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四川省成都市第七中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案


考试时间:120 分钟

总分 150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.椭圆 ( A.10

x2 ? y 2 ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为 25

r />
) B.8 C.4 D.3 )

2.以下各点,在曲线 x2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 上的点为( A. (2, ?3) B. (3,10) C. (1, 0) ) D. (2, 2)

3.双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的离心率为( A. 2 B. 3 C.2

D. 2 2 ) D. y ? 2 x
2

4.焦点为 (2, 0) 的抛物线的标准方程为( A. y ? 16 x
2

B. y ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( 5.方程 2 ? m m ?1
A. (?2, ?1)
2



B. (?2, ??)

C. (??, ?1)

D. (??, ?2) ? (?1, ??) )

6.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是( A. (6,6 2) 或 (6, ?6 2) C. (3, 6) 或 (3, ?6) 7.短轴长等于 8,离心率等于 B. (4, 4 3) 或 (4, ?4 3) D. (9,6 3) 或 (9, ?6 3)

3 的椭圆的标准方程为( 5



1

A.

x2 y 2 ? ?1 100 64 x2 y 2 ? ?1 25 16

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 100 64 64 100
D.

C.

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ?1 25 16 16 25

8.若 C (?2, ?2) ,CA ? CB ? 0 , 且直线 CA 交 x 轴于 A , 直线 CB 交 y 轴于 B , 则线段 AB 中点 M 的轨迹方程是( A. x ? y ? 2 ? 0 ) C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

??? ? ??? ?

B. x ? y ? 2 ? 0

9.已知集合 C ? {( x, y) | f ( x, y) ? 0} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? C ,存在 ( x2 , y2 ) ? C ,使

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 C 是“好集合”. 给出下列 4 个集合:

C1 ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 9} , C2 ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 9} , C3 ? {( x, y) | 2x2 ? y 2 ? 9} , C4 ? {( x, y) | x2 ? y ? 9} ,其中为“好集合”的个数为(
A.1 B.2 C.3 D.4 )

11.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? 2 x 交于 A, B 两点,则点 M (1,0) 到 A, B 两点的距离
2

之积为( A. 4 2

) B. 2 2 C.4 D.2

12.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1,过右焦点 F 作一条与 x 轴不垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,线 2

段 AB 的中垂线分别交直线 x ? ?2 和 AB 于 P, C ,则 A. [2, ??) B. [1, ??)

| PC | 的取值范围是( | AB |



C. [ ,5)

1 2

D. [ , ??)

3 2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.点 M 的极坐标 (4,

5? ) 化成直角坐标的结果是 6

.

2

14.方程 ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)所表示曲线的准线方程是 ? 4 y ? 1 ? sin 2?

.

15.已知圆锥曲线 x2 ? ay 2 ? 1 的一个焦点坐标为 F ( 为 .

2 ,0) ,则该圆锥曲线的离心率 |a|

x2 ? y 2 ? 1 ,过点 D(0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ( M 在 16.已知椭圆 C : 4
D, N 之间) ,有以下四个结论:
? x' ? x ①若 ? ' ,椭圆 C 变成曲线 E ,则曲线 E 的面积为 4? ; ?y ? 2y
②若 A 是椭圆 C 的右顶点,且 ?MAN 的角平分线是 x 轴,则直线 l 的斜率为 ?2 ; ③若以 MN 为直径的圆过原点 O ,则直线 l 的斜率为 ?2 5 ; ④若 DN ? ? DM ,则 ? 的取值范围是 1 ? ? ? 其中正确的序号是 .

????

???? ?

5 . 3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(10 分) 甲、乙两人各掷一枚骰子,试解答下列各问: (1)列举所有不同的基本事件; (2)求事件“向上的点数之差为 3”的概率; (3)求事件“向上的点数之积为 6”的概率. 18.(10 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴长为 2 3 ,一个焦点的坐标为 (? 5,0) . a 2 b2

(1)求双曲线的方程; (2)若斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 交于 A, B 两点,且 | AB |? 4 ,求直线 l 的方程. 19.(12 分) 已知 P 为抛物线 y ? 6 x 上一点,点 P 到直线 l : 3x ? 4 y ? 26 ? 0 的距离为 d1 .
2

