量形式的充要条件 三角形“四”及其向量形式的充要条件在高考中,往往将“向量作为载体”对三角形的“四”进行考查。这就需要 我们在熟...


(上课用 )三角形“四心”及其向量形式的充要条件

三角形“四三角形“四”及其 向量形式的充要条件在高考中,往往将“向量作为载体”对三角形的“四”进行考查。 这就需要我们在熟悉三角形的“四”...


【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2

三角形“四向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容...(五)将平面向量与三角形结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP...


三角形四心(向量形式)

三角形“四向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后...(五)将平面向量与三角形结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com