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福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


福建省厦门市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 48 分) 1. (5 分)已知 a>b,a≠0,b≠0,c∈R,c≠0 则下列不等式成立的是() A.a+c>b+c B.ac>bc C. > D.a >b
2 2

2. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+3(n≥2) ,则 a100 等于() A.297 B.298 C.299 D.300 3. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=30°,∠B=45°,BC= A. B. 2 C. 1 ,则 AC 等于() D.

4. (5 分)下列命题中,真命题是() A.?x∈R,x >0 2 B. ?x0∈R,x0 ﹣x0+1=0 C. 24 是 3 的倍数且是 9 的倍数 D.“若 b=0,则函数 f(x)=ax +bx+c 为偶函数”的逆否命题
2 2

5. (5 分)已知双曲线 等于() A.



=1 的右焦点到其渐近线的距离等于

,则该双曲线的离心率

B.

C. 2

D.

6. (5 分)如图,平行六面体 OABC﹣O′A′B′C′中,设 中点,用 , , 表示向量 ,则 等于()

= ,

= ,

= ,G 为 BC′的

A. +

+

B.

+

+

C.

+ +

D.

+ ﹣

7. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 27a2﹣a5=0,则 A.﹣27 B.10 C.27

等于() D.80

8. (3 分)已知 a>0,b>0,若不等式 + ≥ A.7 B. 8

恒成立,则 m 的最大值等于() C. 9 , D.10 )时,f(x1)<f(x2) ,则 x1,x2
2 2

9. (5 分)已知函数 f(x)=xsinx,当 x1,x2∈(﹣ 的关系是() A.x1>x2 B.x1+x2=0
2

C.x1<x2

D.x1 <x2

10. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,点 M(﹣1,0) ,不垂直于 x 轴的直线于抛物 线相交于 A,B 两点,若 x 轴平分∠AMB,则△ FAB 的面积的取值范围是() A. (2 ,+∞) B. 13. (5 分)已知空间三点 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ,则 角为. 14. (5 分)已知 a,b∈R,则“a=b”是“ 既不充分也不必要) 15. (5 分)如图,某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°,一条笔直公路 AB,其中 B 在 A 城南偏 东 40°,B 与 C 相距 31 千米.有一人从 B 出发沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处, 此时 C,D 之间的距离为 21 千米,则 A,C 之间的距离是千米. 与 的夹

=

”的条件. (充分不必要,必要不充分,充要,

16. (5 分)对各项均为正整数的数列{an},若存在正整数 m 和各项均为整数的数列{bn},满 足 (1)0≤bn<m; (2)m 是 an﹣bn 的约数; * (3)存在正整数 T,使得 bn+T=bn 对所有 n∈N 恒成立. 则称数列{an}为模周期数列, 其中数列{bn}称为数列{an}的模数列, T 叫做数列{bn}的周期. 已 知数列{an}是模周期数列,且满足:a1=1,an+1=2an+1,若 m=10,则一个可能的 T=.

三、解答题(共 6 小题) 17. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c,且 a=4,cosB= . (Ⅰ)若 b=3,求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 12,求 b 的值. 18. (12 分)某厂生产甲,乙两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表: 产品品种 劳动力(单位:个) 钢材(单位:千克) 电(单位:千瓦) 甲产品 3 9 4 乙产品 10 4 5 已知生产甲产品的利润是每吨 3 万元,生产乙产品的利润是每吨 5 万元,现因条件限制,该 厂仅有劳动力 300 个,钢材 360 千克,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该厂如何安排生 产,才能获得最大利润.

19. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA⊥底面 ABCD, BC=4, AB=PA=2, M 为线段 PC 的中点,N 在线段 BC 上,且 BN=1. (Ⅰ)证明:BM⊥AN; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.

20. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+1,曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx﹣1 有三个公共点,求 k 的取值范围.

3

2

21. (12 分)设点 A,B 的坐标分别为(﹣a,0) , (a,0) ,直线 AC,BC 相交于点 C,且它 们的斜率之积是﹣ (常数 a,b 为正实数) .

(Ⅰ)求点 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,P,Q 为轨迹 E 上的动点,且 OP⊥OQ,求 + 的值.

22. (12 分)下图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.这些三角形中的着色与未着 色的三角形的个数具有一定的规律.按图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)四个三角形的规律继续构建 三角形,设第 n 个三角形中包含 f(n)个未着色三角形.

