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二项式定理及典型试题


二项式定理及典型试题
知识点一:二项式定理
二项式定理: ①公式右边的多项式叫做 ②展开式中各项的系数 的二项展开式; 叫做二项式系数; 表示;二项展开式的通项公式为

③式中的第 r+1 项叫做二项展开式的通项,用 .

知识点二:二项展开式的特性
①项数:有 n+1 项; ②次数:每一项的次数都是 n 次,即二项展开式为齐次式; ③各项组成:从左到右,字母 a 降幂排列,从 n 到 0;字母 b 升幂排列,从 0 到 n; ④系数:依次为 .

知识点三:二项式系数的性质
①对称性:二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性: 二项式系数在前半部分逐渐增大, 在后半部分逐渐减小, 在中间取得最大值. 其中,当 n 为偶数时,二项展开式中间一项的二项式系数 开式中间两项的二项式系数 ③二项式系数之和为 , ,即 相等,且最大. 最大;当 n 为奇数时,二项展

其中,二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和, 即

经典例题 1、 (a ? b) n 展开式 “
例 1.求 (3 x ? 解:原式= (
1 x 3x ? 1 x )4 = ) 4 的展开式;

(3x ? 1) 4 1 = 2[ x2 x

C (3x) ? C (3x) ? C (3x) ? C (3x) ? C ]
4 3 2 4 4 4 4 4

0

1

2

3

4

= 81x 2 ? 84x ? 【练习 1】求 (3 x ?
1 x ) 4 的展开式

12 1 ? ? 54 x x2

2.求展开式中的项
例 2.已知在 ( 3 x ?

1 2 x
3

)n 的展开式中,第 6 项为常数项.
2

(1) 求 n; (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 解: (1)通项为 Tr ?1 ? Cn x
r n?r 3 n?2r 1 ?r 1 r (? ) r x 3 ? (? ) r Cn x 3 2 2

因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有

n ? 2r =0,即 n=10. 3 10 ? 2 r 1 45 2 (2)令 =2,得 r ? 2 所以所求的系数为 C10 (? ) 2 ? . 3 2 4
(3)根据通项公式,由题意 ?
? 10 ? 2r ?Z 3 ? ?0 ? r ? 10, r ? Z ?

3k 10 ? 2r ,故 k 可以取 2,0, ?2 ,即 r 可以取 2,5,8. ? k (k ? Z ) ,则 r ? 5 ? 2 3 1 1 1 2 5 8 所以第 3 项,第 6 项,第 9 项为有理项,它们分别为 C10 (? ) 2 x 2 , C10 (? )5 , C10 ( ? )8 x ?2 . 2 2 2


【练习 2】若 ( x ? 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列.求: 24 x (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项.

3.二项展开式中的系数
例 3.已知 ( 3 x ? x ) 的展开式的二项式系数和比 (3 x ? 1) 的展开式的二项式系数和大
2 2n

n

992,求 (2 x ? ) 看例 9).

1 x

2n

的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项(先

解:由题意知, 2

2n

? 2n ? 992 ,所以 2n ? 32 ,解得 n=5.

(1) (1) 由 二 项 式 系 数 性 质 , (2 x ? ) 大. T6 ? C10 (2 x) (? ) ? ?8064 .
5 5 5

1 x

10

的展开式中第 6 项的二项式系数最

(2) 设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,

1 x

1 r r ? Tr ?1 ? C10 (2 x)10? r (? )r ? (?1) r 210?r C10 x10?2 r x r ?1 ? r r r ?C10 210? r ? C10?1 211? r ? ?C10 ? 2C10 ? 11 ? r ? 2r 8 11 ? ? r 10? r 得 2C r ? C r ?1 ,即 ? ,解得 ? r ? . r ?1 9 ? r 10 ? 10 ? C10 2 3 3 ? 2( r ? 1) ? 10 ? r ? C10 2
3 ? r ? Z ,? r ? 3 ,故系数的绝对值最大的项是第 4 项, T4 ? ?C10 27 x 4 ? ?15360 x 4 .

[练习 3]已知 ( x ?

2 n ) (n ? N * ) 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10:1. x2
3

(1)求展开式中含 x 2 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例 4. x ? 1)( x ? 2) 的展开式中, x 项的系数是 (
2 7

3



解:在展开式中, x 的来源有: ① 第一个因式中取出 x ,则第二个因式必出 x ,其系数为
3 2

3

C (?2)
7 4 7

6

6


4

② 第一个因式中取出 1,则第二个因式中必出 x ,其系数为
6 4

C (?2)

? x 3 的系数应为: C 7 (?2) 6 ? C 7 (?2) 4 ? 1008 ,?填 1008 。

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例 5(04 安徽改编) ( x ?
1 ? 2) 3 的展开式中,常数项是 x



1 ( x ? 1) 2 3 ( x ? 1) 6 解: ( x ? ? 2) 3 ? [ ,该式展开后常数项只有一项 ] ? x x x3

C

3 6

x 3 (?1) 3 x3

,即

? 20
6、求中间项
例 6 求( x ?
r

1
3

) 10 的展开式的中间项;
5 10

x
x

解:? Tr ?1 ? C ( x )10? r (? 1 )r , ?展开式的中间项为 10 3 当 n 为奇数时, ( a ? b) 的展开式的中间项是
n

C

( x ) (? 3
5

1 x

)

