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椭圆练习题及答案(人教版)


椭圆习题
1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是
2 2

A.(-1,0)?(1,0)
2 2

B.(-6,0)?(6,0)

C.(- 6 ,0)?( 6 ,0)

D.(0,- 6 )?(0, 6 )

2.椭圆x + 8y =1的短轴的端

点坐标是

2 2 4 4 A.(0,)、(0, )
2 2

B.(-1,0)、(1,0)

C.(2 2 ,0)、(- 2 ,0)

D.(0,2 2 )、(0,-2 2 )

3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是

6 6 A.(0,- 6 )、(0, 6 )

B.(0,-1)、(0,1)

C.(-1,0)、(1,0)

6 6 D.(- 6 ,0)、( 6 ,0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a 4.椭圆 (a>b>0)的准线方程是

y??
A.

a2 a2 ? b2
B.

y??

a2 a2 ? b2
C.

y??

b2 a2 ? b2
D.

y??

a2 a2 ? b2

x2 y2 ? ?1 4 5.椭圆 9 的焦点到准线的距离是
4 9 5和 5 5 A. 5 9 14 5和 5 5 B. 5 4 14 5和 5 5 C. 5 14 5 D. 5

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 6.已知F1、F2为椭圆 a (a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若

e?
△AF1B的周长为16,椭圆离心率

3 2 ,则椭圆的方程是
x2 y2 ? ?1 C. 16 12 x2 y2 ? ?1 4 D. 16

x2 y2 ? ?1 3 A. 4

x2 y2 ? ?1 3 B. 16

3 7.离心率为 2 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是
x2 ? y2 ? 1 4 A. x2 y2 ? y2 ? 1 x2 ? ?1 4 B. 4 或
x2 ?
C.

y2 ?1 1 4

x2 x2 y2 ? y2 ? 1 ? ?1 16 D. 4 或 4

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x2 y2 x2 y2 ? 2 ?k ? ? 1 2 2 b b2 8.椭圆 a 和a (k>0)具有
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴

x2 y2 ? ?1 2 9.点A(a,1)在椭圆 4 的内部,则a的取值范围是
A.- 2 <a< 2 B.a<- 2 或a> 2 C.-2<a<2 D.-1<a<1

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 10.设F是椭圆 a 的右焦点,P(x,y)是椭圆上一点,则|FP|等于
A.ex+a B.ex-a C.ax-e D.a-ex

3 ? x2 y2 ? 2 ?1 2 b 11.已知椭圆 a (a>b>0)的离心率等于 5 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转 2 后,所得

16 的新椭圆的一条准线的方程y= 3 ,则原来的椭圆方程是

x2 y2 ? ?1 A. 129 48

x2 y2 ? ?1 B. 100 64

x2 y2 ? ?1 C. 25 16

x2 y2 ? ?1 9 D. 16

x2 y2 ? 2 12.椭圆 5a 4a ? 1 =1的焦点在x轴上,则它的离心率的取值范围是
1 A.(0, 5 ) 1 5 B.( 5 , 5 )]

? 5? ? 0, ? 5 ? ? C. ?

? 5 ? ? ,1? 5 ? ? D. ?

( x ? 3) 2 ( y ? 6) 2 ? ?1 4 m 13.椭圆 的一条准线为 x ? 7 ,则随圆的离心率 e 等于
1 A. 2

2 B. 2

3 C. 2

1 D. 4

14.已知椭圆

的两个焦点为F1?F2,过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A?B,则三角形ABF1的

周长是 A.20 B.24 C.32 D.40

15.已知椭圆的长轴为8,短轴长为4

3 ,则它的两条准线间的距离为

A.32

B.16

C.18

D.64
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x2 y2 ? ?1 9 16.已知(4,2)是直线L被椭圆 36 所截得的线段的中点,则L的方程是
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y+4=0 D.x+2y-8=0

17.若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为

1 A. 2

2 B. 3

3 C. 4

1 D. 4

18.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e为

10 A. 10

17 B. 17

2 13 C. 13

37 D. 37

a 19.椭圆ax +by =1与直线y=1-x交于A、B两点,若过原点与线段AB中点的直线的倾角为30°,则 b 的值为
2 2

3 A. 4

3 B. 3

3 C. 2

D. 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 20.过椭圆 a 的中心的弦为PQ,焦点为F1,F2,则△PQF1的最大面积是
A. a b B. b c C. c a D. a b c