(Ⅰ)求出 f(5)的值; (Ⅱ)写出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并由此求出 f(n)的表达式; (Ⅲ)设 . ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:

福建省厦门市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 48 分) 1. (5 分)已知 a>b,a≠0,b≠0,c∈R,c≠0 则下列不等式成立的是() A.a+c>b+c B.ac>bc C. > D.a >b
2 2

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: 利用不等式的基本性质,判定每一个选项中的不等式是否成立即可. 解答: 解:A.∵a>b,∴a+c>b+c,故 A 正确; B.当 c<0 时,不成立; C.取 a=2,b=1,满足 a>b,但 > 是不成立. D,取 a=1,b=﹣11,满足 a>b,但 a >b 不成立.
2 2

故选:A. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 2. (5 分)已知数列{an}满足 a1=1,an=an﹣1+3(n≥2) ,则 a100 等于() A.297 B.298 C.299 D.300 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知可知数列{an}是以 3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式即可求得 a100 的值. 解答: 解:由 an=an﹣1+3(n≥2) ,得 an﹣an﹣1=3(n≥2) , 即数列{an}是以 3 为公差的等差数列, 又 a1=1, ∴a100=1+(100﹣1)×3=298. 故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题. 3. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=30°,∠B=45°,BC= A. B. 2 C. 1 ,则 AC 等于() D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理可得 AC= 解答: 解:由正弦定理可得: 从而有:AC= = =2, ,代入已知即可求值. ,

故选:B. 点评: 本题主要考察了正弦定理的应用,属于基本知识的考查. 4. (5 分)下列命题中,真命题是() 2 A.?x∈R,x >0 2 B. ?x0∈R,x0 ﹣x0+1=0 C. 24 是 3 的倍数且是 9 的倍数 2 D.“若 b=0,则函数 f(x)=ax +bx+c 为偶函数”的逆否命题 考点: 命 题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用;简易逻辑. 2 分析: 由?x∈R,x ≥0,即可判断 A;运用二次方程的判别式,即可判断 B; 由倍数的概念即可判断 C; 运用函数的奇偶性的定义和图象以及互为逆否命题的等价性即可判 断 D. 2 解答: 解:对于 A.?x∈R,x ≥0,则 A 错;

对于 B.由于 x ﹣x+1=0,判别式为 1﹣4<0,方程无实数解,则 B 错; 对于 C.24 是 3 的倍数但不是 9 的倍数,则 C 错; 对于 D.若 b=0,则函数 f(x)=ax +bx+c 即为 f(x)=ax +c 为偶函数, 由原命题和逆否命题互为等价命题,则其逆否命题为真命题.则 D 对. 故选:D. 点评: 本题考查全称性和存在性命题的真假的判断,以及命题的四种形式和关系,考查函 数的奇偶性的判断,属于基础题和易错题.
2 2

2

5. (5 分)已知双曲线 等于() A.



=1 的右焦点到其渐近线的距离等于

,则该双曲线的离心率

B.

C. 2

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的焦点,渐近线方程,再由点到直线的距离公式解方程可得 m,再由离 心率公式计算即可得到. 解答: 解:设双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(c,0) ,

且 c=

, x, =|m|= ,

其渐近线方程为 y=

则右焦点到其渐近线的距离 则有 m =3, 即有 c= ,又 a=2, 则 e= = .
2

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式 及离心率的求法,属于基础题.

6. (5 分)如图,平行六面体 OABC﹣O′A′B′C′中,设 中点,用 , , 表示向量 ,则 等于()

= ,

= ,

= ,G 为 BC′的

A. +

+

B.

+

+

C.

+ +

D.

+ ﹣

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的加法运算,向量加法的平行四边形法则,以及平行六面体的边的关系即 可用 解答: 解: 表示出 . = = .

故选 C. 点评: 考查向量的加法运算,向量加法的平行四边形法则,以及平行六面体边的关系,相 等向量,相反向量的概念.

7. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 27a2﹣a5=0,则 A.﹣27 B.10 C.27

等于() D.80

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意易得等比数列的公比 q,再由求和公式代值计算可得. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, 3 则 27a2﹣a2q =0,解得 q=3, ∴ = ? =1+q =10
2

故选:B 点评: 本题考查等比数列的求和公式和性质,求出公比 q 是解决问题的关键,属基础题. 8. (3 分)已知 a>0,b>0,若不等式 + ≥ A.7 B. 8 恒成立,则 m 的最大值等于() C. 9 D.10

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: a>0,b>0,不等式 + ≥

恒成立,可得

,利用

“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a>0,b>0,不等式 + ≥ ∴ ∵ =5+ , =9,当且仅当 a=b=时取等号. 恒成立,