5

即: ? 252x 6 。
n ?1 2 n n ?1

5

C

n ?1 2 n

a

n ?1 2

b

n ?1 2



C

a2b

n ?1 2



当 n 为偶数时, (a ? b) n 的展开式的中间项是

C

a 2b2 。 n

n 2

n

n

7、有理项
例7 ( x? 解:?Tr ?1 ?
1
3

)10 的展开式中有理项共有
1
3

项;
4r 3

x
( r ) 10? r (? 10
r

C

)r ?

x

C

(?1) r x 10

r

10?

?当 r ? 0,3,6,9 时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么 这个代数式是无理式。

8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题 例 8(00 上海)在二项式 ( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项的系数是
11



解:? Tr ?1 ?

C

r 11

x 11? r (?1) r
r

?要使项的系数最小,则 r 必为奇数,且使 C11 为最大,由此得 r ? 5 ,从
而可知最小项的系数为

C

5 11

(?1) 5 ? ?462

(2) 一般的系数最大或最小问题 例 9 求( x ?

1 2 x
4

) 8 展开式中系数最大的项;
?Tk ? Tk ?1

解: 记第 r 项 系数为 Tr , 设 第 k 项系 数最 大,则 有 ?Tk ? Tk ?1 ?
Tr ? C 8 .2 ? r ?1 ,那么有
r ?1



? ? ? ? ?

C .2 ? C .2 C .2 ? C .2
? k ?1 8 k ?1 8 ? k ?1 k 8 8

k ?1

k ?2

?k ?2 ?k

即? ? ?

8! 8! ? ?2 (k ? 1)!.(9 ? K )! ( K ? 2)!.( ? K )! 10 ? 8! 8! ? ?2? ? ( K ? 1)!.(9 ? K )! K!(8 ? K )! ?
5

2 ? 1 ? ? ?? K ? 1 K ? 2 2 1 ? ? ? 9?K K
7

解得 3 ? k ? 4 ,?系数最大的项为第 3 项 T3 ? 7x 2 和第 4 项 T4 ? 7x 2 。 (3)系数绝对值最大的项 例 10 在( x ? y) 7 的展开式中,系数绝对值最大项是
n


n

解:求系数绝对最大问题都可以将“ ( a ? b) ”型转化为 " (a ? b) " 型来处理,
4 故此答案为第 4 项 C 7 x 3 y 4 ,和第 5 项 ?C 5 x 2 y 5 。 7

9、利用“赋值法”及二项式性质 3 求部分项系数,二项式系数和
例 11 . 若 (2 x ? 3 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的 值 为 ;

解: ? (2 x ? 3 ) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 令

x ?1 , 有

(2 ? 3 ) 4 ? a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4





x ? ?1 , 有

(?2 ? 3 ) 4 ? (a0 ? a 2 ? a 4 ) ? (a1 ? a3 )

故原式= (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ).[(a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 )] = (2 ? 3 ) 4 .(?2 ? 3 ) 4 = (?1) ? 1
4

【练习 1】若 (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004 , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ? 解 : ; , 令

?

(1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004

x ?1





(1 ? 2) 2004 ? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a2004 ? 1



x?0





(1 ? 0) 2004 ? a0 ? 1







= (a0 ? a1 ? a 2 ? ... ? a 2004 ) ? 2003 a0 = 1 ? 2003 ? 2004 【练习 2】 (2 x ? 1) 6 ? a6 x 6 ? a5 x 5 ? . ? a1 x ? a0 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? 设 ;

? 解: Tr ?1 ?

C

r 6

(2 x) 6? r (?1) r ? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6
= (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ) =1

10、利用二项式定理求近似值
例 15.求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 ; 分析:因为 0.998 = (1 ? 0.002 ) ,故可以用二项式定理展开计算。
6
6

6

解: 0.998 = (1 ? 0.002 ) = 1 ? 6.( ?0.002 ) ? 15.( ?0.002 ) ? ... ? (?0.002 )
6
6 1 2

6

? T3 ? C 6 .( ?0.002 ) 2 ? 15 ? (?0.0 0 2 2 ? 0.0 0 0 0 ? 0.0 0 1 ) 6 ,
2

且第 3 项以后的绝对值都小于 0.001 , ?从第 3 项起,以后的项都可以忽略不计。
6 ? 0.9 9 8 = (1 ? 0.002 ) 6 ? 1 ? 6 ? (?0.002 ) = 1 ? 0.012 ? 0.988

小结:由 (1 ? x) ? 1 ?
n

C

1 n

x ? C n x 2 ? ... ? C n x n ,当 x 的绝对值与 1 相比很小且
2 n

因此在精确度允许的范围内可以忽略不计, n 很大时,x 2 , x 3 ,.... x n 等项的绝对值都很小, 因此可以用近似计算公式:(1 ? x) ? 1 ? nx ,在使用这个公式时,要注意按问题对精确
n