3

(1)求 d1 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (2)若点 P 到抛物线的距离为 d2 ,求 d1 ? d2 的最小值. 20.(12 分) 在一个盒子中装有 6 枚圆珠笔,其中 4 枚一等品,2 枚二等品,从中依次抽取 2 枚,求下列 事件的概率. (1)恰有一枚一等品; (2)有二等品. 21.(12 分) 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ,其图像关于 y 轴对称且经过点 M (2,1) . (1)求抛物线 C 的方程; (2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线上,求该等边三角 形的面积; (3)过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA, MB ,设 MA ,MB 所在直线的斜率分别为 k1 , k2 ,当

k1k2 ? ?2 时,试证明直线 AB 的斜率为定值,并求出该定值.
22.(14 分) 已知椭圆 C 的一个焦点为 (0, 3) ,且经过点 P( , 3) . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 A(1, 0) ,直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且 AM ? AN ; (ⅰ)若 | AM |?| AN | ,求直线 l 的方程; (ⅱ)若 AH ? MN 于 H ,求点 H 的轨迹方程.

1 2

4

参考答案 一、选择题 CBABD ADACD BA

二、填空题 13. (?2 3, 2) 三、解答题 17.解: (1)共有 36 个不同的基本事件,列举如下: 14. y ? ?1 15.

2 3 2 5 或 3 5

16.①④

(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6) , (2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6) , (3,1),(3, 2),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6) , (4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4),(4,5),(4,6) , (5,1),(5, 2),(5,3),(5, 4),(5,5),(5,6) , (6,1),(6, 2),(6,3),(6, 4),(6,5),(6,6) .
(2)组成事件“向上的点数之差为 3”的基本事件有 (1, 4),(2,5),(3,6) .

(6,3),(5, 2),(4,1) 共 6 种.

5

∴向上的点数之积为 6 的概率为

4 1 ? . 36 9

18.解: (1)由 2a ? 2 3 ,得 a ? 3 ,又 c ? 5 , ∴b ? c ?a ? 2,
2 2 2

∴双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 3 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? 2x ? m ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 10x ? 12mx ? 3(m ? 2) ? 0 , ?1 ? ? 2 ?3
∴ ? ? 24(m2 ?10) ? 0 ,得 | m |? 10 , ∴弦长 | AB |?

5 24(m2 ? 10) 210 , ? 4 ,解得 m ? ? 3 10
210 210 或 y ? 2x ? . 3 3

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ?
2 y0 , y0 ) , 6

19.解: (1)设 P (

1 2 y0 ? 4 y0 ? 26 | 1 则 d1 ? 2 ? | ( y0 ? 4)2 ? 36 | , 5 10 |
当 y0 ? 4 时, (d1 )min
2 y0 8 ? , ? 3.6 ,此时 x0 ? 6 3

∴当 P( , 4) 时, (d1 )min ? 3.6 . (2)设抛物线的焦点为 F ,则 F ( , 0) ,且 d2 ?| PF | , ∴ d1 ? d2 ? d1 ? | PF | ,

8 3

3 2

9 | ? 26 | 它的最小值为点 F 到直线 l 的距离 2 ? 6.1 . 5
∴ (d1 ? d2 )min ? 6.1 . 20.解法一:把每枚圆珠笔上号码,一等品分别记作 A, B, C , D ,二等品分别记作 E , F .
6

依次不放回从盒子中取出 2 枚圆珠笔,得到的两个标记分别为 x 和 y ,则 ( x, y) 表示一次抽 取的结果,即基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到任何事件的概率相等. 用 M 表示“抽到的 2 枚圆珠笔中有二等品” , M 1 表示“仅第一次抽取的是二等品” , , M 3 表示“两次抽取的都是二等品”. M 2 表示“仅第二次抽取的是二等品” 全部基本事件的总数为 30. M 1 和 M 2 中的基本事件个数都为 8,M 3 中的基本事件为 2, (1)由于 M 1 和 M 2 是互斥事件,记 N ? M1 ? M 2 , ∴恰有一枚一等品的概率 P( N ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

8 8 8 ? ? . 30 30 15

(2)由于 M 1 , M 2 和 M 3 是互斥事件,且 M ? M1 ? M 2 ? M 3 , ∴ P( M ) ? P( M 1 ) ? P( M 2 ) ? P( M 3 ) ?

8 8 2 3 ? ? ? . 30 30 30 5
1 1 C4 C2 8 ? . 2 C6 15

解法二: (1)恰有一枚一等品的概率 P 1 ?

