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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理-课件


第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理
[A 组?基础达标练] 1.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 答案 C 解析 直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),且定点(0,1)在圆 x +y =2 内,故直线 y=kx+1 一定与圆相交

,又圆心(0,0)不满足方程 y=kx+1,直线与圆相交但不过圆心. 2.[2016?合肥模拟]已知圆 x +y -2x+my-4=0 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对 称,则圆的半径为( A.9 C.2 3 答案 B 解析 由题意知,圆心?1,- ?在直线 2x+y=0 上, 2? ? 1 ∴2- m=0,解得 m=4; 2 ∴圆的方程为(x-1) +(y+2) =9,圆的半径为 3. 3.[2016?银川模拟]过圆 x +y =1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴相交于 A、
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

) B.3 D.2

?

m?

B 两点,则|AB|的最小值为(
A. 2 C.2 答案 C

) B. 3 D.3

解析 设圆上的点为(x0, y0),其中 x0>0,y0>0, 则切线方程为 x0x+y0y=1.分别令 x=0,

? ? ? ? y=0 得 A? ,0?,B?0, ?,则|AB|= ?x0 ? ? y0?
1 1 等号成立.

? 1 ?2+? 1 ?2= 1 ≥ 1 =2.当且仅当 x =y 时, ?x0? ?y0? x y x2+y2 0 0 ? ? ? ? 0 0 0 0
2

4.[2015?重庆高考]已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的 对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 答案 C 解析 由题意得圆 C 的标准方程为(x-2) +(y-1) =4,所以圆 C 的圆心为(2,1),半 径为 2.因为直线 l 为圆 C 的对称轴,所以圆心在直线 l 上,则 2+a-1=0,解得 a=-1, 所以|AB| =|AC| -|BC| =(-4-2) +(-1-1) -4=36,所以|AB|=6,故选 C. 5.[2013?山东高考]过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A、B,则
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

B.4 2 D.2 10

直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 答案 A

) B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

解析 由图知切点 A(1,1),圆心坐标 C(1,0), 1-0 1 所以 kCM= = . 3-1 2 易证 CM⊥AB, 所以 kAB=-2. 直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. → 6.[2015?唐山二模]已知圆 C:x +y =1,点 M(t,2),若 C 上存在两点 A,B 满足MA= →
2 2

AB,则 t 的取值范围是(
A.[-2,2] C.[- 5, 5] 答案 C

) B.[-3,3] D.[-5,5]

解析 如图,设 A(x,y), → → ∵MA=AB,∴A 为 MB 的中点,
2

∴B(2x-t,2y-2). 又∵A,B 均在圆 C:x +y =1 上,
? ?x +y =1 ∴? 2 2 ??2x-t? +?2y-2? =1, ?
2 2 2 2

x +y =1 ? ? 即? ? t?2 ?1?2 2 ??x- ? +?y-1? =? ? , ? ?2? ? ? 2?
1 ?t ? 由题意得方程组有解,即等价于以? ,1?为圆心, 为半径的圆与圆 C 有交点, 2 ?2 ? 1 ∴1- ≤ 2
2

2

2

?t?2+12≤1+1? - 5≤t≤ 5,则实数 t 的取值范围是[- 5, 5]. ?2? 2 ? ?
2

7.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边 形 ABCD 的面积为________. 答案 10 2 解析 圆的方程化为标准形式为(x-1) +(y-3) =10,由圆的性质可知最长弦 AC=
2 2

2 10,最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点,设点 F 为其圆心,坐标为(1,3) . 故 EF= 5, ∴BD=2 10-? 5? =2 5, 1 ∴S 四边形 ABCD= AC?BD=10 2. 2 8.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程为________. 答案 (x-2) +(y+1) =1 4+x x= ? ? 2 设圆上任一点为 Q(x ,y ),PQ 的中点为 M(x,y),则? -2+y y= , ? ? 2
0 0 0 0 2 2 2 2 2

解析

解得

? ?x0=2x-4 ? ?y0=2y+2, ?

又因为点 Q 在圆 x +y =4 上, 所以 x0+y0=4, 即(2x-4) +(2y+2) =4, 即(x-2) +(y+1) =1. 9.[2015?肇庆模拟]如果实数 x, y 满足等式 (x- 2) + y =1,那么 ________. 答案 4 3
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

y+3 的最小值为 x-1

解析 用数形结合法,设 k=

y+3 ,则 y=kx-(k+3)表示经过点 P(1,-3),斜率为 k x-1
3

的直线,所以求

y+3 的最小值就等价于求同时经过点 P(1,-3)和圆上的点的直线中斜率的 x-1

最小值.结合图形可知,此时斜率存在.由圆心 C(2,0) 到直线 y = kx - (k + 3) 的距离 |2k-?k+3?| 4 4 =r=1,解得 k= ,即 k 的最小值为 . 2 3 3 k +1 10.[2016?唐山一模]已知圆 O:x +y =4,点 A( 3,0),以线段 AB 为直径的圆内切 于圆 O,记点 B 的轨迹为 Γ .
2 2

