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河北省石家庄二中2015届高考数学二点五模试卷(理科)(解析版)


2015 年河北省石家庄二中高考数学二点五模试卷(理科)
一、选择题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 M={x|x2﹣4x<0},N={x|m<x<5},若 M∩N={x|3<x<n},则 m+n 等于( A.9 B.8 C.7 D.6 的值为( ) )

2.若复数 Z=(a2﹣1)+(a+1)i 为纯虚数,则 A.

1 B.﹣1 C.i D.﹣i

3.根据如下样本数据得到的回归方程为 x y 3 4 4 2.5 5 ﹣0.5 6 0.5 7

=bx+a.若 a=7.9,则 x 每增加 1 个单位,y 就(



﹣2

A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位

B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位. )

4.执行如图所示的算法,则输出的结果是(

A.1

B.

C.

D.2

5.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其 中 A,B 两点之间的距离 为 5,则 f(x)的递增区间是( )
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A.[6k﹣1,6k+2](k∈z) B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z) C.[3k﹣1,3k+2](k∈z) D.[3k﹣4,3k ﹣1](k∈z) 6.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,﹣1),B(π,﹣1),C(π,1),D(0, 1),正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是( )

A.

B.

C.

D.

7.六名大四学生(其中 4 名男生、2 名女生)被安排到 A、B、C 三所学校实习,每所学校 2 人, 且 2 名女生不到同一学校,也不到 C 学校,男生甲不到 A 学校,则不同的安排方法共有( A.9 种 B.12 种 C.15 种 D.18 种 )

8.设不等式组

,表示的平面区域为 D,若圆 C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)经过区

域 D 上的点,则 r 的取值范围是( A.[2 ,2 ] B.(2 ,3

) ] C.(3 ,2 ] D.(0,2 ) )∪(2 ,+∞)

9.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于(

第 2 页(共 31 页)

A.

B.

C.1

D. ,PB=BC=2 ,PA⊥平面 PBC,则四面体 P﹣ABC

10.已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 的内切球半径与外接球半径的比( A. B. C. D. )

11.设函数 f(x)=(x﹣a)2+(lnx2﹣2a)2,其中 x>0,a∈R,存在 x0 使得 f(x0) 实数 a 值是( A. B. ) C. D.1 )

成立,则

12.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为( A.1 B. C.3 D.4

13.在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B.3 C.4 D.6

等于(



14.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x),f(﹣2)=﹣3,数列{an}满 足 a1=﹣1,且 =2× +1,(其中 Sn 为{an}的前 n 项和).则 f(a5)+f(a6)=( D.2 )

A.﹣3 B.﹣2 C.3

二、填空题(共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 15.过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 + =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 . (x>0),则给出以下四个

16.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 结论:
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①函数 f(x)的值域为[0,1]; ②函数 f(x)的图象是一条曲线; ③函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数; ④函数 g(x)=f(x)﹣a 有且仅有 3 个零点时 其中正确的序号为 . .

三、解答题(共 8 小题,满分 92 分) 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,求△ ABC 的周长的最大值. 18.某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55]岁的人群随机抽取了 100 人进行调查, 得到各年龄段人数频率分布直方图. 同时对这 100 人是否参加“商品抢购”进行统计, 结果如下表: (1)求统计表中 a 和 p 的值; 50]内的参加“商品抢购”的人群中, (2) 从年龄落在 (40, 采用分层抽样法抽取 6 人参加满意度调查, 在抽取的 6 人中,有随机的 2 人感到“满意”,设感到“满意”的 2 人中年龄在(40,45]内的人数为 X, 求 X 的分布列和数学期望. (3)通过有没有 95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于 40 岁”有关?说明你的理由. 组数 第一组 第二组 [30,35) 第三组 [35,40) 第四组 [40,45) 第五组 [45,50) 第六组
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分组 [25,30)

抢购商品的人数 12 18

占本组的频率 0.6 p

10

0.5

a

0.4

3

0.3

1

0.2

[50,55) 附: K2= P(χ2≥k) k 2.706 3.841 6.635 10.828 0.100 0.050 0.010 0.001

19.在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD= BC,∠ABC=60°,N 是 BC 的中点.将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图). (Ⅰ)求证:AC⊥平面 ABC′; (Ⅱ)求证:C′N∥平面 ADD′; (Ⅲ)求二面角 A﹣C′N﹣C 的余弦值.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为

:1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当 最小时,求点 T 的坐标.

