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有关圆锥曲线的经典结论


一、椭



1. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 2. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 3. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 4. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上

一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 二、双曲线 1. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 2. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 3. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在 左支) 4.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 5.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆

x2 y 2 ? 2 ?1 2 A (?a, 0) A2 (a, 0) b 1.椭圆 a (a>b>o)的两个顶点为 1 , ,与 y 轴平行的直线交椭 x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 a . x2 y 2 ? 2 ?1 2 A( x0 , y0 ) b 2.过椭圆 a (a>0, b>0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭
k BC ?
圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

b 2 x0 a 2 y0 (常数).

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 3.若 P 为椭 圆 a ( a>b >0 )上 异于长 轴端点的 任一 点 ,F1, F 2 是 焦点,

1

?PF1F2 ? ?

,

?PF2 F1 ? ?

a?c ? ? ? tan co t 2 2. ,则 a ? c

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 1. 设椭圆 a (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆
上任意一点,在△PF1F2 中,记

?F1PF2 ? ?

,

?PF1F2 ? ? ?F1 F2 P ? ?
,

,则有

sin ? c ? ?e sin ? ? sin ? a . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 2. 若椭圆 a (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0
<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的 比例中项.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 3. P 为椭圆 a (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,


2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 |

,当且仅当

A, F2 , P

三点共线时,等号成

立.

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ?1 a2 b2 4. 椭 圆 与 直 线 Ax ? By? C ?0 有 公 共 点 的充 要 条 件是
A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2
.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 5. 已知椭圆 a (a>b>0)O 为坐标原点, Q 为椭圆上两动点, OP ? OQ . , P、 且 1 1 1 1 4a 2b 2 ? ? 2? 2 2 2 2 2 S | | OQ | a b ; 2) (1) OP | ( |OP|2+|OQ|2 的最大值为 a ? b ; 3) ?OPQ ( a 2b 2 2 2 的最小值是 a ? b . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 6. 过椭圆 a (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 | PF | e ? MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 .

2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 7. 已知椭圆 a ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? P( x0 , 0) a a . 线与 x 轴相交于点 , 则 ? x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 8. 设 P 点是椭圆 a ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦
?F1PF2 ? ?

点记

,则(1)

| PF1 || PF2 |?

2b2 ? S?PF1F2 ? b 2 tan 1 ? cos ? .(2) 2.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 9. 设 A、B 是椭圆 a ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,

?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有
| PA |?
(1)

2ab 2 | cos ? | 2a 2 b 2 S ? cot ? a 2 ? c 2 co s 2 ? .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) ?PAB b 2 ? a 2 .

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 10. 已知椭圆 a ( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F
的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 12. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 13. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 14. (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点.) 15. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 16. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 A (?a, 0) A2 (a, 0) b 17. 双曲线 a (a>0,b>0)的两个顶点为 1 , ,与 y 轴平行
3

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 a . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 18. 若 P 为双曲线 a (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F

c?a ? ? ? t a n co t ?PF1F2 ? ? ?PF2 F1 ? ? 2 2 (或 2 是焦点, , , 则 c?a c?a ? ? ? t a n co t c?a 2 2 ).
x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 19. 设双曲线 a (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为
双曲线上任意一点, 在△PF1F2 中, 记

?F1PF2 ? ?

,

?PF1F2 ? ? ?F1 F2 P ? ?
,



sin ? c ? ?e 则有 ?(sin ? ? sin ? ) a . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 20. 若双曲线 a (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则
当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 21. P 为双曲线 a (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一
定点,则

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 |

,当且仅当

A, F2 , P

三点共线且 P 和

A, F2

在y

轴同侧时,等号成立.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 22. 双曲线 a (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是

A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 .
x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 23. 已知双曲线 a (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 ,O

OP ? OQ .

4

1 1 1 1 4a 2b 2 ? ? 2? 2 2 2 2 S | | OQ |2 a b ; 2) 24. (1) OP | ( |OP|2+|OQ|2 的最小值为 b ? a ; 3) ?OPQ ( a 2b 2 2 2 的最小值是 b ? a . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 25. 过双曲线 a (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N | PF | e ? 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2 . x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 26. 已知双曲线 a (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直 a 2 ? b2 a 2 ? b2 x0 ? x0 ? ? P( x0 , 0) a 或 a . 平分线与 x 轴相交于点 , 则 x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 27. 设 P 点是双曲线 a (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其
?F1PF2 ? ?

焦点记

,则(1)

| PF1 || PF2 |?

2b2 ? S?PF1F2 ? b2 cot 1 ? cos ? .(2) 2.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 28. 设 A、B 是双曲线 a (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,

?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则
| PA |?
有(1)

2ab 2 | cos ? | | a 2 ? c 2co s 2 ? | .
2

29. (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3)

S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? b2 ? a 2 .

