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6三角形的全等及相似


三角形的全等及相似 三角形的全等及相似 三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的 线段叫做三角形的边; 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点; 相邻两边所组成的角叫做三 角形的内角,简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫 做三角形的角平分线。

(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 (简称三角形的高) 。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质 在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性: (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 ,读作“三角形 三角形用符号“ ? ”表示,顶点是 A、B、C 的三角形记作“ ? ABC” ABC” 。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下: 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下: 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角 边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 (2)三角形三边关系定理及推论的作用: ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时,可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于 180°。

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推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 8、三角形的面积 三角形的面积=

1 ×底×高 2

等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论 1: 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。 即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。 推论 2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60°。 (2)等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角) ,但顶角可为钝角(或直角) 。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为 a,底边长为 b,则

b <a 2

④等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2 ∠B,∠B=∠C=

180° ? ∠A 2

2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论: 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对 等边) 。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平 形; 分顶角; 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条 线 2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它 边(平分这个边的对角) ,那么这个 们的交点与底边两端点距离相等。 三角形是等腰三角形 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底 平 分 边; 2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个 角的对边(平分对边) ,那么这个三 角形是等腰三角形; 等腰三角形判定 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角

2

线

们的交点到底边两端点的距离相等。

2、三角形中两个角的平分线相等,那么 这个三角形是等腰三角形。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分 边(平分这条边的对角) ,那么这个 底边; 三角形是等腰三角形; 线 2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们 2、有两条高相等的三角形是等腰三角 的交点和底边两端点距离相等。 形。 等边对等角 底的一半<腰长<周长的一半 等角对等边 两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫 做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻 两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示,读作“全等于” 。如△ABC≌△DEF,读作“三角形 ABC 全 等于三角形 DEF” 。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角 边”或“SAS” ) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边 角”或“ASA” ) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成 “边边边” “SSS”。 或 ) 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理(斜边、直角边定理) :有斜
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边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL” ) 4、全等变换 只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折 180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段 a,b 的长度分别为 m,n,那么就说这 a m = 两条线段的比是,或写成 a:b=m:n b n 在两条线段的比 a:b 中,a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做 成比例线段,简称比例线段 若四条 a,b,c,d 满足或 a:b=c:d,那么 a,b,c,d 叫做组成比例的项, a c = b d 线段 a,d 叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项,线段的 d 叫做 a,b,c 的第四 比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即 的比例中项。 2、比例的性质 (1)基本性质 ①a:b=c:d ? ad=bc ②a:b=b:c ? b = ac
2

a b = 或 a:b=b:c,那么线段 b 叫做线段 a,c b c

(2)更比性质(交换比例的内项或外项)

a c = ? b d

a b = (交换内项) c d d c = (交换外项) b a d b = (同时交换内项和外项) c a

(3)反比性质(交换比的前项、后项) :

a c b d = ? = b d a c
(4)合比性质:

a c a±b c±d = ? = b d b d
(5)等比性质:

a c e m a + c + e +L+ m a = = = L = (b + d + f + L + n ≠ 0) ? = b d f n b + d + f +L+ n b
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。

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推论: (1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比 例。 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边。 (2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三 边对应成比例。 相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读 作“相似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) 。 2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似。

用数学语言表述如下: ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系: (1)反身性:对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC; (2)对称性:若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC (3) 传递性: 若△ABC∽△A’B’C’, 并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’, 则△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定 (1)三角形相似的判定方法 ①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形相似 ③判定定理 1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。 ④判定定理 2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 ⑤判定定理 3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似 (2)直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 ③垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

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4、相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比 (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形 (1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫 做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数) (2)相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方

三角形的全等及相似练习 三角形的全等及相似练习 全等及相似 一、选择题 1.如图,直线 l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3 等于 ( A.55° B.60° C.65° ) D.70°

2.将一个有 45°角的 三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上,另一个顶点在 纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角,如图,则三 角板的最大边的长为 ( ) A.3 cm B.6 cm C.3 2 cm D.6 2 cm ( )

3.如图,AB∥EF∥CD,∠AB C=46°,∠CEF=154°,则∠BCE 等于

A. 23° B.16° C.20° D.26° 4.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,DE 过点 C,且 DE∥AB,若∠ACD=50°,则∠ B 的度数是 ( ) A.50° B.40° C.30° D.25°

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5.如果等腰三角形两边长是 6 cm 和 3 cm,那么它的周长是( ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm 或 12 cm D.15 cm 1.如图,在△ABC 中.D、E 分别是 AB、AC 的中点,若 DE=5,则 BC 等于 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边 OA、 OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合.过角尺 顶点 C 作射线 OC.由做法得△MOC≌△NOC 的依据是 ( ) A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS

4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O,若 AD=1, BC=3, 则 S 三角形 AOD/S 三角形 COB 的值为 ( )

1 1 1 1 B. C. D. 2 3 4 9 5.在△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,点 F 在 BC 边上,连接 DE、 DF、EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD 与△EDF 全等 ( ) A.EF∥AB B.BF=CF C.∠A=∠DFE D.∠B=∠DEF
A.