21.设函数 g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R)
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(Ⅰ)当 m=1 时,求过点 P(0,1)且与曲线 y=g(x)﹣(x﹣1)2 相切的切线方程 (Ⅱ)求函数 y=g(x)的单调增区间 b, (Ⅲ) 若函数 y=g (x) 有两个极值点 a, 且 a<b, 记[x]表示不大于 x 的最大整数, 试比较 sin 与 cos[g(a)][g(b)]的大小. 22.如图,⊙O1 和⊙O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A、B、C 为切点,直线 DO1 与⊙O1 与 E、 G 两点,直线 DO2 交⊙O2 与 F、H 两点. (1)求证:△ DEF~△ DHG; (2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9:16,求 的值.

23.长为 3 的线段两端点 A,B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,

,点 P 的轨迹

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 为曲线 C. 以坐标原点为极点, 曲线 T 的极坐标方程为 ρ=﹣4sinθ. ( I)以直线 AB 的倾斜角 α 为参数,求曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)若 D 为曲线 T 上一点,求|PD|的最大值. 24.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

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2015 年河北省石家庄二中高考数学二点五模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 M={x|x2﹣4x<0},N={x|m<x<5},若 M∩N={x|3<x<n},则 m+n 等于( A.9 B.8 C.7 D.6 )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:M={x|x2﹣4x<0}={x|0<x<4}, ∵N={x|m<x<5}, ∴若 M∩N={x|3<x<n}, 则 m=3,n=4, 故 m+n=3+4=7, 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.若复数 Z=(a2﹣1)+(a+1)i 为纯虚数,则 A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i

的值为(



【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数是纯虚数,求出 a,然后利用复数的幂运算求解,化简分母为实数即可. 【解答】解:Z=(a2﹣1)+(a+1)i 为纯虚数, 可得 a=1, 则 故选:D. 【点评】本题考查复数的基本概念,复数的基本运算,考查计算能力.
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=

=

=

=﹣i.

3.根据如下样本数据得到的回归方程为 x y 3 4 4 2.5 5 ﹣0.5 6 0.5 7

=bx+a.若 a=7.9,则 x 每增加 1 个单位,y 就(



﹣2

A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位

B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位.

【考点】线性回归方程. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意可得 和 ,由回归直线过点( , )可得 b 值,可得答案. 【解答】解:由题意可得 = (3+4+5+6+7)=5, = (4+2.5﹣0.5+0.5﹣2)=0.9, ∵回归方程为 =bx+a.若 a=7.9,且回归直线过点(5,0.9),

∴0.9=5b+7.9,解得 b=﹣1.4, ∴x 每增加 1 个单位,y 就减少 1.4 个单位, 故选:B. 【点评】本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算和回归方程的性质,属基础题.

4.执行如图所示的算法,则输出的结果是(



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A.1

B.

C.

D.2

【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,M,S 的值,当 S=1 时,满足条件 S∈Q, 退出循环,输出 S 的值为 1. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=2 n=3,M= ,S=

不满足条件 S∈Q,n=4,M= ,S=

+

不满足条件 S∈Q,n=5,M= ,S=

+

+

=1

满足条件 S∈Q,退出循环,输出 S 的值为 1. 故选:A. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结 论,属于基础题.

