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成才之路·北师大版数学必修1-3.2


成才之路· 数学
北师大版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
第三章 指数函数和对数函数

第三章

指数函数和对数函数

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第三章
§2 指数扩充及其运算性质

第三章

指数函数和对数函数

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课前自主预习

易错疑难辨析

课堂典例讲练

课后强化作业

第三章 第一章 § § 21

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课前自主预习

第三章 第一章 § § 21

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情境引入导学 指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初,荷兰工程师司 蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号,以后又有人将其扩展到 负指数,直到18世纪,英国数学家牛顿(Newton)开始用an表示 任意实数指数幂.现代工程技术的计算不再仅仅是乘法计算, 它还需要进行乘方、开方运算,科学技术中的许多变化和规律 都与指数的运算密切相关,因此指数幂问题成为科学家研究的

热点.那么,指数的概念是如何一步步扩充的呢?

第三章 第一章 § § 21

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知能自主梳理
1.分数指数幂 (1)给定正实数a,对于任意给定的整数m,n,存在唯一的 m a 的 n 次幂 ,记作 正实数b,使得bn=am,我们把b叫作____________ m ________ b=a n .它就是分数指数幂.

第三章 第一章 § § 21

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(2)整数指数幂与分数指数幂的联系与区别
整数指数 n 次方根 如果存在实数 x, 使得 xn
1 an m an

分数指数

a(a∈R,n>1 =_________________
____=

=________ a
m a =________ 1 m n m n =______ a

n

an
0

_____________ 且n∈N+) ,则 x 叫 作 a 的 n 次方根, _______________叫作

n

1(a≠0) a =________

求a的n次方根

把 a 开 n 次方,称作开 a- 方运算.

一般地,当 a>0,α 为任意实数值时,实数指数幂 aα 都有意义.
第三章 第一章 § § 21

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2.n次方根的性质

两个 相反数
n a

正数 n a

n

0=0

负数 n a

- a

n

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3.实数指数幂的运算法则 a>0,b>0,m,n∈R,则 (1)am·an=________ am+n ; amn ; (2)(am)n=________ (3)(ab)n=________. anbn

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预习效果展示
1.将 5 写成根式,正确的是( A. 5 3
2
3 2

) 3 5

B.

5 3 C. 2

D. 53

[答案] D [解析] 由分数指数幂与根式的互化可知D正确.

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2.b4=3(b>0),则 b 等于( A.3
4

)
1 4

B.3

C.43
[答案] B

D.35

[解析] 因为 b>0 且 b =3,所以 b= 3,即 b=3 .

4

4

1 4

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81 - 3.(625) 的值是(
1 4

) 5 B.3 25 D. 9

3 A.5 3 C.25

[答案] B
[解析] 81 - 625 54 5 (625) =( 81 ) =[(3) ] =3.
1 4 1 4 1 4

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4.把根式化为幂的形式: a2b3=__________.
[答案] a b
1 2 3 4

4

[解析]

4

a b =(a b ) =a b =a b .

2 3

2 3

1 4

2 4

3 4

1 2

3 4

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5. ?m-n?2=________.
? ?m-n ? ? ?n-m

[答案]

m≥n m<n
2

[解析]

?m-n?

? ?m-n =|m-n|=? ? ?n-m

?m≥n? . ?m<n?

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课堂典例讲练

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分数指数幂概念的理解
(1)(x-1) 中 x 的取值范围是________.
2

-1

(2)把下列各式中的 a(a>0)写成分数指数幂的形式: ①a3=54;②a3=(-2)8;③a-3=104m(m∈N+).

[思路分析] 根据分数指数幂的定义进行求解.

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[规范解答]

(1)由分数指数幂的意义可知

x-1>0,解得 x>1,故 x 的取值范围是{x|x>1}. (2)①因为 a3=54,所以 a=5 .
4 3

②因为 a3=(-2)8=28, 所以 a=2 ; ③因为 a-3=104m(m∈N+) 所以 a=10
-4m
3 8 3

1 =(10)

4m 3

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[规律总结] 分数指数幂 a 是一个实数,且 b=a ?bn =am,其中 a,b 均为正数,m,n∈Z,且 m,n 互素.

m n

m n

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用分数指数幂表示下列各式中的 b(b>0): (1)b5=32;(2)b4=(-3)2;(3)b-2=18.

[解析]
-1
2

(1)b=32 ;(2)b =(-3) =3 =9,所以 b=9 ;
1 2

1 5

4

2

2

1 4

1 (3)b=18 =(18) .

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分数指数幂的运算
求下列各式的值
? 7?0.5 ? 10?-2 -2 (1)?29? +0.1 +?227? 3 ? ? ? ?

37 -3π +48;
0

(2)(0.064)
? 3? (3)?-38? ? ?

-1
3

? 7?0 3 -4 ? ? - -8 +[(-2) ] 3 ? ?
-1
2

+16

-0.75

+|-0.01| ;

1 2

-2
3

+(0.002) -10( 5-2)-1+( 2- 3)0.

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[思路分析] 负化正、大化小,根式化分数指数幂,小数
化分数,是化简运算常用技巧.
[规范解答]
?25? 1 (1)原式=? 9 ?2 ? ? ?64? - 1 37 5 +0.12+?27? -3+48=3+ ? ?
2 3

9 37 100+16-3+48=100. (2)原式=0.4 1-1+(-2) 4+2 3+0.1
- - -

10 1 1 1 143 = 4 -1+16+8+10= 80 .

