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2015-2016学年陕西省咸阳市西藏民族学院附中高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年陕西省咸阳市西藏民族学院附中高一(下)期末 数学试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}, .若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围

是( ) A. C. ∞ (﹣ ,3) B. (﹣2,3) (﹣∞,﹣2) D.[3,+∞) 2.从学号为 1 号至 50 号的高一某

班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系 统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2,4,6,8,10 D.4,13,22,31,40 3.已知 =(5,3) =( , =(4,2) ,则 ) A.26 B.22 C.14 D.2 4. 已知一个扇形的周长是 6cm, 该扇形的中心角是 1 弧度, 则该扇形的面积为 ( A.2 B.4 C.6 D.7 5.函数 A.x= B.x= 的图象的一条对称轴方程是( C. D. ) cm2. )

6.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据 的茎叶图,如图所示,则甲乙的中位数分别为( )

A.17 和 17 B.17 和 17.3 C.16.8 和 17 D.169 和 171.5 7.要得到函数 y=sin(2x﹣ 点( ) 个单位长度 个单位长度 B.向右平行移动 D.向右平行移动 个单位长度 个单位长度 , ) ,x∈R 的图象,只需将函数 y=sin2x,x∈R 图象上所有的

A.向左平行移动 C.向左平行移动

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 c2=(a﹣b)2+6,C= 则△ABC 的面积( A.3 B. ) C. D.3
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9.运行如图的程序框图,输出的第 4 个 y 是(



A.3 B.﹣1 C.0 D.﹣3 10.盒中有 10 个大小、形状完全相同的小球,其中 8 个白球、2 个红球,则从中任取 2 球, 至少有 1 个白球的概率是( ) A. B. C. D. )

11.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣1 D.0 12. 使函数 的一个值是( A. B. ) C. D. 是奇函数, 且在

上是减函数的 θ

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若 =(2,﹣2) ,则与 垂直的单位向量的坐标为______. 14.若 tanx= ,则 =______.

15.设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是______.

16.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)图象的一部分如图所示,其解析式为

______.

三、解答题

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17.已知 f(α)= (1)化简 f(α) ; (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α﹣ 18.已知向量 =(1,2) , =(x,1) . (1)若 ,求 x 的值; (2)若< , >为锐角,求 λ 的范围; (3)当( )⊥(2 )时,求 x 的值.



)= ,求 f(α)的值.

19.抛掷两颗骰子,计算: (1)事件“两颗骰子点数相同”的概率, (2)事件“点数之和小于 7”的概率, (3)事件“点数之和等于或大于 11”的概率. 20.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b 是方程 x2﹣2 两个根,且 2cos(A+B)=1,求: (1)∠C 的度数; (2)边 c 的长度. 21.已知函数 ,

x+4=0 的

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)图象的对称轴,对称中心. 22.已知向量 =(3,﹣4) , =(6,﹣3) , =(5﹣m,﹣(3+m) ) . (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值.

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2015-2016 学年陕西省咸阳市西藏民族学院附中高一 (下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}, .若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围

是( ) A. C. (﹣∞,3) B. (﹣2,3) (﹣∞,﹣2) D.[3,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,根据 A 与 B 的交 集不为空集确定出 m 的范围即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+2) (x﹣3)<0, 解得:﹣2<x<3,即 A=(﹣2,3) , 由 B 中 y= ,得到 x≥m,即 B=[m,+∞) ,

∵A∩B≠?, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,3) , 故选:A. 2.从学号为 1 号至 50 号的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系 统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2,4,6,8,10 D.4,13,22,31,40 【考点】系统抽样方法. 【分析】计算系统抽样的抽取间隔,由此可得答案. 【解答】解:系统抽样的抽取间隔为 =10,

由此可得所选 5 名学生的学号间隔为 10,由此判定 B 正确, 故选:B. 3.已知 =(5,3) =( , =(4,2) ,则 A.26 B.22 C.14 D.2 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】利用数量积的坐标表示即可得出. =5×4+3×2=26, 【解答】解: A 故选: . )

4. 已知一个扇形的周长是 6cm, 该扇形的中心角是 1 弧度, 则该扇形的面积为 ( A.2 B.4 C.6 D.7 【考点】扇形面积公式.
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cm2. )

【分析】由已知中,扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,我们可设计算出 弧长与半径的关系,进而求出弧长和半径,代入扇形面积公式,即可得到答案. 【解答】解:∵扇形圆心角 1 弧度,所以扇形周长和面积为整个圆的 弧长 l=2πr? =r .