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5.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其 中 A,B 两点之间的距离 为 5,则 f(x)的递增区间是( )

A.[6k﹣1,6k+2](k∈z) B.[6k﹣4,6k﹣1](k∈z) C.[3k﹣1,3k+2](k∈z) D.[3k﹣4,3k ﹣1](k∈z) 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】由图象可求函数 f(x)的周期,从而可求得 ω,继而可求得 φ,利用正弦函数的单调性即 可求得 f(x)的递增区间. 【解答】解:|AB|=5,|yA﹣yB|=4, 所以|xA﹣xB|=3,即 =3, 所以 T= =6,ω= ;

∵f(x)=2sin( 即 2sin( ∴sin( ∵0≤φ≤π, ∴ +φ= ,

x+φ)过点(2,﹣2),

+φ)=﹣2, +φ)=﹣1,

解得 φ= 由 2kπ﹣

,函数为 f(x)=2sin( ≤ x+ ≤2kπ+ ,

x+

),

得 6k﹣4≤x≤6k﹣1, 故函数单调递增区间为[6k﹣4,6k﹣1](k∈Z). 故选 B

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【点评】本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查复合三角函数的单调性,属于 中档题.

6.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,﹣1),B(π,﹣1),C(π,1),D(0, 1),正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】利用定积分计算公式,算出曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域包含在区域 D 内的图形面积 为 S=2π,再由定积分求出阴影部分的面积,利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率. 【解答】解根据题意,可得曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域, 其面积为 (sinx﹣cosx)dx=(﹣cosx﹣sinx)| =1﹣(﹣ )=1+ ;

又矩形 ABCD 的面积为 2π, 由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是 故选 B. 【点评】本题给出区域和正余弦曲线围成的区域,求点落入指定区域的概率.着重考查了定积分计 算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识,属于中档题. ;

7.六名大四学生(其中 4 名男生、2 名女生)被安排到 A、B、C 三所学校实习,每所学校 2 人, 且 2 名女生不到同一学校,也不到 C 学校,男生甲不到 A 学校,则不同的安排方法共有( A.9 种 B.12 种 C.15 种 D.18 种 【考点】排列、组合及简单计数问题.
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【专题】计算题. 【分析】由题意确定 2 名女生在 A、B 学校个一人,A、B 学校选男生个一人,C 学校 2 名男生,然 后求解即可. 【解答】解:因为六名大四学生(其中 4 名男生、2 名女生)被安排到 A、B、C 三所学校实习,每 所学校 2 人,且 2 名女生不到同一学校,也不到 C 学校,男生甲不到 A 学校, 所以 2 名女生在 A、B 学校各一人,A、B 学校选男生各一人,C 学校 2 名男生, 不同的安排方法: 故选 D. 【点评】本题考查排列组合的综合应用,注意有限制条件的排列组合问题的处理方法,有限制条件 需要首先安排的原则. =18 种.

8.设不等式组

,表示的平面区域为 D,若圆 C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)经过区

域 D 上的点,则 r 的取值范围是( A.[2 ,2 ] B.(2 ,3

) ] C.(3 ,2 ] D.(0,2 )∪(2 ,+∞)

【考点】简单线性规划;圆的标准方程. 【专题】数形结合. 【分析】由约束条件作出可行域,求出圆 C:(x+1)2+(y+1)2=r2 的圆心坐标,数形结合可得 r 的取值范围.

【解答】解:由约束条件

作出平面区域如图,

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由 C:(x+1)2+(y+1)2=r2,得圆心 C(﹣1,﹣1), 联立 ,得 A(1,1),

联立

,得 B(2,2),

联立

,得 D(1,3). , .

由图可知,半径 r 的最小值为|OA|= 半径 r 的最大值为|OD|= 故选:A.

【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,关键是正确作出可行域, 是中档题.

9.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于(



A.

B.

C.1

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,根据三视图判断相关几何量的数据,把数据代入 棱柱与棱锥的体积公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥, 其中三棱柱的高为 2,底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, 三棱锥的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, ∴几何体的体积 V= ×1×1×2﹣ × ×1×1×2= . 故选:A.
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【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何 量是解题的关键.

