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高二数学上学期期末复习题6(理科)答案


高二数学上学期期末复习题六(理科) (2013.12) 1.已知命题 q : ?x ? R ,x ? 1 ? 0 ,则 ?q 为(
2


2

x A ?x ? R , ? 1 ? 0
2

B ?x ? R , ? 1 ? 0 x

x C ?x ? R , ? 1 ? 0
2

x D ?x ? R , ? 1 ? 0
2

2.过点 P(?1, 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为( 2) A. 2 x ? y ? 4 ? 0
2 2

) D. x ? 2 y ? 3 ? 0

B. x ? 2 y ? 5 ? 0 )

C. x ? 2 y ? 3 ? 0

3. 双曲线 y ? x ? 2 的渐近线方程是( A y ? ?x B y ? ? 2x

C y ? ? 3x )

D y ? ?2 x

4.直线 3x ? y ? 1 ? 0 与 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是( A 相交 ? B 平行 C 重合? D 垂直

5.若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

2

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a 2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是(
2 2 2

① C1 和 C 2 一定没有公共点 ② a1 ? a 2 ? b1 ? b2 ③ A.②③④

a1 b1 ? ④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 a2 b2

B. ①③④ C.①②④ D. ①②③ ???? ? ???? ??? ? ??? ? 6.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c , 则 A1 B ? ( (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) ?a ? b ? c (D) ?a ? b ? c 7. “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 与 x ? y ? 1 平行”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 ( )



D 既不充分也不必要条件

8.已知直线 l 和不重合的两个平面 ? , ? ,且 l ? ? ,有下面四个命题: ①若 l ∥ ? , ? ∥ ? ; ②若 ? ∥ ? , l ∥ ? ; ③若 l ? ? , ? ? ? ; ④若 ? ? ? , 则 则 则 则 l ? ? 。其中真命题的序号是( )

A ①②

B ②③

C ②③④

D ①④ )

9.在空间直角坐标系中,点 A(2,3,5)与点B(3,1,4) 之间的距离为( A

122 ? B

6

C

10

D 6

10.已知长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , AD ? AA1 ? 1 ,则直线 BD1 与平面

BCC1 B1 所成角的正弦值为(
A



D1

C1 B1

3 B 3

2 2

C

6 3

1 D 2

A1

D A B

C

11.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上, a 2 b2
AF1 AF2 ? 5 ,则双曲线的离心率等于( 3
C )

且 AF2 ? x 轴,若 A 2

B 3

2

D

3

12.已知两定点 M (?1, 0), N (1, 0) ,若直线上存在点 P,使得 | PM | ? | PN |? 4 ,则该直 线为“A 型直线”.给出下列直线,其中是“A 型直线”的是( ① y ? x ?1 A ①④ ②y?2 B ①③
2 2

) ④ y ? ?2 x ? 3

③ y ? ?x ? 3 C ②③④ D ①③④

13.若直线 y ? x ? b 与圆 x ? y ? 2 相切,则 b 的值为 _________ 14. 直 线 (3a ? 2) x ? (1 ? 4a) y ? 8 ? 0和(5a ? 2) x ? (a ? 4) y ? 7 ? 0 互 相 垂 直 , 则

a =______.
2 15.在抛物线 y ? 2 px 上,横坐标为 2 的点到抛物线焦点的距离为 3 ,则 p ? ________.

16. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是_____________.

1
1 1

左视图 17.直线 3x ? y ? 6 ? 0 被圆:x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 _____________.
2 2

1

俯视图

1
2

1

主视图

18. 已知抛物线 C : y =4 x 的焦点为 F ,直线 y =2x ? 4 与 C 交于 A , B 两点,则
2

cos ?AFB= _____________.
19. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中心,

PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.
求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D
O

C

A

B

20.已知直线 l1 : 2 x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

21.如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 1 , PB ? PD ?

2 ,点

E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 .
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? E 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F , 使得 BF // 平面 ACE .

P

E

A B
C

D

0) 0) 22.已知平面内一点 P 与两个定点 F1 ( ? 3 , 和 F2 ( 3 , 的距离的差的绝对值为 2.
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 C ; (Ⅱ)设过 (0 , 2) 的直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原 ? 点) ,求直线 l 的方程.