故扇形周长 C=l+2r=3r=6cm ∴r=2cm 扇形面积 S=π?r2? 故选:A. =2cm2

5.函数 A.x= B.x=

的图象的一条对称轴方程是( C. D.



【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 【分析】根据和差公式化简原函数解析式可得,y=2sin(x+ 令 x+ =kπ+ π,反解出 x 即得答案. =2 ( sin + cos ) =2sin ( + ) , ) ,结合正弦函数的对称轴,

【解答】 解: 根据和差公式可得, 而 y=sinx 的对称轴为 y=kπ+ π,k∈Z, 令 + =kπ+ π, ,且 k∈Z,

可得 x=2kπ+ 显然 C 正确 故选 C

6.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据 的茎叶图,如图所示,则甲乙的中位数分别为( )

A.17 和 17 B.17 和 17.3 C.16.8 和 17 D.169 和 171.5 【考点】茎叶图. 【分析】利用茎叶图性质和中位数定义求解.
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【解答】解:甲班同学中位数 x 甲= =169, 乙班同学中位数 x 乙= =171.5, 故选:D.

7.要得到函数 y=sin(2x﹣ 点( )

) ,x∈R 的图象,只需将函数 y=sin2x,x∈R 图象上所有的

A.向左平行移动 C.向左平行移动

个单位长度 个单位长度

B.向右平行移动 D.向右平行移动

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】把函数 y=sin(2x﹣ 【解答】解:∵y=sin(2x﹣ ∴要得到函数 y=sin(2x﹣ 向右平行移动 故选:B. 8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 c2=(a﹣b)2+6,C= 则△ABC 的面积( A.3 B. ) C. D.3 )变形为 y=sin2(x﹣ )=sin2(x﹣ ) , ) ,则答案可求.

) ,x∈R 的图象,只需将函数 y=sin2x,x∈R 图象上所有的点

个单位长度.



【考点】余弦定理. 【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可. 【解答】解:∵c2=(a﹣b)2+6, ∴c2=a2﹣2ab+b2+6, 即 a2+b2﹣c2=2ab﹣6, ∵C= ,

∴cos

=

=

= ,

解得 ab=6, 则三角形的面积 S= absinC= 故选:C = ,

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9.运行如图的程序框图,输出的第 4 个 y 是(



A.3

B.﹣1 C.0

D.﹣3

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 y 的值,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 x=﹣3, 满足条件 x≤3,执行循环体,y=3,第 1 次输出 y 的值为 3,x=﹣2 满足条件 x≤3,执行循环体,y=0,第 2 次输出 y 的值为 0,x=﹣1 满足条件 x≤3,执行循环体,y=﹣1,第 3 次输出 y 的值为﹣1,x=0 满足条件 x≤3,执行循环体,y=0,第 4 次输出 y 的值为 0,x=1 … 故选:C. 10.盒中有 10 个大小、形状完全相同的小球,其中 8 个白球、2 个红球,则从中任取 2 球, 至少有 1 个白球的概率是( ) A. B. C. D.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】先判断出此题是古典概型;利用排列、组合求出随机取出 2 个球的方法数及取出的 2 个球中至少有 1 个白球的方法数;利用古典概型概率公式求出值. 【解答】解:从中随机取出 2 个球,每个球被取到的可能性相同,是古典概型 从中随机取出 2 个球,所有的取法共有 C102=45 所取出的 2 个球至少有 1 个白球,所有的取法有 C81?C21+C82?C20=16+28=44 由古典概型概率公式知 P= 故答案为 .

11.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣1 D.0 【考点】函数的最值及其几何意义.