10.已知四面体 P﹣ABC 中,PA=4,AC=2 的内切球半径与外接球半径的比( A. B. C. D. )

,PB=BC=2

,PA⊥平面 PBC,则四面体 P﹣ABC

【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】确定△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形,分别求出四面体 P﹣ABC 的内切球半径 与外接球半径,即可得出结论. 【解答】解:由题意,已知 PA⊥面 PBC,PA=4,PB=BC=2 所以,由勾股定理得到:AB=2 ,PC=2 ,AC=2

所以,△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形 等边三角形 PBC 所在的小圆的直径 PD= 那么,四面体 P﹣ABC 的外接球直径 2R= VP﹣ABC= S△ PBC?PA= ? 表面积 S= ?2 ?4?2+ ?12?4=4 ?12+ ?2 = ?16 ?5=16 r,所以 r= , =4 =4 ,所以,R=2

设内切球半径为 r,那么 4

所以四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径的比 故选:C.

=



【点评】本题考查四面体 P﹣ABC 的内切球半径与外接球半径,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

11.设函数 f(x)=(x﹣a)2+(lnx2﹣2a)2,其中 x>0,a∈R,存在 x0 使得 f(x0) 实数 a 值是( A. B. ) C. D.1
第 14 页(共 31 页)

成立,则

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】数形结合;导数的综合应用. 【分析】把函数看作是动点 M(x,lnx2)与动点 N(a,2a)之间距离的平方,利用导数求出曲线 y=2lnx 上与直线 y=2x 平行的切线的切点, 得到曲线上点到直线距离的最小值, 结合题意可得只有切 点到直线距离的平方等于 ,然后由两直线斜率的关系列式求得实数 a 的值. 【解答】解:函数 f(x)可以看作是动点 M(x,lnx2)与动点 N(a,2a)之间距离的平方, 动点 M 在函数 y=2lnx 的图象上,N 在直线 y=2x 的图象上, 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离, 由 y=2lnx 得,y'= =2,解得 x=1, ∴曲线上点 M(1,0)到直线 y=2x 的距离最小,最小距离 d= 则 f(x)≥ , 根据题意,要使 f(x0)≤ ,则 f(x0)= ,此时 N 恰好为垂足, 由 kMN= 故选:A. 【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率,考查了数形结合和数学转化思想方法,训 练了点到直线的距离公式的应用,是中档题. ,解得 a= . ,

12.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为( A.1 B. C.3 D.4



【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理. 【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出 x3 项的系数为 20,得到 ab 关系,然后利用基本不 等式求解最小值即可. 【解答】解:(ax2+ )6 的展开式的通项公式为 Tr+1= ?a6﹣r?br?x12﹣3r, ?a4?b2=20,

令 12﹣3r=3,求得 r=2,故(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 ∴a4?b2= ,即 b2= ,
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∴a2+b2 =a2+ 故选:B.

=

+

+

≥3

=

,当且仅当 a6= 时等号成立.

【点评】本题考查二项式定理的应用,基本不等式的应用,考查计算能力.

13.在△ ABC 中,C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 A.2 B.3 C.4 D.6

等于(



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】由 义,求出 ? ? =( 的值. ,△ ABC 是等腰直角三角形, + =0+ | |?| |cos45°= ×3 ×3× =3, )? ,再利用向量 和 的夹角等于 45°,两个向量的数量积的定

【解答】解:由题意得 AB=3 ? =( )? =

故选 B. 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,注意向量 和 的夹角等于 45°这一条件的运用.

14.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x),f(﹣2)=﹣3,数列{an}满 足 a1=﹣1,且 =2× +1,(其中 Sn 为{an}的前 n 项和).则 f(a5)+f(a6)=( D.2 )

A.﹣3 B.﹣2 C.3

【考点】数列与函数的综合;函数的周期性. 【专题】综合题;压轴题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 【分析】先由函数 f(x)是奇函数,f( ﹣x)=f(x),推知 f(3+x)=f(x),得到 f(x)是以 3 为周期的周期函数.再由 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,推知 a5=﹣31,a6=﹣63 计算即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∵f( ﹣x)=f(x), ∴f( ﹣x)=﹣f(﹣x)
第 16 页(共 31 页)

∴f(3+x)=

=﹣f(

)=﹣f[

]=﹣f(﹣x)=f(x)

∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. ∵数列{an}满足 a1=﹣1,且 ∴a1=﹣1,且 Sn=2an+n, ∴a5=﹣31,a6=﹣63 ∴f(a5)+f(a6)=f(﹣31)+f(﹣63)=f(2)+f(0)=f(2)=﹣f(﹣2)=3 故选 C. 【点评】本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式,在函数性质综合应用中 相互结合转化中奇偶性,对称性和周期性之间是一个重点. =2× +1,

二、填空题(共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 15.过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: + =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若

M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为﹣ ,即可求出椭圆 C 的离心率.