(1)求曲线 Γ 的方程; (2)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程. 解 (1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,取 A 关于

y 轴的对称点 A′,连接 A′B,故|A′B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.
所以点 B 的轨迹是以 A′,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 其中,a=2,c= 3,b=1,则 曲线 Γ 的方程为 +y =1. 4 (2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD, → → 则OB⊥AB.设 B(x0,y0), 则 x0(x0- 3)+y0=0. 2 2 2 又 +y0=1,解得 x0= ,y0=± . 4 3 3 则 kOB=± 2 ,kAB=? 2, 2
2

x2

2

x2 0

则直线 AB 的方程为 y=± 2(x- 3), 即 2x-y- 6=0 或 2x+y- 6=0. [B 组?能力提升练] 1.[2015?山东高考]一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-
2

4

2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 答案 D

2

) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4

解析 圆(x+3) +(y-2) =1 的圆心为 C(-3,2),半径 r=1.如图,作出点 A(-2,- 3)关于 y 轴的对称点 B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反射 光线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y-(-3)=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0. |k?-3?-2-2k-3| 2 2 由反射光线与圆相切可得 = 1, 即|5k+5|= 1+k , 整理得 12k +25k 2 1+k 4 3 +12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得 k=- 或 k=- .故选 D. 3 4

2

2

x+y-7≤0 ? ? 2.[2014?福建高考]已知圆 C:(x-a) +(y-b) =1,平面区域 Ω :?x-y+3≥0 ? ?y≥0.
2 2

若圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a +b 的最大值为( A.5 C.37 答案 C B.29 D.49

2

2

)

x+y-7≤0 ? ? 解析 作出不等式组 ?x-y+3≥0 ? ?y≥0
2 2

表示的平面区域 Ω ( 如图阴影部分所示,含边

界),圆 C:(x-a) +(y-b) =1 的圆心坐标为(a,b),半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切,得 b =1.解方程组?
? ?x+y-7=0 ?y=1, ?

得?

? ?x=6 ?y=1, ?

即直线 x+y-7=0 与直线 y=1 的交点坐标为

(6,1),设此点为 P.

5

又点 C∈Ω ,则当点 C 与 P 重合时,a 取得最大值, 所以 a +b 的最大值为 6 +1 =37. → → 3. [2015?唐山期末]过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C: x +y -4y-1=0 相切于点 B, 则CA?CB =________. 答案 5 解析 由 x +(y-2) =5 可知圆心为(0,2),r= 5, ∴ |AC| = ?3-0? +?1-2? = 10 ,∴ |AB| = 10-5 = 5 ,∴∠ ACB =45°,∴ → →
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

CA?CB= 10? 5?cos45°=5.
4.[2015?云南名校联考]已知圆 O:x +y =1,直线 x-2y+5=0 上的动点 P,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则|PA|的最小值为________. 答案 2 解析 过 O 作 OP 垂直于直线 x-2y+5=0,过 P 作圆 O 的切线 PA,连接 OA,易知此时 |PA|的值最小.由点到直线的距离公式,得|OP|= |PA|= |OP| -|OA| =2. 5.[2016?绵阳诊断]已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与 直线 3x-4y+7=0 相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3,圆 C 的面积小于 13. (1)求圆 C 的标准方程; (2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边形
2 2 2 2

|1?0-2?0+5| = 5.又|OA|=1,所以 2 1+2

OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在,求出 l 的方程;如果
不存在,请说明理由. 解 (1)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知
2 2 2

? ?|3a+7| =R? ? 2 2 ? 3 +4 ?
2

a2+3=R

13 ,解得 a=1 或 a= , 8

又 S=π R <13,∴a=1, ∴圆 C 的标准方程为(x-1) +y =4. (2)当斜率不存在时,直线 l 为 x=0,不满足题意.
6
2 2

当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又 l 与圆 C 相交于不同的两点,联立得{y=kx+3??x-1? +y =4 ,消去 y 得(1+
2 2

k2)x2+(6k-2)x+6=0,
∴Δ =(6k-2) -24(1+k )=12k -24k-20>0, 2 6 2 6 解得 k<1- 或 k>1+ . 3 3
2 2 2

x1+x2=-


6k-2 2k+ 6 2 ,y1+y2=k(x1+x2)+6= 2, 1+k 1+k →

→ → → →

OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),
假设OD∥MC,则-3(x1+x2)=y1+y2, 6k-2 2k+6 ∴3? 2= 2, 1+k 1+k 3 ? 2 6? ? 2 6 ? 解得 k= ??-∞,1- ∪?1+ ? ,+∞?,假设不成立,∴不存在这样的直线 l. 4 ? 3 ? ? 3 ?

7


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