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第54届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二


第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二
第一天 2013 年 3 月 18 日上午 8:00-12:30 1、对整数 k ≥ = 2 ,设 Tn

y ) | x, y {( x, =

0,1,? , k ? 1} 为直角坐标平面内的 k 2 个点组成

的集合,将 Tk 中的点对之间的所有不同距离从大到小记为

d1 (k ) > d 2 (k ) > ? .
令 Si (k ) 为 Tk 中距离等于 di (k ) 的无序点对的个数. 证明:若正整数 m > n > l ,则 Si (m) = Si (n) .

2、 证明: 存在正常数 K 及严格递增的无穷正整数数列 {an } ,使得对任意正整数 n ,均有

an < K ? (1.01) n ,且数列 {an } 中的任意有限多个不同项之和不是完全平方数.

3、设 A 是平面内 6 个点组成的集合,记 n( A) 为经过 A 中至少 3 个点的单位圆的个数. 求 n( A) 得最大可能值.

第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二
第二天 2013 年 3 月 19 日上午 8:00-12:30
αk α1 α 2 4、设整数 N > 1的标准分解为 N = p1 ,记 p2 ? pk

? ( N ) = α1 + α 2 + ? + α k
设 a1 , a2 ,? , an 为正整数 , P ( x) = ( x + a1 )( x + a2 )? ( x + an ) . 已知对任 意正整数 k ,

?( P(k )) 均为偶数.证明: n 为偶数.

5、求具有下述性质的最大正整数 m :对全体正整数的任意一个排列 a1 , a2 , a3 ,? ,总存 在正整数 i1 < i2 < ? < im ,使得 ai1 , ai2 ,? , ain 构成公差为奇数的等差数列

6、 设 a0 , a1 ,? , an (n ≥ 1) 是非负实数,记 S k = 求证:

∑ C a , k = 0,1,? , n ,其中约定 C
i =0 i k i

k

0 0

= 1.

1 n ?1 2 1 ? n 4 ? 2 S k ? 2 ? ∑ S k ? ≤ ( S n ? S0 ) . ∑ n k 0= n ? k 0 ? 45 =

2



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