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【分析】由条件求得 x≥﹣log25,令 t=2x(t≥ ) ,即有 y=t2﹣2t﹣3,由二次函数的最值求 法,即可得到最小值. 【解答】解:xlog52≥﹣1,即为 x≥﹣log25, 2x≥ ,令 t=2x(t≥ ) , 即有 y=t2﹣2t﹣3=(t﹣1)2﹣4, 当 t=1≥ ,即 x=0 时,取得最小值﹣4. 故选:A.

12. 使函数 的一个值是( A. B. ) C. D.

是奇函数, 且在

上是减函数的 θ

【考点】正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性. 【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin(2x+θ+ θ+ =kπ,k∈z,当 k 为奇数时,f(x)=﹣2sin2x,满足在 ,n∈z,当 k 为偶数时,经检验不满足条件. =2sin(2x+θ+ . 上是减函数,此时,θ=2nπ ) 是奇函数, ) ,由于它是奇函数,故 上是减函数,此时,

θ=2nπ﹣

【解答】解:∵函数 故 θ+ =kπ,k∈Z,θ=kπ﹣

当 k 为奇数时,令 k=2n﹣1,f(x)=﹣2sin2x,满足在 ﹣ ,n∈Z,

选项 B 满足条件. 当 k 为偶数时,令 k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在 综上,只有选项 B 满足条件. 故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 若 = (2, ﹣2) , 则与 垂直的单位向量的坐标为 ( ) 或 (﹣ , ﹣ ) . 上是减函数.

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;单位向量. 【分析】设出单位向量,利用向量垂直的充要条件列出方程;利用单位向量的定义及模的坐 标公式列出方程解方程组求出单位向量. 【解答】解:与 垂直的单位向量的坐标为(x,y)则
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解得

故答案为

14.若 tanx= ,则

=





【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为 要求式子的值. 【解答】解:∵tanx= ,则 = = =﹣ , ,从而利用条件求得

故答案为:﹣ .

15.设函数 f(x)=

,则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8 .

【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【分析】利用分段函数,结合 f(x)≤2,解不等式,即可求出使得 f(x)≤2 成立的 x 的 取值范围. 【解答】解:x<1 时,ex﹣1≤2, ∴x≤ln2+1, ∴x<1; x≥1 时, ≤2,

∴x≤8, ∴1≤x≤8, 综上,使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8. 故答案为:x≤8.

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16.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<

)图象的一部分如图所示,其解析式为

y=sin(2x+

) .

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)图象的最高点纵坐标求出 A,根据周期求出 ω,根据点 的坐标求出 φ 的值. 【解答】解:根据函数 y=Asin(ωx+φ)图象的最高点的纵坐标为 1,得 A=1; 又该图象的 T= 所以周期 T= 所以 ω=2; 又 x= 解得 φ= 时,2x+φ= +2kπ,k∈Z, ; ) . ﹣(﹣ =π, )= ,

+2kπ,k∈Z,应取 φ=

所以函数的解析式为 y=sin(2x+ 故答案为:y=sin(2x+ ) .

三、解答题 17.已知 f(α)= (1)化简 f(α) ; (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α﹣ )= ,求 f(α)的值. .

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】 (1)f(α)利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间基本关系变形,即可得到结 果; (2) 已知等式左边利用诱导公式化简求出 sinα 的值, 再利用同角三角函数基本关系求出 cosα 的值,即可确定出 f(α)的值. 【解答】解: (1)f(α)= = =﹣cosα; )=﹣sinα= ,

(2)∵α 为第三象限角,且 cos(α﹣ ∴sinα=﹣ ,

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∴cosα=﹣ 则 f(α)=﹣cosα=

=﹣ .



18.已知向量 =(1,2) , =(x,1) . (1)若 ,求 x 的值; (2)若< , >为锐角,求 λ 的范围; (3)当( )⊥(2 )时,求 x 的值.