1 21.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上,其投影呈椭圆形,若此椭圆的离心率为 2 ,则光线与地平面所成的

角为
? A. 3 ? B. 6
1 C.arccos 3

? D. 4

9 22.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为 4 ,则椭圆的离心率为

4 A. 5

3 B. 4

2 C. 3

3 D.- 4

23.线段A1A2、B1B2分别是已知椭圆的长轴和短轴,F2是椭圆的一个焦点(|A1F2|>|A2F2|),若该椭圆的离心率为

5 ?1 2 ,则∠A1B1F2
A.30° B.45° C.120° D.90°

x2 ? y2 ? 1 2 a 24.已知椭圆 (a>1)的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60o,则|PF1|· |PF2|的值为

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A.1

1 B. 3

4 C. 3

2 D. 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? 2 ?k 2 2 b2 b 25.椭圆 a 和a (k>0)具有
A..相同的长短轴 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的顶点

x2 y2 ? ?1 25 的准线方程是 26.椭圆 9
?
A.x=

25 4

?
B.y=

25 4

?
C.x=

9 4

?
D.y=

9 4

x2 y2 ? ?1 3 27.若椭圆 4 上一点P到右焦点的距离为3,则P到右准线的距离是
3 A. 4 3 B. 2

C.6

D.12

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 28.自椭圆 a (a>b>0)上任意一点P,作x轴的垂线,垂足为Q,则线段PQ的中点M的轨迹方程是 A. y2 x2 ? ?1 a 2 4b 2 B. y2 x2 ? ?1 4a 2 b 2 C. 4x 2 y 2 ? 2 ?1 a2 b D. x2 4y2 ? 2 ?1 a2 b

29.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是

1 A. 5

3 B. 4

3 C. 3

1 D. 2

30.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为

1 A. 4

2 B. 2

2 C. 4

1 D. 2

x2
31.椭圆

3m ? 1

?

y2 ?1 2m 的准线平行于x轴,则m的取值范围是
C.m>1 D.m>0且m≠1

A.m>0
2

B.0<m<1
2

32.椭圆x + 9y =36的右焦点到左准线的距离是

17 2 A. 2

B. 17 2

17 C. 2

9 2 D. 2

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2 2 33.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为 的动点的轨迹方程是
x2 y2 ? ?1 A. 16 12 x2 y2 ? ?1 B. 12 16

2 2 C. x ? 2 y ? 8x ? 56 ? 0

2 2 D. x ? 2 y ? 8x ? 68 ? 0

x2 ? y2 ?1 9 34.直线x-y-m=0与椭圆 且只有一个公共点,则m的值是

A.10

B.± 10
2 2

C.± 10

D. 10

35.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

x2 y2 ? ?1 9 36.椭圆 25 上点P到右准线等于4.5,则点P到左准线的距离等于
A.8 B.12.5 C.4.5 D.2.25

37.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于

A. 3

3 B. 2

3 C. 3

3 D. 4

38.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x=4,则此椭圆的方程是

x2 y2 ? ?1 3 A. 12

y2 x ? ?1 4 B.
2

x2 ? y2 ? 1 C. 4

x2 y2 ? ?1 12 D. 3

39.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是

1 A. 2

3 B. 2

3 3

D.不能确定

40.函数y=2sin(arccosx)的图象是

A.椭圆

B.半椭圆

C.圆

D.直线

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 41.若F(c,0)是椭圆 a 的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距
M ?m 2 的点的坐标是 离等于

b2 A.(c,± a )

b2 B.(-c,± a )

C.(0,±b)

D.不存在

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x2 y2 5 3 3 ? , 9 =1上的点,F1,F2是椭圆的两焦点,点Q在线段F1P上,且│PQ│=│PF2│,那么Q 42.已知点P( 2 2 )为椭圆 25
分F1P之比是

3 A. 4

4 B. 3

2 C. 5

5 D. 3

x2 y2 3 ? ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b 43.若将离心率为 4 的椭圆 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转 2 后,所得新椭圆的一条
准线方程是3y+14=0椭圆的另一条准线方程是 A. 3y-14=0 B. 3y-23=0 C. 3y-32=0 D. 3y-50=0