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 30. 已知双曲线 a (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右
焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直 线 AC 经过线段 EF 的中点. 31. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直.
5

32. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直. 33. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 34. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 35. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 36. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论
结论 1:设椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a1 ? b1 ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 共焦点 F1 (?c, 0) , 2 a1 b1 a2 b2

P 经过点 P 的椭圆和双曲线的斜率分别为 k1 , 2 , k1k2 ? ?1 . F2 (c,0) , 是两曲线的一个交点, k 则 结论 2:设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 和椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 共焦点 F (c,0)(c ? 0) ,P 是两 a 2 b2

曲线的一个交点,椭圆的离心率是 e ,经过点 P 的两曲线切线的斜率为 k1 和 k 2 ,则
1 k1k2 ? (e2 ? 1) .(试选此题证明) 2

结论 3:设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 和双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 共焦点 F (c,0)(c ? 0) ,P a 2 b2

是两曲线的一个交点,双曲线的离心率是 e ,经过点 P 的两曲线切线的斜率为 k1 和 k 2 ,则
1 k1k2 ? (e2 ? 1) . 2

结论 4:抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行(或重合)于该抛物线 对称轴.(试证明) 结论 5:椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.(试证明) 结论 6:过椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 M(a,0)作直线 MA 与直线 MB 交该椭圆于 A, a 2 b2 a(a 2 ? b 2 ) ,0) .(试证明) a 2 ? b2

B 两点,若 MA⊥MB,则直线必过定点 ( 结论 7:过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任意定点 M(x0, y0)作直线 MA 与直线 MB 交椭圆于 a 2 b2 a 2 ? b2 b2 ? a 2 x0 , 2 y0 ) . a 2 ? b2 a ? b2

A,B 两点,若 MA⊥MB,则直线必过定点 ( 结论 8:过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任意定点 M(x0, y0)作直线 MA 与直线 MB 交椭圆于 a 2 b2
6

A,B 两点,若 kMA·kMB=m (m ?

b2 a 2 ? b2 b2 ? a 2 ) ,则直线必过定点 ( 2 x0 , 2 y0 ) . a2 a ? b2 a ? b2

结论 9:直线 AB 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于点 A 和 B,若 OA⊥OB,则此直线必过定点
(2 p,0) .

结论 10:直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A,B 两点,M 是其顶点,当 kMA·kMB=m (m ? 0) 时,直线恒过定点 (?
2p ,0) .(试用三种方法证明) m

结论 11:过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的任意定点 M(x0, y0)作直线 AM 与 MB 交双曲线于 A,B 两点,当 kMA·kMB=m (m ? 0) 时,直线 AB 恒过定点 (?
2p ? x0 , ? y0 ) . m

结论 12:已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 F(m,0) (m ? 0) 的直线交抛物线于点 M、N,交 y 轴于点 P,若 ???? ? ???? ???? ? ???? PM ? ? MF , PN ? ? NF ,则 ? ? ? ? ?1 .(试用三种方法证明) 结论 13:已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 M(0, m)(m≠0)的直线与抛物线相交于不同的两点 A、 B,与 x 轴相交于 C(c,0), 求证:|MC|2=|MA|· |MB|.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过点 F(m,0)的直线交椭圆于点 M、N,交 y 轴于点 a 2 b2

结论 14:已知椭圆
???? ? ???? ? P,若 PM ? ? MF ,

???? ???? PN ? ? NF ,则 ? ? ? ?

2a 2 2a 2 .特别地,当 F 为焦点时, ? ? ? ? ? 2 .(试证明) m2 ? a 2 b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过点 F(m,0)的直线交椭圆于点 M、N,交 y 轴 a 2 b2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a 2 2a 2 N N M 于点 P, P ? ? F , P ? ?F , ? ? ? ? 2 若 M 则 .特别地, F 为焦点时,? ? ? ? 2 . 当 2 m ?a b

结论 15:已知双曲线

结 论 16 : A 、 B 是 椭 圆
1 ? | O A2|

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 两 点 , 且 OA ⊥ OB , 则 a 2 b2

1 1 1 ? 2 ? .(试证明) 2 2 |O B| a b

结 论 17 : A 、 B 是 双 曲 线
1 1 1 1 ? ? 2 ? .2 2 | O A2| |O B| a b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 的 两 点 , 且 OA ⊥ OB , 则 a 2 b2

结 论

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 n 个 点 , 且 a 2 b2 1 1 1 n 1 1 ?POP2 ? ?P2OP ? ? ? ?Pn?1OPn ? ?PnOP ,则 ? ??? ? ( 2 ? 2 ) .(试用极坐 1 3 1 2 2 2 OP OP2 OPn 2 a b 1