【解答】解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ∵M 是线段 AB 的中点, ∴ =1, =1,

①,

②,

∵直线 AB 的方程是 y=﹣ (x﹣1)+1, ∴y1﹣y2=﹣ (x1﹣x2), ∵过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: 线段 AB 的中点, + =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,M 是

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∴①②两式相减可得 ∴a= ∴ ∴e= = . . b, =b,

,即



故答案为:

【点评】本题考查椭圆的离心率,考查学生的计算能力,正确运用点差法是关键.

16.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 结论: ①函数 f(x)的值域为[0,1]; ②函数 f(x)的图象是一条曲线; ③函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数; ④函数 g(x)=f(x)﹣a 有且仅有 3 个零点时 其中正确的序号为 ④ . 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用. .

(x>0),则给出以下四个

【分析】通过举特例,可得①、②、③错误;数形结合可得④正确,从而得出结论. 【解答】解:由于符号[x]表示不超过 x 的最大整数,函数 f(x)= 取 x=﹣1.1,则[x]=﹣2,∴f(x)= 由于当 0<x<1,[x]=0,此时 f(x)=0; 当 1≤x<2,[x]=1,此时 f(x)= ; 当 2≤x<3,[x]=2,此时 f(x)= ,此时 <f(x)≤1, 当 3≤x<4,[x]=3,此时 f(x)= ,此时 <g(x)≤1, 当 4≤x<5,[x]=4,此时 f(x)= ,此时 <g(x)≤1, 故 f(x)的图象不会是一条曲线,且 f(x)不会是(0,+∞)上的减函数,故排除②、③.
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(x>0),

>1,故①不正确.

函数 g(x)=f(x)﹣a 有且仅有 3 个零点时,函数 f(x)的图象和直线 y=a 有且仅有 3 个交点, 此时, 故答案为:④. ,故④正确,

【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,体现了化归与转化、数形结合的数学思想, 属于基础题.

三、解答题(共 8 小题,满分 92 分) 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,求△ ABC 的周长的最大值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知等式可得 sinB=2sinBcosA, sinB≠0,解得: ,又结合范围 A∈(0,π),即可求 A 的值; ,从而化简 a+b+c=6sin(B+ )+3,结合 B 的 .

(2)由(1)及正弦定理可解得: 范围,利用正弦函数的图象和性质即可得解. 【解答】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵ ∴acosC=2bcosA﹣ccosA, ,

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∴acosC+ccosA=2bcosA, ∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, ∴sin(A+C)=2sinBcosA,sinB≠0, ∴解得: 所以 A= ,又 A∈(0,π), .….5 分 ,

(2)∵由(1)及正弦定理可解得:

…10 分

所以当

时,周长最大为 9.…12 分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,三角形内角和定理,考查了正弦函 数的图象和性质,熟练掌握公式及定理是解题的关键,属于中档题.

18.某高校经济管理学院在 2014 年 11 月 11 日“双 11 购物节”期间,对[25,55]岁的人群随机抽取了 100 人进行调查, 得到各年龄段人数频率分布直方图. 同时对这 100 人是否参加“商品抢购”进行统计, 结果如下表: (1)求统计表中 a 和 p 的值; 50]内的参加“商品抢购”的人群中, (2) 从年龄落在 (40, 采用分层抽样法抽取 6 人参加满意度调查, 在抽取的 6 人中,有随机的 2 人感到“满意”,设感到“满意”的 2 人中年龄在(40,45]内的人数为 X, 求 X 的分布列和数学期望. (3)通过有没有 95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于 40 岁”有关?说明你的理由. 组数 第一组 第二组 [30,35) 第三组 [35,40)
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分组 [25,30)