∴m 的最大值等于 9. 故选:C. 点评: 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质、 恒成立问题的等价转化方法, 属于基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)=xsinx,当 x1,x2∈(﹣ 的关系是() A.x1>x2 B.x1+x2=0 C.x1<x2 D.x1 <x2
2 2



)时,f(x1)<f(x2) ,则 x1,x2

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数 f(x)的奇偶性与单调性,再由 f(x1)<f(x2)得出正确的结论. 解答: 解:∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=xsinx=f(x) , ∴函数 f(x)=xsinx 是偶函数, 又 f′(x)=sinx+xcosx, ∴当 x∈时,f′(x)≥0,f(x)是增函数, ∴x∈时,f′(x)≤0,f(x)是减函数; 2 2 ∴f(x1)<f(x2)?f(|x1|)<f(|x2|)?|x1|<|x2|?x1 <x2 . 故选:D. 点评: 本题考查了函数的奇偶性与单调性 的应用问题,是综合性题目. 10. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,点 M(﹣1,0) ,不垂直于 x 轴的直线于抛物 线相交于 A,B 两点,若 x 轴平分∠AMB,则△ FAB 的面积的取值范围是() A. (2 ,+∞) B. 化为 t=﹣1. ∴|AB|= , = =
2

F(2,0)到直线 AB 的距离 d=

=



∴S△ FAB=

=

. (m≠0) . .

∴△FAB 的面积的取值范围是

故选:A.

点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、角平分线的性质、斜率计算公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、点 到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11. (5 分) 已知点 A (﹣2, 0) , B (2, 0) , P 是双曲线 ﹣y =1 上任意一点, 则|PA|﹣|PB|=±2
2



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,则 A,B 为双曲线的焦点,再由双曲线的定义,即可得到所 求值. 解答: 解:双曲线 ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,则 c=

=2,

则 A(﹣2,0) ,B(2,0)为双曲线的焦点, 由双曲线的定义可得,||PA|﹣|PB||=2a=2 . 则|PA|﹣|PB|=±2 . 故答案为:±2 . 点评: 本题考查双曲线的定义和方程,考查运算能力,属于基础题.

12. (5 分)不等式 2

> 的解集是{x|x<2 或 x>3}.

考点: 其他不等式的解法;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;转化思想;不等式的解法及应用. 分析: 直接利用指数函数的单调性,化简不等式,然后求解二次不等式即可. 解答: 解:因为指数函数 y=2 是增函数,所以 2
2 x

> 化为:x ﹣5x+5>﹣1,即

2

x ﹣5x+6>0,解得 x<2 或 x>3, 所以不等式的解集为:{x|x<2 或 x>3}, 故答案为:{x|x<2 或 x>3}. 点评: 本题考查指数函数的单调性的应用,二次不等式的解法,考查就算了转化思想的应 用.

13. (5 分)已知空间三点 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ,则 角为 .



的夹

考点: 空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由 A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) ,先分别求出 < >,求出 与 的夹角的余弦值, 由此能求出 与 的夹角. , ,再由 cos

解答: 解:∵A(0,2,3) ,B(﹣2,1,6) ,C(1,﹣1,5) , ∴ =(﹣2,﹣1,3) ,| =(1,﹣3,2) ,| ∴cos< >= |= |= = = = , = . ,





的夹角为 .



故答案为:

点评: 本题考查空间向量的夹角公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 14. (5 分)已知 a,b∈R,则“a=b”是“ 分,充要,既不充分也不必要) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 a=b<0,则 若 = ,则 ab≥0, <0, >0,则 = 不成立,

=

”的必要不充分条件. (充分不必要,必要不充

≥0,即 a≥0,b≥0, ) =0,
2

则 a+b=2 ,即( ﹣ 则 = ,即 a=b≥0, 故“a=b”是“ =

”的必要不充分条件,

故答案为:必要不充分 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据定义结合方程之间的关系是解决本 题的关键.

15. (5 分)如图,某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°,一条笔直公路 AB,其中 B 在 A 城南偏 东 40°,B 与 C 相距 31 千米.有一人从 B 出发沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处, 此时 C,D 之间的距离为 21 千米,则 A,C 之间的距离是 24 千米.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 先求出 cos∠BDC,进而设∠ADC=α,则 sinα,cosα 可求,在△ ACD 中,由正弦定 理即可求得 AC. 解答: 解:由已知得 CD=21,BC=31,BD=20, 在△ BCD 中,由余弦定理得 cos∠BDC= 设∠ADC=α,则 cosα= ,sinα= 在△ ACD 中,由正弦定理得 AC= , =24, =﹣ .