44.如图,直线l:x-2 y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为

1 A. 5

2 B. 5

5 C. 5

2 5 D. 5

45.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是

2

2

A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

46.已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得

| PQ |?| PF2 | ,那么动点Q的轨迹

是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

47.以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为F1,且直线MF1与

此圆相切,则椭圆的离心率e为

2 A. 2

3 B. 2

C.2- 3

D. 3 -1

a b (x ? )2 ( y ? )2 1 2 ? 2 ?1 x 2 ? y 2 ? ax ? by ? ab ? 0 2 2 2 a b 48.圆 与椭圆
A.0 B.2 C.3 D.4

(a ? b ? 0)

的公共点的个数为

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x2 y2 ? ? ?1 ?F1 PF2 ? 3 ,则△F1 P F2的面积是 49.P是椭圆 100 64 上的点,F1,F2是焦点,若
A. 64(2 ? 3 ) B. 64(2 ? 3 )

C.64

64 3 D. 3

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ?1 9 4 50.下列各点中,是曲线 的顶点的是
A.(1,-2) B.(0,-2) C.(1,-4) D.(-2,-1)

51. 已知椭圆 E 的离心率为 e ,两焦点为 F1,F2 ,抛物线 C 以 F1 为顶点, F2 为焦点, P 为两曲线的一个交点,若

e PF2 ? PF 1
2 A. 2

,则e的值为

3 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

x2 y2 ? ?1 9 52.椭圆 25 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为
A.5 B.6 C.4 D.10

x2 y2 ? ?1 53.椭圆 25 169 的焦点坐标是
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)

x2 y2 ? 2 ?1 8 m 54.已知椭圆的方程为 ,焦点在x轴上,则其焦距为
A.2 8 ? m
2

B.2

2 2?m

C.2 m ? 8
2

D.

2 m ?2 2

1 x2 y2 ? ?1 m 55.若椭圆 16 的离心率为 3 ,则m的值是 128 A. 9 128 B. 9 或18 128 D. 3 或6

C.18

x2 y2 ? ?1 3 56.已知椭圆 4 内有一点P(1,-1),F为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|取得最小值,则点M的坐

标为
2 6 A.( 3 ,-1)

3 3 (1, ), (1,? ) 2 2 B.

3 (1,? ) 2 C.

2 6 2 6 ,?1), ( ? ,?1) 3 D. 3 (
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57.设F1?F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是

A.椭圆

B.直线

C.圆

D.线段

x2 y2 ? ?1 7 58.椭圆 16 的左右焦点为F1?F2,一直线过F1交椭圆于A?B两点,则△ABF2的周长为
A.32 B.16 C.8 D.4

? x2 y2 ? ?1 59.设α∈(0, 2 ),方程 sin ? cos? 表示焦点在x轴上的椭圆,则α∈ ? A.(0, 4 ? ? B.( 4 , 2 ? 4) ? ? D.[ 4 , 2

]

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 60.P为椭圆 a 上一点,F1?F2为焦点,如果∠PF1F2=75° ,∠PF2F1=15° ,则椭圆的离心率为

2 A. 2

3 B. 2

2 C. 3

6 D. 3

二、填空题
1.椭圆的焦点F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.

x2 y2 ? ?1 4 2.椭圆 9 上的点到直线 2x ? 3 y ? 3 3 ? 0 距离的最大的值是

.

x2 y2 ? ?1 9 3.已知F1?F2是椭圆 25 的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳的值是
A.16 B.12 C.14 D.8
2 2

4.若A点坐标为(1,1),F1是5x +9y =45椭圆的左焦点,点P是椭圆的动点,则|PA|+|PF1|的最小值是__________.

2 m ,则 ? n _______________. 5.直线y=1-x交椭圆mx +ny =1于M,N两点,弦MN的中点为P,若KOP= 2
2 2

6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是______.

2 7.已知椭圆的准线方程是y= ? 9,离心率为 3 ,则此椭圆的标准方程是_______________.
2 8.到定点(1,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为 2 的动点P的轨迹方程是
2 2

.