抢购商品的人数 12 18

占本组的频率 0.6 p

10

0.5

第四组 [40,45) 第五组 [45,50) 第六组 [50,55) 附: K2= P(χ2≥k) k 2.706 3.841 0.100 0.050

a

0.4

3

0.3

1

0.2

0.010

0.001

6.635

10.828

【考点】独立性检验的应用. 【专题】应用题;概率与统计. 【分析】(1)根据频率、频数与样本容量的关系,利用频率分布直方图和频率分布表,求出 a、p 的值; (2)依题意,求出 X 的可能取值,计算对应的概率,即得 X 的分布列,计算数学期望值 E(X); (3)画出 2×2 列联表,计算观测值 K2,对照数值表即可得出统计结论. 【解答】解:(1)因为总人数为 100, 所以在[40,45)岁的人数为 100×5×0.03=15, 所以 a=15×0.4=6; 因为年龄在[30,35)岁的人数的频率为 1﹣5×(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)=0.3, 所以年龄在[30,35)岁的人数为 100×0.3=30, 所以 p= =0.6;
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(2)依题意,抽取年龄在[40,45)岁之间 4 人,抽取年龄在[45,50)岁之间 2 人, X 可以取 0,1,2; P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ;

所以 X 的分布列为 X P 所以 E(X)=0× +1× +2× = ; 0 1 2

(3)可得 2×2 列联表为 年龄在 40 以下 参加抢购 未参加抢购 合计 计算 K2= 40 30 70 , 年龄不在 40 以下 10 20 30 合计 50 50 100

因此有 95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于 40 岁”有关. 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,也考查了独立性检验的应用 问题,是综合性题目.

19.在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD= BC,∠ABC=60°,N 是 BC 的中点.将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图). (Ⅰ)求证:AC⊥平面 ABC′; (Ⅱ)求证:C′N∥平面 ADD′; (Ⅲ)求二面角 A﹣C′N﹣C 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
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【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(Ⅰ)由梯形的性质和 N 是 BC 的中点可得四边形 ANCD 是平行四边形,得到 AN=DC; 利用等腰梯形可得 AN=AB,又∠ABC=60°,得到△ ABN 是等边三角形,于是 AN=BN=NC,由出可 得△ ABC 是直角三角形,即 AC⊥AB,再利用面面垂直的性质即可得到结论; (Ⅱ)由已知可得:AD∥BC,AD′∥BC′,利用面面平行的判定定理即可得出; (Ⅲ)如图所示的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用法向量的夹角即可得到二面角的 一余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:∵ ∴AD=NC,又 AD∥BC, ∴四边形 ANCD 是平行四边形,∴AN=DC. 又∵等腰梯形,∴AN=AB. 又∠ABC=60°, ∴△ABN 是等边三角形. ∴ , ,N 是 BC 的中点,

∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°. ∴AC⊥AB. ∵平面 C′BA⊥平面 ABC, ∴AC⊥平面 ABC′. (Ⅱ)证明:∵AD∥BC,AD′∥BC′, AD′∩AD=A,BC∩BC′=B, ∴平面 ADD′∥平面 BCC′, ∴C′N∥平面 ADD′. (Ⅲ)∵AC⊥平面 ABC′, 同理 AC′⊥平面 ABC,建立如图如示坐标系 设 AB=1, 则 B(1,0,0),C 则 设平面 C′NC 的法向量为 , ,
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, .





,即



令 z=1,则 x=

,y=1,得



∵AC′⊥平面 ABC,∴平面 C′AN⊥平面 ABC. 又 BD⊥AN,平面 C′AN∩平面 ABC=AN, ∴BD⊥平面 C′AN, 设 BD 与 AN 交于点 O,O 则为 AN 的中点,O 所以平面 C′AN 的法向量 . .



=



由图形可知二面角 A﹣C′N﹣C 为钝角. 所以二面角 A﹣C′N﹣C 的余弦值为 .