故答案为:24. 点评: 本题主要考查了解三角新的实际应用,考查余弦定理、正弦定理的运用.解题的关 键是利用正弦定理,利用边和角的关系求得答案. 16. (5 分)对各项均为正整数的数列{an},若存在正整数 m 和各项均为整数的数列{bn},满 足 (1)0≤bn<m; (2)m 是 an﹣bn 的约数; * (3)存在正整数 T,使得 bn+T=bn 对所有 n∈N 恒成立. 则称数列{an}为模周期数列, 其中数列{bn}称为数列{an}的模数列, T 叫做数列{bn}的周期. 已 知数列{an}是模周期数列,且满足:a1=1,an+1=2an+1,若 m=10,则一个可能的 T=4(或 8, 12,16…) . 考点: 数列的应用. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接计算出前几项的值,即可得出结果. 解答: 解:∵a1=1, an+1=2an+1, ∴a2=3,a3=7,a4=15,a5=31, a6=63,a7=127,a8=255,…

由题可知 b1=1,b2=3,b3=7,b4=5, b5=1,b6=3,b7=7,b8=5,… * 显然 T=4k (k∈N ) . 点评: 本题考查数列知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题) 17. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c,且 a=4,cosB= . (Ⅰ)若 b=3,求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 12,求 b 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知可求得 sinB 的值,由正弦定理代入已知即可求 sinA= (Ⅱ)由面积公式可得 的值.

,即解得 c 的值,从而由余弦定理可求 b 的值.

解答: 解: (Ⅰ)∵cosB= ,0<B<π, ∴sinB= 由正弦定理可得: = , ,又 a=4,b=3,

∴sinA=

=

= .

(Ⅱ)由面积公式,得 S△ ABC= acsinB, ∴ ,可解得:c=10.
2 2 2

由余弦定理,b =a +c ﹣2accosB=52,解得:b=2 . 点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用,属于基本知识 的考查. 18. (12 分)某厂生产甲,乙两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表: 产品品种 劳动力(单位:个) 钢材(单位:千克) 电(单位:千瓦) 甲产品 3 9 4 乙产品 10 4 5 已知生产甲产品的利润是每吨 3 万元,生产乙产品的利润是每吨 5 万元,现因条件限制,该 厂仅有劳动力 300 个,钢材 360 千克,并且供电局只能供电 200 千瓦, 试问该厂如何安排生 产,才能获得最大利润.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 根据条件建立约束条件,利用线性规划的知识进行求解即可. 解:设安排生产甲乙两种产品分别为 x 顿,y 顿,利润为 z 万元,

则由题意得约束条件为

,目标函数为 z=3x+5y,

由 z=3x+5y 得 y= 平移直线 y=

, ,则由图象可知当直线 y= 经过点 M 时直线 y= 的截距

最大, 此时 z=3×20+5×24=180 万元, 答:安排生产甲乙两种产品分别为 20 顿,24 顿,才能获得最大利润.最大利润为 180 万元.

点评: 本题主要考查生活中的优化问题,利用线性规划是解决本题的关键. 19. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA⊥底面 ABCD, BC=4, AB=PA=2, M 为线段 PC 的中点,N 在线段 BC 上,且 BN=1. (Ⅰ)证明:BM⊥AN;

(Ⅱ)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)以 A 为原点,分别以 坐标系 A﹣xyz,由 ? , , 的方向为 x,y,z 轴正方向建立空间直角

=0 即可证明 AN⊥BM. ,解得: ,取 y=1 得平面

(Ⅱ)设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,由

MBD 的一个法向量为 =(0,1,2) ,设直线 MN 与平面 PCD 所成的角为 θ,则 由向量的夹 角公式即可求得直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值. 解答: (本题满分 12 分) 解:如图,以 A 为原点,分别以 , , 的方向为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系 A﹣xyz, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,D(0,4,0) ,P(0,0,2) ,M(1,2,1) , N(2,1,0) ,…(3 分) (Ⅰ)∵ ∴ ∴ ? ⊥ =(2,1,0) , =0…(5 分) ,即 AN⊥BM…(6 分) =(﹣1,2,1) ,…(4 分)

(Ⅱ)设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,…(7 分) ∵ 由 =(2,4,﹣2) , ,可得 =(0,4,﹣2) , ,…(9 分)

解得:



取 y=1 得平面 MBD 的一个法向量为 =(0,1,2) ,…(10 分) 设直线 MN 与平面 PCD 所成的角为 θ,则由 =(﹣1,1,1) ,…(11 分)

可得:sinθ=|cos<

, >|=|

|=

=

…(12 分)