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 (1)根据平面向量的共线定理,列出方程求得 x 的值; (2)当< , >为锐角时, (3)利用( )⊥(2 ,且 不同向,由此求出 x 的取值范围;

)时数量积为 0,列出方程求出 x 的值. ,

【解答】解: (1)∵向量 =(1,2) , =(x,1) ,且 ∴1×1﹣2x=0,解得 x= ; (2)当< , >为锐角时, 即 ? =x+2>0,解得 x>﹣2; 又当 时, 同向, ; ,且 不同向,

∴x 的取值范围是 x>﹣2 且 (3) , ; 当( )⊥(2 )时,

(2x+1) (2﹣x)+3×4=0, 即﹣2×2+3x+14=0, 解得: 或 x=﹣2.

19.抛掷两颗骰子,计算: (1)事件“两颗骰子点数相同”的概率, (2)事件“点数之和小于 7”的概率, (3)事件“点数之和等于或大于 11”的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)根据所有的基本事件的个数为 36,而所得点数相同的情况有 6 种,从而求得 事件“两颗骰子点数相同”的概率.
第 11 页(共 14 页)

(2)根据所有的基本事件的个数,求所求的“点数之和小于 7”的基本事件的个数,最后利 用概率计算公式求解即可. (3)根据所有的基本事件的个数,求所求的“点数之和等于或大于 11”的基本事件的个数, 最后利用概率计算公式求解即可. 【解答】解: (1)易得每个骰子掷一次都有 6 种情况,那么共有 6×6=36 种可能, 两颗骰子点数相同的情况有(1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (6,6) ,共 6 种, 所以,所求的概率是 = .

(2)事件“点数之和小于 7”的基本事件有: (1,1) ; (2,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (3,1) ; 1 4 4 1 1 5 5 1 2 2 2 3 3 2 2 4 4 2 ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; (3,3) ,共计 15 个, 而所有的基本事件共有 36 个,故事件“点数之和小于 7”的概率为 = .

(3)事件“点数之和等于或大于 11”的基本事件有: (5,6) ; (6,5) ; (6,6) ,共计 3 个, 而所有的基本事件共有 36 个, 故事件“点数之和等于或大于 11”的概率为 = .

20.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b 是方程 x2﹣2 x+4=0 的 两个根,且 2cos(A+B)=1,求: (1)∠C 的度数; (2)边 c 的长度. 【考点】余弦定理;余弦定理的应用. 【分析】 (1)已知第二个等式变形求出 cos(A+B)的值,根据 A+B 的范围确定出 A+B 的 度数,即可求出 C 的度数; (2)利用韦达定理求出 a+b 与 ab 的值,再利用余弦定理列出关系式,将 a+b 与 ab 的值代 入计算即可求出 c 的值. 【解答】解: (1)∵2cos(A+B)=1, ∴cos(A+B)= , ∵C 为三角形的内角, ∴0<A+B<180°, ∴A+B=60°, 则 C=120°; (2)∵a,b 是方程 x2﹣2 x+4=0 的两个根, ∴a+b=2 ,ab=4, 由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2﹣ab=20﹣4=16, 则 c=4.

21.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)图象的对称轴,对称中心.
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【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 【分析】 (1)用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简,进而根据 T= 小正周期. (2)由正弦函数的性质可知 时,函数单调增, 函数单调减.进而求得 x 的范围,确定函数的 单调递增和递减区间. (3)由正弦函数的对称性可知,利用 求得对称中心. 【解答】解: (1) = = T=π; (2)由 可得单调增区间 (k∈z) , 由 可得单减区间 (3)由 由 得对称轴为 得对称中心为 . , ; , , 求得函数的对称轴,由 求得最

22.已知向量 =(3,﹣4) , =(6,﹣3) , =(5﹣m,﹣(3+m) ) . (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】 (1)根据三点构成三角形的条件,即只要三点不共线,根据共线的条件确定出 m 的值,从而解出 A、B、C 能构成三角形时,实数 m 满足的条件; (2)将几何中的角为直角转化为向量的语言,通过向量的数量积为零列出关于实数 m 的方 程,求解出实数 m. 【解答】解: (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线, ∵ ,故知 3(1﹣m)≠2﹣m
第 13 页(共 14 页)

∴实数

时,满足条件. ,

(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 ∴3(2﹣m)+(1﹣m)=0 解得 .

第 14 页(共 14 页)


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