【点评】熟练掌握等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形及直角三角形的判定与 性质、面面垂直与平行的判定及性质、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求空间角是解题 的关键.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为

:1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值;
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(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

最小时,求点 T 的坐标.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】(Ⅰ)由已知可得 ,由此能求出椭圆 C 的标准方程.

y2+4my (Ⅱ) (ⅰ) 设直线 PQ 的方程为 x=my+2. 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, 得 (m2+3) ﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能求出 t=3. (ⅱ)T 点的坐标为(3,﹣m). 时,T 点的坐标是(3,1)或(3,﹣1). 【解答】解:(Ⅰ)由已知可得 解得 a2=6,b2=2. 所以椭圆 C 的标准方程是 . , ,|PQ|= .由此能求出当 最小

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可得,F 点的坐标为(2,0). 由题意知直线 PQ 的斜率存在且不为 0, 设直线 PQ 的方程为 x=my+2. 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,



消去 x,得(m2+3)y2+4my﹣2=0,

其判别式△ =16m2+8(m2+3)>0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 , .

于是



设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为



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因为 TF⊥PQ,所以直线 FT 的斜率为﹣m,其方程为 y=﹣m(x﹣2). 当 x=t 时,y=﹣m(t﹣2),所以点 T 的坐标为(t,﹣m(t﹣2)), 此时直线 OT 的斜率为 ,其方程为 .

将 M 点的坐标为

代入





.解得 t=3.

(ⅱ)由(ⅰ)知 T 点的坐标为(3,﹣m). 于是 ,

=

=

=

=



所以

=

=

. 当且仅当 此时 故当 取得最小值 ,即 m=±1 时,等号成立, .

最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,﹣1).
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【点评】本题考查椭圆 C 的标准方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,查满足条件的点的坐 标的求法,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用.

21.设函数 g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R) (Ⅰ)当 m=1 时,求过点 P(0,1)且与曲线 y=g(x)﹣(x﹣1)2 相切的切线方程 (Ⅱ)求函数 y=g(x)的单调增区间 b, (Ⅲ) 若函数 y=g (x) 有两个极值点 a, 且 a<b, 记[x]表示不大于 x 的最大整数, 试比较 sin 与 cos[g(a)][g(b)]的大小. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方 程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)先求出曲线 y=lnx,设切点为(x0,lnx0),这样曲线的 斜率为 过点 P(0,1)的切线方程,再根据切线过切点即可求出 x0,从而求得切线方程. (Ⅱ)求 g′(x),解 g′(x)≥0,通过讨论 m 即可求得该函数的单调增区间. (Ⅲ)令 g′(x)=0,便得 2x2﹣2x+m=0,该方程的根便是 a,b,且 b= 并通过求 g′(b),判断 g′(x)的符号,从而判断该函数在( ,( <b<1), ,所以能表示出

)上的单调性,求得 g(b)的

取值范围,根据取值范围便能求得[g(b)];用同样的办法求出[g(a)],求出 sin (a)][g(b)],即可比较二者的大小. 【解答】解:(Ⅰ)曲线方程为 y=lnx,设切点为(x0,lnx0); 由 得切线的斜率 ,则切线方程为 ;

与 cos[g

∵切线过点 P(0,1),∴1﹣lnx0=﹣1,即 x0=e2; ∴所求切线方程为 e﹣2x﹣y+1=0. (Ⅱ)函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞), 令 g′(x)>0,并结合定义域得 2x2﹣2x+m>0; 对应一元二次方程的判别式△ =4(1﹣2m).
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①当△ ≤0,即 ②当

时,g′(x)≥0,则函数 g(x)的增区间为 (0,+∞); 时,函数 g(x)的增区间为 (0, . ,令 g′(x)=0 得 2x2﹣2x+m=0; ;

③当 m≤0 时,函数 g(x)的增区间为

(Ⅲ)

由题意知方程有两个不相等的正根 a,b(a<b),则

解得 0<

,解方程得

,则



又由 2b2﹣2b+m=0 得 m=﹣2b2+2b, 所以 g(b)=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+(﹣2b2+2b)lnb; . 当 所以 则[g(b)]=﹣1. 同理可求 a ∴ , ,故 g(a)的取值范围是 ,g(a)=a2﹣2a+1+(﹣2a2+2a)lna; ,即函数 g(a)是 上的减函数; 时,g′(b)>0,即函数 g(b)是 ,故 g(b)的取值范围是 上的增函数; .