9.已知椭圆x +2 y =2的两个焦点为F1和F2,B为短轴的一个端点,则△BF1F2的外接圆方程是______________. 10. 已知点 A(0 , 1) 是椭圆 x +4y =4 上的一点, P 是椭圆上的动点,当弦 AP 的长度最大时,则点 P 的坐标是
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2 2

_________________.
11.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标是

.

x2 y2 ? 12.P是椭圆 27 16 =1上的点,则点P到直线4x+3y-25=0的距离最小值为

.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 13.如图,F1,F2分别为椭圆 a 的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为 3 的正三角形,则b2
的值是 .

b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 14.椭圆 a 的左焦点为F,A(-a,0),B (0,b)是两个项点,如果占F到直线AB的距离等于 7 ,
则椭圆的离心率为___________.
15.椭圆x +4y =4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积
2 2

是______________.

x2 y2 ? ?1 a2 a2 16.椭圆 2 与连结A(1,2),B(2,3)的线段没有公共点,则正数a的取值范围是

.

x2 y2 ? 2 2 b =1(a>b>0) 的两个焦点 ,P 是以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点 , 若∠ 17. 设 F1(-c,0) ? F2(c,0) 是椭圆 a
PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为

3 A. 2

6 B. 3

2 C. 2

2 D. 3

x2 y2 ? ?1 3 18. 椭 圆 12 焦 点 为 F1 和 F2, 点 P 在 椭 圆 上 , 如 果 线 段 PF1 的 中 点 在 y 轴 上 , 那 么 |PF1| 是 |PF2| 的
______________.
x2 y2 ? ?1 19.已知椭圆 25 9 ,左右焦点分别为F1?F2,B(2,2)是其内一点,M为椭圆上动点,则|MF1|+|MB|的最大值与最小
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值分别为______________.
20.如果方程x +ky =2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是______.
2 2

x2 y2 ? ?1 21.方程 2m m ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是______.

三、解答题
1.已知,椭圆在x轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且该焦点与长轴上较近的顶点距离为

10 ? 5 ,

求椭圆的标准方程.

2.点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线
2 2

l:x?

a2 c c 的距离的比是常数 a (a>c>0),求点M的轨迹.

3.椭圆9x +25 y =225上有一点P,若P到左准线的距离是2.5,求P到右焦点的距离.

x2 y2 ? ?1 AM ? 2 MF 4.F是椭圆 16 12 的右焦点,M是椭圆上的动点,已知点A(-2,3),当 取最小值时,求
点M的坐标.

x2 y2 ? ?1 5.已知:椭圆 100 36 上一点P到左焦点的距离为15,则P点到此椭圆两准线的距离分别是多少?
x2 y2 ? ?1 6.设AB为过椭圆 25 16 中心的弦,F1为左焦点.求:△A B F1的最大面积.

? x2 y2 ? ?1 4 7.AB是过椭圆 5 的一个焦点F的弦,若AB的倾斜角为 3 ,求弦AB的长
8.已知椭圆中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,并且此焦点与长轴较近的端点的

距离为 10 ? 5 ,求椭圆方程.

3 5 ?0 2 2 ? y 9.设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为 2 ,并且椭圆与圆x -4x-2y+ 2 交于A,B两点,若线段AB
的长等于圆的直径。 (1)求直线AB的方程; (2)求椭圆的方程.
10. 在 直 角 坐 标 系 中 , △ ABC 两 个 顶 点 C 、 A 的 坐 标 分 别 为 ( 0 , 0 ) 、 (2 3 ,0) , 三 个 内 角 A 、 B 、 C 满 足

2 s i nB ? 3 (s i nA ? s i nC) .

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(1)求顶点B的轨迹方程;

(2)过顶点C作倾斜角为θ 的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点,当

? ? ? (0, )

2 时,求△APQ面积S(θ )的最大值.

x2 y2 ? ?1 9 11.设F1为椭圆 25 的右焦点, AB为过原点的弦. 则△ABF1面积的最大值为
12.已知椭圆的焦点是F1(0,-1)和F2(0,1),直线y=4是椭圆的一条准线.

.

(1)求椭圆的方程; (2)又设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2.

x2 y2 ? ?1 4 13.求与椭圆 9 相交于A?B两点,并且线段AB的中点为M(1,1)的直线方程.

x2 y2 ? ?1 3 14.直线l过点M(1,1),与椭圆 4 相交于A、B两点,若AB的中点为M,试求直线l的方程.
15.在△ABC中,BC=24,AC?AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 16.已知P(x0,y0)是椭圆 a (a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和
以椭圆长轴为直径的圆相内切.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 17.设P是椭圆 a (a>b>0)上的一点,F1、F2是椭圆的焦点,且∠F1PF2=90°,求证:椭圆的率心率e

2 ≥ 2.
x2 y2 AP ? ?1 9 4 18.设直线l过点P(0,3) ,和椭圆 顺次交于A、B两点,试求 PB 的取值范围.