(2)有二等品的概率 P2 ?
2 C4 2 3 ? 1? ? . 2 C6 5 5

1 1 2 C4 C2 ? C2 3 ? , 2 C6 5

或P 2 ? 1?

21.解: (1)设抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

由点 M (2,1) 在抛物线 C 上,得 4 ? 2 p ,则 p ? 2 . ∴抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)设该等边三角形 OPQ 的顶点 P, Q 在抛物线上,且 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ) , 则 x p ? 4 y p , xQ ? 4 yQ ,
2 2

由 | OP |?| OQ | ,得 xp ? y p ? xQ ? yQ ,即 ( y p ? yQ )( y p ? yQ ? 4) ? 0 .
2 2 2 2

又 y p ? 0, yQ ? 0 ,则 y p ? yQ , | x p |?| xQ | ,即线段 PQ 关于 y 轴对称. ∴ ?poy ? 30 , y p ? 3x p ,代入 x p ? 4 y p ,得 x p ? 4 3 .
0

2

∴该等边三角形边长为 8 3 , S?POQ ? 48 3 .
7

2 2 (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 ,

1 2 1 2 x ?1 x2 ? 1 y1 ? 1 y2 ? 1 4 1 1 ? ? ?4 ? ( x1 ? 2 ? x2 ? 2) ? ?2 . ∴ k1 ? k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 16
∴ x1 ? x2 ? ?12 ,

又 k AB

1 2 1 2 x ? x y2 ? y1 4 2 4 1 1 ? ? ? ( x1 ? x2 ) ? ?3 . x2 ? x1 x2 ? x1 4

22.解: (1)设椭圆 C 为:

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

∵椭圆 C 过点 P( , 3) ,且一个焦点为 (0, 3) ,

1 2

? a 2 ? 3 ? b2 ?a 2 ? 4 ? ∴? 3 ,解得 . ? 2 1 b ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? a 4b 2
∴椭圆 C 的标准方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

(2) (Ⅰ)当 l ? x 轴时,设 l : x ? m , 代入椭圆得 y ? ?2 1 ? m2 , ∵ | MN |? 4 1 ? m2 ? 2(1 ? m) ,解得 m ? 1 (舍去)或 m ? ? ∴直线 l 方程为 x ? ? . 当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m .

3 , 5

3 5

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? y2 ,得 (4 ? k ) x ? 2kmx ? m ? 4 ? 0 . 2 ? ? x ?1 ?4

? ? 4k 2m2 ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 4) ? 0 ,得 k 2 ? 4 ? m2 .
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x0 , y0 ) . 则 x1 ? x2 ? ?

2km km 4m m2 ? 4 x x ? , ,所以 x0 ? ? , y0 ? kx0 ? m ? , 1 2 2 2 2 4?k 4?k 4 ? k2 4?k
8

由 | AM |?| AN | ,得 AQ ? MN ,则 k AQ ? k ? ?1,化简得 3km ? k ? 4 (*).
2

由 AM ? AN ,得 AM ? AN ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 , ∴ ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 , 化简得 (1 ? k 2 ) x1x2 ? (km ?1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m2 ? 0 .

???? ? ????

(1 ? k 2 )(m2 ? 4) 2km(km ? 1) ? ? 1 ? m2 ? 0 , ∴ 2 2 4?k 4?k
化简得 5m ? 2km ? 3k ? 0 ,解得 m ? ?k 或 m ?
2 2

3 k. 5

当 m ? ?k 时, (*)式不成立.

3 k 时,代入(*)式,得 k 2 ? 5 , k ? ? 5 . 5 3 3 5 或 y ? ? 5x ? 5. ∴直线 l 的方程为 y ? 5 x ? 5 5 3 3 3 5 ? 0 或 5x ? y ? 5 ? 0 ,或 x ? ? . 综上所述,直线 l 的方程为 5 x ? y ? 5 5 5 3 (Ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知, AM ? AN 时, m ? ?k 或 m ? k . 5
当m ? 当 m ? ?k 时,直线 l 为 y ? k ( x ? 1) 过点 A(1, 0) ,矛盾,故舍去.

3 3 3 k 时,直线 l 为 y ? k ( x ? ) ,且过定点 Q(? , 0) . 5 5 5 3 3 当 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ? ,也过定点 Q(? , 0) . 5 5
当m ? ∴点 H 的轨迹就是以 AQ 为直径的圆,但不含 A 点, ∴点 H 的轨迹方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 5

16 ( x ? 1) . 25

9


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