则[g(a)]=﹣1 或[g(a)]=0; 当[g(a)]=﹣1 时, >cos([g(a)][g(b)]);

当[g(a)]=0 时,

<cos([g(a)][g(b)]).

【点评】本题考查函数在函数曲线上一点处的导数和过该点的切线的斜率的关系,函数导数的符号 和函数单调性的关系,函数的极值点和函数导数的关系.对于第三问,能正确求出 a,b 的取值范围 是求解本问的关键.

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22.如图,⊙O1 和⊙O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A、B、C 为切点,直线 DO1 与⊙O1 与 E、 G 两点,直线 DO2 交⊙O2 与 F、H 两点. (1)求证:△ DEF~△ DHG; (2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9:16,求 的值.

【考点】圆的切线的性质定理的证明;相似三角形的判定. 【专题】计算题;证明题. 【分析】(1)欲求证:△ DEF~△ DHG,根据 AD 是两圆的公切线得出线段的乘积式相等,再转化 成比例式相等,最后结合角相等即得; (2)连接 O1A,O2A,AD 是两圆的公切线结合角平分线得到:AD2=O1A×O2A,设⊙O1 和⊙O2 的 AD2=DF×DH, 半径分别为 9x 和 16x, 利用 AD2=DE×DG, 分别用 x 表示出 DE 和 DF, 最后算出 即可. 【解答】解:(1)证明:∵AD 是两圆的公切线, ∴AD2=DE×DG,AD2=DF×DH, ∴DE×DG=DF×DH, ∴ ,

又∵∠EDF=∠HDG, ∴△DEF∽△DHG. (2)连接 O1A,O2A, ∵AD 是两圆的公切线, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1O2 共线, ∵AD 和 BC 是⊙O1 和⊙O2 公切线,DG 平分∠ADB,DH 平分∠ADC, ∴DG⊥DH,∴AD2=O1A×O2A, 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 9x 和 16x,则 AD=12x,
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∵AD2=DE×DG,AD2=DF×DH, ∴144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x) ∴DE=6x,DF=4x,∴ .

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理的证明、相似三角形的判定,考查计算能力和逻辑推 理能力.

23.长为 3 的线段两端点 A,B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,

,点 P 的轨迹

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 为曲线 C. 以坐标原点为极点, 曲线 T 的极坐标方程为 ρ=﹣4sinθ. ( I)以直线 AB 的倾斜角 α 为参数,求曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)若 D 为曲线 T 上一点,求|PD|的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】数形结合;转化思想;坐标系和参数方程. 【分析】利用 即可把: ,

(1)设 P(x,y),由题设可知,则 ,即可得出参数方程; (2)利用

即可把曲线 T 的极坐标方程 ρ=﹣4sinθ 即 ρ2=﹣4ρsinθ,化为直角坐标方程,

再利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出. 【解答】解:(1)设 P(x,y),由题设可知,则 , ,

∴曲线 C 的参数方程为

(α 为参数,

).

(2)由曲线 T 的极坐标方程为 ρ=﹣4sinθ,化为 ρ2=﹣4ρsinθ, 可得:直角坐标方程为 x2+y2=﹣4y,即 x2+(y+2)2=4,是圆心为 A(0,﹣2)半径为 2 的圆, 故|PA|2=(﹣2cosα)2+(sinα+2)
2

=4cos2α+sin2α+4sinα+4= 时,|PA|取得最大值 .





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∴|PD|的最大值为

+2.

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、圆的标准方程、两点之间的 距离公式、三角函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

24.(选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 【考点】不等式的证明;带绝对值的函数. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】(Ⅰ)将函数写成分段函数,再利用 f(x)<4,即可求得 M; (Ⅱ)利用作差法,证明 4(a+b)2﹣(4+ab)2<0,即可得到结论.

【解答】(Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|=

当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2).… (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2, ∵4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)=(a2﹣4)(4﹣b2)<0, ∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.… 【点评】本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分 段函数,利用作差法证明不等式.

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