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 19.已知直线l与椭圆 a 有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为
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对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.

x2 y2 ? 2 2 b =1(a>b>0)的上顶点为A,左顶点为B?F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C?D两 20.如图,椭圆 a
点,作平行四边形OCED,E恰在椭圆上 (1)求椭圆的离心率; (2)若平行四边形OCED的面积为 6 ,求椭圆方程.

e:
21.椭圆

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 斜率为 k 的地 l 过右焦点 F2 ,且与椭圆交于A,B a2 b2

两点,与 (1)若

y 轴交于 M 点,且点 B 分 MF2 的比为2
,求离心率 e 的取值范围

k ?2 b

200 (2)若 k ? 2 b ,并且弦 AB 的中点到右准线的距离为 33 ,求椭圆方程.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 22.已知直线l: 6x-5y-28=0与椭圆c: a ( a ? b ? 0 ,且b为整数)交于M?N两点,B为椭圆c短轴的上端点,
若△MBN的垂心恰为椭圆的右焦点F. (1)求椭圆c的方程;
' (2)(文科)设椭圆c的左焦点为 F ,问在椭圆c上是否存在一点P,使得 ?F PF ? 60 ,并证明你的结论.

'

?

(理科)是否存在斜率不为零的直线l,使椭圆c与直线l相交于不同的两点R?S,且

BR ? BS

?如果存在,求直线l在

y轴上截距的取值范围;如果不存在,请说明理由.
x2 y2 ? ?1 9 23.椭圆 4 与抛物线y= x2- m有四个不同公共点,求实数m的取值范围.
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24.设一系列椭圆的左顶点都在抛物线y =x-1上,且它们的长轴长都是4,都以y轴为左准线.

2

(1)求这些椭圆中心的轨迹方程. (2)求这些椭圆的离心率的最大值.
25.已知圆锥曲线C经过定点 P(3,2 3 ),它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为 x=-1,过焦点F任意作曲线C

的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆3x2+2y2=2相交于不同的两点,求 (1)AB的倾斜角θ的取值范围; (2)设直线AB与椭圆相交于C?D两点,求CD中点M的轨迹方程.
26.过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),长轴长为4,求椭圆的中心P的轨迹方程.

x2 y2 ? ? 1, 27.已知椭圆 24 16 直线l: x=12, P是l上一点, 射线OP交椭圆于点R, 又点Q在OP上, 且满足|OQ|? |OP|=|OR|2.
当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
28.试证:椭圆长轴的2个端点,是椭圆上到1个焦点最近或最远的点. 29.已知椭圆长轴|AA1|=6,焦距|F1F2|=4

2 ,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M?N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),

问α为何值时,|MN|等于椭圆短轴长.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 30.P为椭圆 a (a>b>0)上的点,F1?F2是椭圆的焦点,e为离心率.若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证:

e?

cos

???

2 . ??? cos 2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 31.P 是椭圆 a (a>b>0) 上的任意一点 ,F1 ? F2 是焦点 , 半短轴为 b, 且∠ F1PF2=α. 求证 : △ PF1F2 的面积为
b 2 tan . 2

?

x2 ? y2 ? 1 PF1 ? PF2 4 32.F1?F2是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上任意一点,则 的最小值是___.

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x2 y2 ? 2 ?1 2 b 33.已知椭圆 C : a (a>b>0)的长轴两端点是A?B,若C上存在点Q,使∠AQB=120° ,求曲线C的离心率的取
值范围.

3 34.以F(2,0)为焦点,直线l= 2 为准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分,求k的取值范围.

AP AQ ?? 2 2 QB , 35.已知椭圆C:x + 2y =8和点P(4,1) ,过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使 PB
求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
36.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且.∠F1PF2的最大值为90°,直线

l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12. (1)求椭圆C的离心率; (2)求椭圆C的方程.

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 37.已知直线y= -x +1与椭圆 a 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x - 2y=0上.
(1)求此椭圆的离心率; (2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2+ y2=4上,求此椭圆的方程.

