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2016-2017学年高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件


第三章
直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

要点整合夯基础 典例讲练破题型

课堂达标练经典 课时作业

[目标] 1.记住两直线平行与垂直的条件; 率判定两条直线平行或垂直; 直的条件解决有关问题. [重点] 两直线平行与垂直的条件及应用. [难点] 值的讨论.

2.能根据斜

3.能利用两直线平行或垂

在利用两直线平行与垂直的条件时,对字母取

两条直线平行与斜率的关系
[填一填] 设两条不重合的直线l1,l2,斜率存在且分别为k1,k2, 倾斜角分别为α1,α2.则对应关系如下:

前提条件

α1=α2≠90°

α1=α2=90°
l1∥l2 ?两直线斜率

对应关系 l1∥l2? k1=k2

都不存在

图示

[答一答] 1.两条直线平行,它们的斜率一定相等吗? 提示:不一定,也可能斜率都不存在. 2.两直线的斜率相等,两直线一定平行吗? 提示:不一定.两直线的斜率相等,两直线平行或重 合.

两条直线垂直与斜率的关系
[填一填] 图示 l1与l2的斜率都存 l1与l2中的一条斜率不存 对应 在,分别为k1, 在,另一条斜率为零, 关系 k2,则l1⊥l2?
k1k2=-1

则l1与l2的位置关系是
l1⊥l2

[答一答] 3.两条直线l1,l2垂直,它们的斜率之积一定为-1, 这句话正确吗? 提示:不正确.由两直线的斜率之积为-1,可以得出 两直线垂直,反过来,两直线垂直,它们的斜率之积不一 定为-1.当l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线 的斜率为0时,l1与l2互相垂直,但两直线的斜率之积不存 在.

两条直线的平行关系

[例1]

判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:

(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4), N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,- 2),N(5,5).

[分析]

求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2判断,注意公式

成立的条件.
[解] 1-?-2? -1-4 5 (1)k1= =1,k2= = , 2-?-1? -1-3 4

k1≠k2,l1与l2不平行; 2-1 (2)k1=1,k2= =1,k1=k2, 2-1 ∴l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1与l2都与x轴垂直,∴l1∥l2.

判断两直线是否平行,应首先看两直线的斜率是否存在, 即先看两点的横坐标是否相等,横坐标相等是特殊情况,应特 殊判断.在证明两直线平行时,要区分平行与重合,必须强调 不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.

[变式训练1] 试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(- 5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.
5-3 1 解:直线CD的斜率为 = , 0-?-4? 2 m 1 所以 = ,m=-2. -5-?m+1? 2

两条直线的垂直关系

[例2]

(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6),l2经过点P(-5,20)

和Q(5,20),判断l1与l2是否垂直; (2)直线l1过点(2m,1),(-3,m),直线l2过点(m,m), (1,-2),若l1与l2垂直,求实数m的值.

[分析]

(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件

判断;若斜率不存在,可结合图形判断.(2)当两直线的斜 率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率 不存在,则由另一条直线的斜率为0求解.

[解]

(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,

∴l1⊥l2. 3 (2)①当两直线斜率都存在,即m≠-2且m≠1时, 1-m m+2 有k1= ,k = . 2m+3 2 m-1 1-m m+2 ∵两直线互相垂直,∴ · =-1. 2m+3 m-1 ∴m=-1.

②当m=1时,k1=0,k2不存在,此时亦有两直线垂 直. m+2 3 当2m=-3,即m=- 2 时,k1不存在,k2= = m-1 3 -2+2 1 1. 3 =-5,l1与l2不垂直.综上m=± -2-1

利用斜率公式来判定两直线垂直的步骤 (1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则 直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相 等,若相等,则垂直,若不相等,则进行第二步. (2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含 有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.

[变式训练2]

(1)已知直线l1经过点A(-2,5),B(3,5),直线 )

l2经过点M(2,4),N(2,-4),则直线l1与l2的关系是( A.l1∥l2 C.重合 B.l1⊥l2 D.以上都不对

(2)若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为- 2 的直线垂直,则实数a的值是( 3 2 3 A.- B.- 3 2 2 3 C. D. 3 2 )

解析:(1)直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,所 以l1⊥l2,选B. 2 (2)由于直线l与斜率为- 的直线垂直,可知a-2≠-a 3 -2. 1-?-1? 1 ∵kl= =-a , -a-2-?a-2? 1 ? 2? 2 ? ? - =-1.∴a=- . ∴- a· 3 ? 3?
答案:(1)B (2)A

直线平行与垂直关系的综合应用

[例3]

已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四

点,若顺次连接A、B、C、D四点,试判定图形ABCD的形 状.

[解]

A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图,由

斜率公式可得

5-3 0-3 1 1 kAB= =3,kCD= =3, 2-?-4? -3-6 0-3 3-5 1 kAD= =-3,kBC= =-2. -3-?-4? 6-2

∴kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD. 由kAD≠kBC,∴AD与BC不平行. 1 又kAB· kAD=3×(-3)=-1,∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形.

?1?在顶点确定的情况下,确定多边形形状时,要先画出图 形,由图形猜测其形状,为下面证明确定目标;?2?证明两直线 平行时,仅 k1=k2 是不够的,注意排除重合的情况;?3?判断四 边形形状问题要进行到底,也就是要得到最具体的四边形.

[ 变式训练 3]

已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2 +

2 2)、B(0,2-2 2)、C(4,2),试判断△ABC 是否是直角三角形.

解:AB 边所在直线的斜率 ?2-2 2?-?2+2 2? kAB= =2 2, 0-2 ?2-2 2?-2 2 CB 边所在直线的斜率 kCB= =2, 0-4 2-?2+2 2? AC 边所在直线的斜率 kAC= =- 2. 4-2 ∵kCB· kAC=-1,∴CB⊥AC. ∴△ABC 是直角三角形.



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