6.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA 7.如图,△ABC 中,BC=2,DE 是它的中位线,下面三个结论:①DE=1;②△ADE∽ △ABC;③△ADE 的面积 与△ABC 的面积之比为 1:4.其中正确的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 8.如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD 的是 ( ) A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC 9. 如图, 为线段 AB 上一点, 与 BC 交于点 E, P AD ∠CPD=∠A=∠B, 交 PD 于点 F, BC AD 交 PC 于点 G,则图中相似三角形有 ( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 10.如图,在□ABCD 中,E、F 分别是 AD、CD 边上的点,连接 BE、AF,它们相交于点 ( ) G,延长 BE 交 CD 的延长线于点 H.则图中相似三角形共有 A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对
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11.如图,正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD=3DE.将△ADE 沿 AE 对 折至△AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF 下列结论:①△ABG≌△AFG; ②BG=GC;③A G∥CF.其中正确结论 的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 二、填空题 9.如图,已知 CD 平分∠ACB,DE∥AC,∠1=30°,则∠2=_________度. 10.如图,在△ABC 中,点 P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=_______度.

11.如图,在△ABC 中,E 是 BC 上 的一点,EC=2BE,点 D 是 AC 的中点,设△ABC、 △ADF、 △BEF 的面积分别为 S△ABC、 △ADF、 △BEF, S△ABC=12, S△ADF-S△BEF S S 且 则 =______. 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,D、E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC=∠ E=60°.若 BE=6 cm,DE=2 cm,则 BC=______cm.

13. 如图, 在直角三角形 ABC 中, ∠ACB=90°, D 是斜边 AB 的中点, 点 DE⊥AC 于 E. 若 ED=2,CD=2 5 ,则 BE 的长为_______. 14.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2AD=2 3 , 点 E 是 BC 边的中点, △DEF 是等边三角形, 交 AB 于点 G, DF 则△BFG 的周长为______. 12.如图,已知梯形 ABCD,AD∥BC,对角线 AC,BD 相交于点 O,△AOD 与△BOC 的 面积之比为 1:9,若 AD=1,则 BC 的长是_______. 13. 如图, △ABC 中, DE∥BC, 分别交边 AB、 于 D、 两点. AD: DE AC E 若 AB=1: 则 3. △ADE 与△ABC 的面积比为______. 14. 如图, 是△ABC 的中位线, N 分别是 BD、 的中点, DE M、 CE MN=6, BC=_______. 则

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15.如图,两块完全相同的含 30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°;有以下 四个结论: ①AF⊥BC; ②△ADG≌△ACF; ③O 为 BC 的中点; ④AG: DE= 3 : 其 4. 中正确结论的序号是______.

三、解答题 15.如图,点 A、C、B、D 在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE =FC.

16. 如图, 在等腰三角形 ABC 中, ∠ABC=90°, 为 AC 边上中点, D 点作 DE⊥DF. D 过 交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4,FC=3,求 EF 的长 .

18.如图,△ABC 的边 BC 在直线 m 上,AC⊥BC,且 AC=BC,△DEF 的边 FE 也在直线 m 上,边 DF 与边 AC 重合,且 DF=EF. (1)在图(1)中,请你通过观察、思考、猜想并写出 AB 与 AE 所满足的数量关系和位置 关系; (不要求证明) (2)将△DEF 沿直线 m 向左平移到图(2)的位置时,DE 交 AC 于点 G,连接 AE,BG.猜 想△BCG 与△AC E 能否通过旋转重合?请证明你的猜想.

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19.已知:在△ABC 中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB,BD=BC,CD 交线段 AB 于点 E. (1)如图(1),当∠ACB=90°时,则线段 DE、CE 之间的数量关系为_____________. (2)如图(2),当∠ACB=120°时,求证:DE=3CE; (3)如图(3),在(2 )的条件下,点 F 是 BC 边的中点,连接 DF,DF 与 AB 交于点 G,△ DKG 和△DBG 关于直线 DG 对称(点 B 的对称点是点 K),延长 DK 交 AB 于点 H.若 BH=10,求 CE 的长.

17.如图,在□ABCD 中,分别延长 BA、DC 到点 E、H,使得 AE=AB,CH=CD.连接 EH,分别交 AD、BC 于点 F、G.求证:△AEF≌△CHG.

18.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,延长 CB 到点 E,使 BE=AD,连接 DE 交 AB 于 点 M. (1)求证:△AMD≌△BME; (2)若 N 是 CD 的中点,且 MN=5,BE=2,求 BC 的长.

19.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 中点,AE 的延长线与 DC 的延长线相交于点 F. (1)证明:∠DFA=∠FAB; (2)证明:△ABE≌△FCE.

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