2 38.在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC= 2 。DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E
上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;

DM ?? (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设 DN ,试确定实数 ? 的取值范围.
39. 已知点A在射线L:y=

3 x(x≤0)上,点B在射线y=0(x≥0)上运动,且│AB│=m(m>0,m为定值)作AP垂直于L,作BP

垂直于x轴,两垂线交于点P (1)求P点轨迹C的方程; (2)若曲C关于y= 3 x的对称曲线为C',求以曲线C'的端点为焦点,且经过原点O的椭圆方程. (3)以A,B为焦点,经过P作椭圆,求此椭圆离心率的最小值.
40.如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知│AB│=4,曲线C过Q点,动

点P在曲线C上运动,? 且保持│PA│+│PB│的值不变
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(1)建立适当的坐标系,求曲线C的方程 (2)过D点的直线L与曲线C相交于不同的两点M,N,求△OMN面积的最大值.

DM ?? DN (3)若过D的直线L与曲线C相交于不同两点M,N,且M在D,N之间,设 ,求λ 的取值范围.
D Q A O B

4 3? x x? y? 3 的椭圆C交于B?C两点,直线 4 41.设倾斜角为 4 的直线l与中心在原点,焦点在坐标轴上,且一准线为
过线段BC的中点M. (1)求椭圆C的方程; (2)若以椭圆C的上顶点D为直角顶点作此椭圆的内接等腰三角形DEF,试问:这样的等腰三角形是否 存在?若存在,有几个?若不存在,说明理由.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 42.已知椭圆 a (a>b>0),A?B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0),
? a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? a a .
2 2

证明:

43.已知椭圆方程为:16x +12y =192求:

(1)它的离心率e,(2)它的准线方程, (3)在椭圆上求点P的坐标,使它到焦点F(0,-c)的距离为5.
x2 ? y2 b2 ?1

44.P为椭圆 a

2

(a>b>0)上一点,F1?F2为椭圆的两个焦点.

(1)当|PF1|· |PF2|最大时,求点P的坐标与这个最大值; (2)当|PF1|· |PF2|最小时,求点P的坐标与这个最小值.

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椭圆的几何性质答案
一、选择题(共 60 题,合计 300 分)
1.7248答案:D 2.7249答案:A 3.7250答案:A 4.7252答案:B 5.7253答案:C 6.7254答案:D 7.7255答案:D 8.7257答案:A 9.7313答案:A 10.5360答案:D 11.5404答案:C 12.6538答案:C 13.6557答案:A 14.6572答案:D 15.6574答案:B 16.6575答案:D 17.6628答案:A 18.6689答案:D 19.6697答案:B 20.6702答案:B 21.6760答案:A 22.6774答案:A 23.6775答案:D 24.6782答案:C 25.6818答案:C 26.6819答案:B
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27.6820答案:C 28.6821答案:D 29.7259答案:D 30.7260答案:D 31.7261答案:C 32.7264答案:A 33.7265答案:C 34.7267答案:C 35.7279答案:D 36.7297答案:A 37.7298答案:C 38.7299答案:A 39.7312答案:B 40.5356答案:B 41.5364答案:C 42.6543答案:B 43.6562答案:D 44.6596答案:D 45.6624答案:D 46.6703答案:A 47.6718答案:D 48.6743答案:D 49.6744答案:D 50.6745答案:C 51.6768答案:B 52.7244答案:A 53.7246答案:C 54.7247答案:A 55.7258答案:B 56.7266答案:A
第 17 页,共 23 页

57.7270答案:D 58.7271答案:B 59.7272答案:B 60.7314答案:D

二、填空题
x2 y2 ? ?1 1.7300答案: 24 60
2.5598答案: 3.6571答案:B 4.6698答案: 6 ?

21

2

2 5.6779答案: 2

1 6.6824答案: 2

x2 y2 ? ?1 7.6825答案: 14 18
8.6826答案: x 9.6827答案: x
2

? 2 y 2 ? 12x ? 62 ? 0 ? y2 ?1

2

4 2 1 ,? 3) 10.6904答案:(± 3
11.7251答案:(0,-

69 )和(0, 69 )

1 12.6548答案: 5
13.6600答案: 2

3

1 14.6603答案: 2
16 15.6643答案: 25
第 18 页,共 23 页

16.6715答案:(0, 17.6722答案:B 18.7256答案:7

6 )∪( 17 ,∞)

19.7268答案:10+2 20.7273答案:0<k<1.

2 ,10-2 2

1 21.7274答案:0<m< 3

三、解答题
x2 y2 ? ?1 5 1.6811答案:椭圆方程为 10

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b 2.6813答案: (a>b>0)
3.6814答案:8 4.6815答案:M(2,3)或M(-2,3)

d1 ? PF1 ?
5.6816答案:

5 75 ? 4 4

d2 ? 5?