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(3)原式=(-1)
?27?-2 =? 8 ? 3 ? ?
1 2

-2
3

? 3?-2 ?3 ? 3 ? 8?

? 1 ?-1 +?500? 2 ? ?

10 - +1 5-2

+(500) -10( 5+2)+1

4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 .

[ 规律总结 ]

本例是利用分数指数幂的运算性质进行运

算,思路是利用分数指数幂的运算性质进行化简,直至计算出 最简结果. 这要求同学们一定在记准、 记熟运算性质的基础上, 结合问题灵活地进行运用.

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5 -2 - - - 化简:6a b ×(-3a )b 1÷ (4a b 3) . 5 -2 5 - - -1 -3 [解析] 原式=6a b ×(-3a b )÷ (4a b ) =-2a b
1 3 1 2 2 3 1 2

1 3

1 2

2 3

1 2

1 6

-3

÷ (4a b )

2 3

-3

1 2

5 - -3 =-4a b ÷ (a b- )
1 6 1 3 3 2

5 - - =-4a b
1 2

3 2

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根式的化简与求值

化简下列各式的值: (1) ?-2? ;(2) ?3-π?4; (3) a ;(4) ?x-4?4.
[思路分析] n 解答本题可根据 化简.

5

5

4

3

3

4

? ?a ?n为大于1的奇数? n a =? ? ?|a|?n为大于1的偶数?

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[规范解答] (1) ?-2?5=-2. (2)∵3-π<0, ∴ ?3-π?4=π-3. (3) a3=a. (4) ?x-4? 4
4

5

4

3

? ?x-4 =|x-4|=? ? ?4-x

?x≥4? . ?x<4?

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[规律总结] 准确认识根式记号 a (1)n∈N,且 n>1. n (2)当 n 为大于 1 的奇数时, a对任意 a∈R 都有意义,它 表示 a 在实数范围内唯一的一个 n 次方根( a)n=a. (3)当 n 为大于 1 的偶数时, a只有当 a≥0 时有意义,当 n a<0 时无意义, a(a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根, n n 另一个是- a,(± a) =a. (4)式子 an对任意 a∈R 都有意义(n>1,n∈N).
第三章 第一章 § § 21

n

n

n

n

n

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计算: xy2 xy 1· xy· (xy) 1.
- -

3

[解析] 原式=(xy2· x · y ) · (xy) · (xy)
1 2

-1
2

1 3

1 2

-1

=(x y ) (xy)

3 2

3 2

1 3

-1
2

1 1 =(xy)2· (xy)-2 =(xy)
1 2

-1
2

=(xy)0 =1.
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利用分数指数幂进行条件求值
已知 a +a =3,求下列各式的值.
2 1 2

-1

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)

.

[思路分析] 从已知条件中解出 a 值代入后进行求值,显 然很繁琐,我们设法利用整体之间联系去求解.

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[规范解答] (1)a +a- =3 将两边平方得 a1+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将上式平方,有 a2+a-2+2=49, ∴a2+a 2=47.


1 2

1 2

(3)由于 a -a =(a ) -(a )3 所以有
3 2

-3
2

1 2

3

-1
2

=a+a 1+1=8.


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[规律总结] (1)在该类求值化简中, 要注意式子的整体变 形,整体代换是数学重要的思想方法.同时对平方差,完全平 方,立方和,立方差,和立方等公式要熟练使用,起到化繁为 简、化难为易的效果. (2)本题也可将 a 作变元,设 a =t,首先用 t 表示因式然 后再化简关于 t 的因式.
1 2 1 2

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已知2x-2-x=2,则8x的值为________.
[答案] 7+5 2

[解析] 由已知条件可解得 2x= 2+1, 于是 8x=(2x)3=( 2+1)3=7+5 2.

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易错疑难辨析

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已知 ?x-8?2- ?x-10?2=2x-18 成立, 求x的 取值范围.

[错解] ∵ ?x-8?2=x-8, ?x-10?2=x-10, ∴原方程可转化为(x-8)-(x-10)=2x-18. 解得 x=10. ∴所求 x 的取值范围为 x=10.

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[辨析]

产生错误的原因是对根式(指数幂)的意义理解不

够. a2=a 只有在 a≥0 时才成立.
? ?a?a≥0?, 2 a =|a|=? ? ?-a?a<0?.

[正解] 当 x≥10 时, x-8>0, x-10≥0, 此时 ?x-8?2= x-8, ?x-10?2=x-10, ∴原方程可化为(x-8)-(x-10)=2x-18,解得 x=10,符 合题意. 当 8≤x<10 时,x-8≥0,x-10<0,此时 ?x-8?2=x-8, ?x-10?2=10-x,
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∴原方程可化为(x-8)-(10-x)=2x-18,该方程对任意 实数 x 都成立. 当 x<8 时, x - 8<0 , x - 10<0 ,此时 ?x-8?2 = 8 - x , ?x-10?2=10-x, ∴原方程可化为(8-x)-(10-x)=2x-18,解得 x=8,不 合题意. 综上所述,所求 x 的取值范围为 8≤x≤10.
[规律总结] 熟练掌握指数运算的性质及公式,是正确、 迅速地化简、求值的条件.
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