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角的求法,正确利用空 间向量的应用是解题的关键,属于基本知识的考查. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+1,曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y=4x﹣1. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx﹣1 有三个公共点,求 k 的取值范围. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 f′(1)=3+2a+b=4,f(1)=2+a+b=3,联立方程组解得 ab 可得; (Ⅱ)问题转化为 g(x)=x + +1 与 y=k 的交点问题,导数法判 g(x)的单调性,数形结合 可得. 3 2 2 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=x +ax +bx+1,∴f′(x)=3x +2ax+b, 由题意可得 f′(1)=3+2a+b=4,f(1)=2+a+b=3, 联立解得 a=0,b=1, 3 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=x +x+1; 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(x)=x +x+1,联立 y=kx﹣1 可得 x +(1﹣k)x+2=0, 易得 x=0 不是方程的解,故 k=x + +1,
2 2 2 3 2

设 g(x)=x + +1,则 g′(x)=2x﹣

=



令 g′(x)=0 可得 x=1, 可得当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递增; 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减; 当 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)<0,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减; ∴g(x)的大致图象如图所示,g(1)=4 是函数的极小值, 结合图象可知当 k>4 时,直线 y=k 和函数 g(x)恰有三个公共点, 即函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx﹣1 有三个公共点.

点评: 本题考查函数解析式的求解和导数法判函数的单调性,数形结合是解决问题的关键, 属中档题. 21. (12 分)设点 A,B 的坐标分别为(﹣a,0) , (a,0) ,直线 AC,BC 相交于点 C,且它 们的斜率之积是﹣ (常数 a,b 为正实数) .

(Ⅰ)求点 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,P,Q 为轨迹 E 上的动点,且 OP⊥OQ,求 + 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用直接法求点 C 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设 P(ρ1,θ) ,Q(ρ2,θ+ ) ,利用极坐标方程求: + 的值.

解答: 解: (Ⅰ)设 C(x,y) ,则由题意可得

=﹣



化简可得



(Ⅱ)

化为极坐标方程

=

设 P(ρ1,θ) ,Q(ρ2,θ+

) ,



+

=

+

=



点评: 本题考查轨迹方程,考查极坐标方程的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

22. (12 分)下图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.这些三角形中的着色与未着 色的三角形的个数具有一定的规律.按图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)四个三角形的规律继续构建 三角形 ,设第 n 个三角形中包含 f(n)个未着色三角形.

(Ⅰ)求出 f(5)的值; (Ⅱ)写出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并由此求出 f(n)的表达式; (Ⅲ)设 . ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:

考点: 数列与不等式的综合;归纳推理. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由图知 f(1)=0,f(2)=1,f(3)=4,f(4)=13,从而可得 f(5)的值; (Ⅱ)方法 1:由 f(2)﹣f(1)=1,f(3)﹣f(2)=3,f(4)﹣f(3)=9,f(5)﹣f(4) =27,归纳得:f(n+1)﹣f(n)=3 (n∈N ) ,利用叠加法,可求 f(n)的表达式; 方法 2:f(2)=3f(1)+1,f(3)=3f(2)+1,f(4)=3f(3)+1,f(5)=3f(4)+1,归纳 得:f(n+1)=3f(n)+1(n∈N ) ,从而可证数列 数列,即可求 f(n)的表达式; (Ⅲ)由 ,得
* n﹣1 *

是首项为 ,公比为 3 的等比

,进而可求数列{an}的前 n 项和 为 Sn,由此可证结论成立. 解答: 解: (Ⅰ)由图知 f(1)=0,f(2)=1,f(3)=1+3=4,f(4)=1+3+9=13,f(5) =1+3+9+27=40 (Ⅱ)方法 1:由 f(2)﹣f(1)=1,f(3)﹣f(2)=3,f(4)﹣f(3)=9,f(5)﹣f(4) =27 归纳得: f (n+1) ﹣f (n) =3
n﹣1

(n∈N ) ∴f (n) =f (1) +++…+=

*



方法 2:f(2)=3f(1)+1,f(3)=3f(2)+1,f(4)=3f(3)+1,f(5)=3f(4)+1 * 归纳得:f(n+1)=3f(n)+1(n∈N )

由 f(n+1)=3f(n)+1,可得 ∴数列 是首项为 ,公比为 3 的等比数列

∴ (Ⅲ)由

,即 ,得



. ∵3 ∴
n+1

≥9,∴

, .

点评: 本题考查归纳推理,考查数列通项的求解,考查数列的求和,考查学生阅读分析的 能力,综合性强.


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