5 25 ? 4 4

6.6817答案:12

32 5 7.7262答案: 19

x2 y2 ? ?1 5 8.6580答案: 10
9.6581答案: (1)x+2y-4=0

x2 y2 ? ?1 3 (2) 12
(x ? 3)2 ? y 2 ? 1( y ? 0). 4 10.6582答案: (1)B点轨迹方程为

(2) S (? ) 的最大值为2.

第 19 页,共 23 页

11.6583答案:12
x2 y2 ? ?1 4 12.7241答案:(1)椭圆的方程为 3

3 5 (2)∠F1PF2=arccos .
13.7242答案:4x+9y-13=0 14.7263答案:3x+4y-7=0

x2 y2 ? ?1 15.7275答案:椭圆方程为 169 25 (y≠0)
16.7315答案:见注释 17.7316答案:见注释

?1 ?
18.5321答案:

AP 1 ?? PB 5

a 2 b2 ? 2 ?1 2 y 19.5327答案: x ,

即为所求顶点P的轨迹方程

c 2 ? 2 20.6551答案:(1)e= a
x2 y2 ? ?1 2 (2) 4 为所求
1 ? e ?1 21.6560答案: (1) 2

x2 y2 ? ?1 (2)椭圆方程为 16 12

x2 y2 ? ?1 22.6565答案: (1)椭圆c的方程为 20 16
(文科) (2)满足条件的P点不存在 (理科) (2)满足条件的直线l不存在

m ? (3,
23.6759答案:

73 ) 16

第 20 页,共 23 页

2 2 24.6908答案:(1)y =x-3(2) 3

?
25.6918答案:(1)所求θ的取值范围是: 4

?? ?

?

2 3 或 ? ?? ? ? 3 3 4

2 2 ?x? 3) (2)所求轨迹方程为:3x2+2y2-3x=0( 5
1 9 (x ? )2 ? y 2 ? 2 4 26.6927答案:

6 27.7113答案:点Q的轨迹是以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为1和 3 ,且长轴在x轴上的椭圆,但去掉坐
标原点.
28.7289答案:见注释

? 5 29.7290答案:α= 6 或α= 6 π
30.7317答案:见注释 31.7318答案:见注释 32.7319答案:

PF1 ? PF2

的最小值为1.

?[
33.7320答案:e的取值范围是e

6 ,1) 3 .

3 k ? (? ,0) 2 . 34.7321答案:k的取值范围是

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? 2x ? y ? 4 ? 0 ( 9 9 35.5320答案:点Q的轨迹方程为: ) e?
36.5329答案: (1)

2 . 2

x2
(2)故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 12 2

?

y2 6 2

? 1.

e?
37.5330答案: (1)椭圆的离心率为

2 2 .
第 21 页,共 23 页

x2 y2 ? ?1 4 (2)所求的椭圆方程为 8
x2 ? y2 ? 1 38.5332答案: (1)曲线E的方程是 2

?1 ? ,1? ? 3 ? ? ? (2) 的取值范围是
4 2 2 2 39.5342答案:(1)x +y = 3 m (y≤0,0≤x≤m)
(2)

y2 ( x ? m) 2 ? 4 2 m2 m 3 =1
c 1 ? (3)e= a 2
40.5345答案:解:

x2 ? y2 ? 1 5 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴,y轴,O为原点,建立直角坐标系,曲线C方程为

5 (2)△OMN的最大面积为 2
(3)0<λ <1

x2 ? y2 ? 1 4 41.5346答案:(1)所求椭圆方程为: .
(2)符合题意的等腰三角形一定存在且有3个.
42.7243答案:见注释 43.7245答案:(1)它的离心率,a=4,c=

.e=c/a=0.5.

a2 (2)它的准线方程为y= c =8和y=-8.
(3) 由 椭 圆 的 第 二 定 义 :|PF|=5=e(yp+8),=>yp=2, 代 入 椭 圆 方 程 为 :16x2+12y2=192 得 到 xp=± 3. 所 求 P 点 的 坐 标 为 (3,2),(-3,2)
44.7269答案:(1)最大值为a ,(0,-b)或(0,b).
第 22 页,共 23 页
2

(2)最小值为b2,(-a,0)或(a,0).

第 23 页,共 23 页


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