参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 C 7 C 2 A 8 B 3 A 9 B 4 B 10 C 5 C 11 A 6 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答 错不给分.) 题号 答案 13 14 15 2 16 3+ 2 17 18

?2

0或1

10

?

4 5

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 19.(本小题满分 6 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, 所以 OE ∥ AP , 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD , 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , ?????5 分 ?????4 分 ?????3 分 ?????2 分

所以平面 PAC ? 平面 BDE . 20.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

?????6 分

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4 ,
?????2 分

4 所以直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标为 ? ?2 , ? .
(Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切, 所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 32 ? 4 2
2

?

15 ? 3, 5
2

?????4 分

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 .

?????6 分

21.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)正方形 ABCD 边长为 1, PA ? 1 , PB ? PD ?
?

2,

所以 ?PAB ? ?PAD ? 90 ,即 PA ? AB , PA ? AD , 因为 AB ? AD ? A , 所以 PA ? 平面 ABCD . ??????2 分

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点,直线 AB , AD , AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建

1 0) 立空间直角坐标系,则 AC ? (1 ,, , AE ? (0 , , ) .
由(Ⅰ)知 AP 为平面 ACD 的法向量,

????

??? ?

2 1 3 3

??? ?

z
P

??? ? AP ? (0 , , , 0 1)
设平面 ACE 的法向量为 n ? (a ,,) , b c 由 n ? AC , n ? AE ,

?

?

????

?

??? ?

F

E
D

A B x
C

y

?a ? b ? 0 , ? 得 ?2 1 ?3 b ? 3 c ? 0, ?
令 c ? 6 ,则 b ? ?3 , a ? 3 ,

? 6) 所以 n ? (3 , 3 , ,

?

??????4 分

? ? ??? ??? ? ? n ? AP 6 所以 cos ? AP , ?? ? ??? ? , n ? 3 n AP
即所求二面角的余弦值为

6 . 3
??? ?

??????5 分

1]) 1 ? ? ? (Ⅲ)设 PF ? ? PC (? ?[0 , ,则 PF ? ? (1 , , 1) ? (? , , ? ) , ??? ??? ??? ? ? ? BF ? BP ? PF ? (? ? 1, ,? ? ) , ? 1
若 BF // 平面 ACE ,则 BF ? n ,即 BF ? n ? 0 , (? ? 1, ,? ? ) ? (3 , 3 , ? 0 , ? 1 ? 6) 解得 ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ?

1 , 2

??????7 分

所以存在满足题意的点, 当 F 是棱 PC 的中点时, BF // 平面 ACE . 22.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点 P 的轨迹为双曲线, 其中 a ? 1 , c ? 3 ,则 b ?
2

??????8 分

c2 ? a2 ? 2 .
??????2 分

y2 =1 . 所以动点 P 的轨迹方程 C : x ? 2
(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.

y y 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) ,

? 2 y2 ? 1, ?x ? 2 2 由方程组 ? 得 ? 2 ? k ? x ? 4kx ? 6 ? 0 . 2 ? y ? kx ? 2 , ?
因为直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,

??????3 分

?2 ? k 2 ? 0 , ? 所以 ? 2 2 ? ? =(4k ) ? 4 ? (2 ? k ) ? ( ? 6)>0 , ?
即 ? 6<k < 6 且 k ? ? 2 . 由根与系数关系得 x1 ? x2 ?

(?)

??????4 分

?4k ?6 , x1 ? x2 ? , 2 2?k 2 ? k2

因为 y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , 所以 y1 y2 ? k x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2

??????5 分 ??????6 分

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
2

??? ??? ? ?

所以 1 ? k
2

?

2

? ? 2 ?6 ?k

2

? 2k ?

?4k ?4?0, 2 ? k2

即 k ? 1 ,解得 k ? ?1 ,由 (?) 式知 k ? ?1 符合题意. 所以直线 l 的方程是 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 由E ( ??????7 分

??? ? 9 3 ??? ? 9 3 17 ? ) , QE = ( , ) , , 可得 PE = ( , 0) 8 2 8 2 8 ??? ??? 81 3 33 ? ? 所以 PE ? QE = ? = , 64 4 64 ??? ??? ? ? 17 33 综上所述当 E ( , 时, PE ? QE 为定值 . 0) 8 64

?????7 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)



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