18 : 设 P , P2 ,?, Pn 是 椭 圆 1

标方法证明)

7

x2 y 2 结论 19:若 M、N 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上不同于 a b b2 M、N 的任意一点,且 kPM , kPN 存在,则 k PM ? kPN ? ? 2 .(试用点差法证明和函数与方程思想 a 证明)
结论 20:若 M、N 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上关于原点对称的两点,P 是双曲线上不 a 2 b2 b2 . a2

同于 M、N 的任意一点,且 kPM , kPN 存在,则 kPM ? kPN ? 结论 21:直线 AB 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A、B 两点,M 是 AB 的中点,且直线 AB、 a 2 b2 b2 . a2

OM 的斜率存在,证明: kOM ? k AB ? ? 结论 22:直线 AB 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 A、B 两点,M 是 AB 的中点,且直 a 2 b2 b2 . a2

线 AB、OM 的斜率存在,证明: kOM ? k AB ? 结论 23:过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P 作双曲线的渐近线的平行线,分别 a 2 b2 ???? ???? a 2 ? b 2 ? 交渐近线于点 M、N,则 PM ? PN ? .(试证明) 4 x2 y 2 P ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A, 是双曲线上异于顶点的一个动点, a 2 b2 从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点.若 ??? ? ??? ???? ? ??? ? OR ? ? OP, OQ ? ? OP ,则 ?? ? 1 .

结论 24: 设双曲线

x2 y 2 P ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A, 是双曲线上异于顶点的一个动点, a 2 b2 从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点.则 ??? ???? ??? 2 ? ? OR ? OQ ? OP .(试证明 23 条)

结论 25: 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P 作双曲线的渐近线的垂线,垂足分 a 2 b2 ???? ???? a2b2 (b2 ? a 2 ) ? 别为 M、N,则 PM ? PN ? . c4

结论 26:过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于 M、 a 2 b2 ???? ???? ? N,O 为坐标原点,则 OM ? ON ? a2 ? b2 .

结论 27: 过双曲线

结论 28:过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原
2

点,则

2 S ?AOB p 3 = . | AB | 8

8

结论 29: x 轴上一点 A(-m,0)(m>0)引动直线与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 相交于 M、 两点, 过 N
2

过点 M、N 分别作抛物线的切线,则两条切线的交点的轨迹方程是 x=m ( y ? 2 pm , y ? ? 2 pm ) .(试证明)
a2 x2 y 2 ,0)(a ? m ? 0) 引一条动直线与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 m a b M、N 两点,过点 M、N 分别作椭圆的切线,则两条切线的交点轨迹方程是

结论 30:过 x 轴上一点 A(

x=m ( y ?

b a 2 ? m2 b a 2 ? m2 ,y?? ). a a

a2 x2 y 2 ,0)(m ? a) 引一条动直线与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 m a b M、N 两点,过点 M、N 分别作双曲线的切线,则两条切线的交点轨迹方程是

结论 31: x 轴上一点 A( 过

x=m ( y ?

b a 2 ? m2 b a 2 ? m2 ,y?? ). a a
2

结论 32: 过直线 x=m ( y ? 2 pm , y ? ? 2 pm ) 上一点引抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的两条切线, 切点分别为 M、N,则 M、N 的连线过定点(-m,0). (试证明) 结 论 33 : 过 直 线 x=m ( y ?
b a 2 ? m2 b a 2 ? m2 ,y?? ) (a>m>0) 上 一 点 引 椭 圆 a a

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两条切线,切点分别为 M、N,则 M、N 的连线过定点 ( ,0) . a2 b m

结 论 34 : 过 直 线 x=m ( y ?

b a 2 ? m2 b a 2 ? m2 ,y?? ) ( m ? a) 上 一 点 引 双 曲 线 a a

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条切线,切点分别为 M、N,则 M、N 的连线过定点 ( ,0) . 2 a b m

结论 35:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB,CD,设
2

弦 AB,CD 的中点分别为 M、N,则线段 MN 恒过定点 T ( 圆公共弦中点的轨迹是以 OT 为直径的圆. (试证明) 结论 36:椭圆

3p ,0) ,且以 AB,CD 为直径的两 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F(c,0)(或 F(-c,0)),过焦点 F 作两条互相垂直的弦 a 2 b2 a2c ,0) 或 a 2 ? b2

AB , CD, 设弦 AB, CD 的 中 点分 别为 M、N ,则 线 段 MN 恒 过 定点 T ( ( T (?

a2c ,0) ),且以 AB,CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为 T 的圆. a ? b2
2

9


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