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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第1节 不等关系与不等式


第一节

不等关系与不等式

[主干知识梳理] 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系

a-b>0? a>b ;a-b=0? a=b ;a-b<0? a<b .

二、不等式的基本性质
性质 对称性 性质内容 a>b? b<a 注意 ?

传递性

/>
a>b,b>c? a>c

?

可加性

a>b? a+c>b+c

?

a>b? ? ?? ac>bc c>0 ? ? 可乘性 a>b? ? ?? ac<bc c<0 ? ? c 的符号

同向可加性

a>b? ? ??a+c>b+d c >d ? ?

?

同向同正 可乘性

a>b>0? ? ?? ac>bd c>d>0 ? ?

?

可乘方性

a>b>0? an>bn (n∈N,n≥2) a>b>0? a> b (n∈N,n≥2) n n

同正

可开方性

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)下列命题正确的是 ( A.若 ac>bc?a>b B.若 a2>b2?a>b )

1 1 C.若 > ?a<b a b D

D.若 a< b?a<b

2.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值
( A.大于0 C.小于0 B.等于0 D.不确定 )

A [由a<0,ay>0知y<0,

又x+y>0,所以x>0.故x-y>0.]

3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”


( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

C [当a>0且b>0时,一定有a+b>0且ab>0.

反之,当a+b>0且ab>0时,一定有a>0,b>0.
故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.]

1 4. ________ 3+1(填“>”或“<”). 2-1 解析 答案 < 1 = 2+1< 3+1. 2-1

5.已知a,b,c∈R,有以下命题: ①若a>b,则ac2>bc2;

②若ac2>bc2,则a>b;
③若a>b,则a·2c>b· 2c. 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上). 解析 ①若c=0则命题不成立. ②正确.

③中由2c>0知成立.
答案 ②③

[关键要点点拨]

1.使用不等式性质时应注意的问题:
在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不 可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加, “同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中“c的 符号”等也需要注意.

2.作差法是比较两数(式)大小的常用方法,也是证明不等式
的基本方法.要注意强化化归意识,同时注意函数性质 在比较大小中的作用.

比较两个数(式)的大小

[典题导入] 已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比 S3 S5 较 与 的大小. a3 a5 S3 S5 [听课记录] 当 q=1 时, =3, =5, a3 a5 S3 S5 所以 < ; a3 a5

当 q>0 且 q≠1 时,
3 5 2 3 5 S3 S5 a1(1-q ) a1(1-q ) q (1-q )-(1-q ) - = - = a3 a5 a1q2(1-q) a1q4(1-q) q4(1-q)

-q-1 S3 S5 = <0,所以 < . q4 a3 a5 S3 S5 综上可知 < . a3 a5

[互动探究] 若本例中“q>0”改为“q<0” ,试比较它们的大小. S3 S5 -q-1 解析 由例题解法知当 q≠1 时, - = . a3 a5 q4 S3 S5 S3 S5 当-1<q<0 时, - <0,即 < ; a3 a5 a3 a5 S3 S5 S3 S5 当 q=-1 时, - =0, 即 = ; a3 a5 a3 a5 S3 S5 S3 S5 当 q<-1 时, - >0,即 > . a3 a5 a3 a5

[规律方法]
比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键 是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成 积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差.

(2)作商法:

一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结
论. (3)特值法: 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题, 可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.

[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得
出相反的结论.

[跟踪训练] 1.已知实数a、b、c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+ a2,则a、b、c的大小关系是

(
A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b

)

A [c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0, ∴c≥b.将题中两式作差得 2b=2+2a2,即 b=1+a2. ∵1+a
2

? 1? ? ?2 3 -a=?a-2? + >0,∴1+a2>a. 4 ? ?

∴b=1+a2>a.∴c≥b>a.]

不等式的性质 [典题导入] (1)(2014·北京西城模拟)已知a,b∈R,下列四个条件

中,使a>b成立的必要而不充分的条件是
( A.a>b-1 C.|a|>|b| B.a>b+1 D.2a>2b )

[听课记录] 由 a>b?a>b-1, 但由 a>b-1 不能得出 a>b, ∴a>b-1 是 a>b 成立的必要而不充分条件; 由 a>b+1?a>b,但由 a>b 不能得出 a>b+1,

∴a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件; 易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件;

a>b是2a>2b成立的充分必要条件.故选A.
答案 A

(2)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc; a b ② + <0;③a-c>b-d;④a· (d-c)>b(d-c)中成立的个数是 d c ( A.1 C.3 B.2 D.4 )

[听课记录] ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,故②正确. d c cd

∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确,故选 C.
答案 C

[规律方法]
1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命 题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质, 并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要 用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质. 2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题 真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的

感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该
命题为假命题.

[跟踪训练] 2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是 ( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 a<b<0,则 a2>ab>b2 1 1 C.若 a<b<0,则 < a b b a D.若 a<b<0,则 > a b )

B [A 中,只有 a>b>0,c>d>0 时,才成立; B 中,由 a<b<0, 得 a2>ab>b2 成立; C,D 通过取 a=-2,b=-1 验证均不正确.]

不等式性质的应用

[典题导入] x x3 x3 已知 1≤lg ≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y y 3 y x ? ?1≤lg y≤2, [听课记录] 由? 变形, 3 x ?2≤lg ≤3 y ? ? ?1≤lg x-lg y≤2, 得? 1 2≤3lg x- lg y≤3, ? 2 ?

? 2b-a ? ? lg x= , ?lg x-lg y=a, 5 ? 令? 解得? 1 2b-6a 3lg x- lg y=b, ? ? 2 ? lg y= , ? 5 ? 2b-a 1 2b-6a 1 ∴lg =3lg x- lg y=3· - · 3 5 3 5 3 y 16 1 = b- a. 15 5 x3

1 1 ? 2 - ≤ - a ≤ - , ? ? 5 5 5 ?1≤a≤2, 由? 得? ? 16 ?2≤b≤3, ?32 16 ≤ b≤ . 5 ?15 15 26 16 1 26 ∴ ≤ b- a≤3,即 ≤ 15 15 5 15 ∴ 26 的取值范围是[ ,3]. 15 ≤3,

[规律方法] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两 点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等 式的性质时有可能扩大了变量的取值范围