度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公 式: (1 ? x) n ? 1 ? nx ?

n(n ? 1) 2 x 。 2

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

[新课标人教版] 排列、组合与二项式定理(选修 2-3)
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题 和答题卡一并收回。 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后, 都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 (ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 16 小题,每小题 5 分,共 80 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. r 1. (08 年上海卷 12)组合数 C (n>r≥1,n、r∈Z)恒等于 n r+1 r-1 A. C n+1 n-1 r-1 B.(n+1)(r+1)Cn-1 r-1 C.nr Cn-1 n r-1 D. Cn-1 r ( )

2. 一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题 目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是 ( ) A.40 B.74 C.84 D.200 3.以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 ( ) A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个 4. 从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择 3 个,4 个,5 个,?,10 个键同时按下,可 发出和弦, 若有一个音键不同, 则发出不同的和弦, 则这样的不同的和弦种数是 ( ) A.512 B.968 C.1013 D.1024 5.如果 ( x ? x x ) n 的展开式中所有奇数项的系数和等于 512,则展开式的中间项是(
6 A. C10 x 8



B. C10 x

5

7

x

C. C84 x 6

D. C11 x

6

8

x

6. 用 0,3,4,5,6 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的 五位数的个数是 ( ) A.36 B.32 C.24 D.20 7. 现有一个碱基 A, 个碱基 C, 个碱基 G, 2 3 由这 6 个碱基组成的不同的碱基序列有 ( A.20 个 B.60 个 C.120 个 D.90 个 )

8. 某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为 ( )

A.504
3 4

B.210
2005

C.336

D.120 ( )

9.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ???? (1 ? x)
4 A. C 2005 4 B. C2006

的展开式中,x3 的系数等于
3 C. C 2005 3 D. C2006

10.现有男女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人,分别参加数理化三科竞赛, 共有 90 种不同方案,则男、女生人数可能是 A.2 男 6 女 B.3 男 5 女 C.5 男 3 女 D.6 男 2 女
5





11. x∈R,n∈N+ ,定义 M x n =x(x+1)(x+2)?(x+n-1), 若 例如 M ?5 =(-5)(-4)(-3)(- 2)(-1)=-120,则函数 f ( x) ? xM 19 9 的奇偶性为 x? ( )

A.是偶函数而不是奇函数 B.是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 12.已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},从 A 到 B 的映射 f(x),B 中有且仅有 2 个元 素有原象,则这样的映射个数为 ( ) A.8 B.9 C.24 D.27 13.有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,而不同的 站法有 ( ) A.24 种 B.36 种 C.60 种 D.66 种 14.等腰三角形的三边均为正数,它们周长不大于 10,这样不同形状的三角形的种数为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 15.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天 1 人值 班,每人值班 2 天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同 的值班表有 ( ) A.36 种 B.42 种 C.50 种 D.72 种
1 2 1 ( 1 16.若 ( 2 ? x ) 0 ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a 0 x 0,则 ( a ? a ? ? ? a 0) 2 ? a ? a ? ? ?a)2 1 0 2 1 3 9

的值为 A.0

( B.2 C.-1 D.1



第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 17.某电子器件的电路中,在 A,B 之间有 C,D,E,F 四个焊点(如图) ,如果焊点脱落, 则可能导致电路不通.今发现 A,B 间电路不通,则焊点脱落的不同情况有 种. 18.正整数 a1a2?an?a2n-2a2n-1 称为凹数,如果 a1>a2>?an,且 a2n-1>a2n-2>?>an,其中 ai (i=1,2,3,?)∈{0,1,2,?,9},请回答三位凹数 a1a2a3(a1≠a3)共有 个 (用数字作答) . 19. (08 年福建卷 13)若(x-2)5= a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)

20.一栋 7 层的楼房备有电梯,在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯,则满足有且仅有一人要 上 7 楼,且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况种数有
6 2 21. (x+1)(ax-1) 的展开式中, 3 的系数是 56, 已知 x 则实数 a 的值为

. .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

22. (本小题满分 10 分)将 7 个相同的小球任意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空, 共有多少种不同的方法?

23. (本小题满分 12 分)已知( (1)含 x3 的项; (2)系数最大的项.

4 1 3 + x2)n 展开式中的倒数第三项的系数为 45,求: x

24. (本小题满分 14 分) 规定 Ax ? x (x ? 1) ?( x ?m ?1), 其中 x ? R , 为正整数, Ax ? 1, 且 m
m

0

这是排列数 An (n, m 是正整数,且 m ? n) 的一种推广.
m

(1)求 A?15 的值; (2)排列数的两个性质:① An ? nAn ?1 ,
m
m

3

m ?1

② An ? mAn
m

m ?1

m ? An ?1 .(其中 m,n 是正整

数)是否都能推广到 Ax ( x ? R, m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给 予证明;若不能,则说明理由; (3)确定函数 Ax 的单调区间.
3

25. (本题满分 14 分) 一个同心圆形花坛, 分为两部分, 中间小圆部分种植草坪和绿色灌木, 周围的圆环分为 n(n ? 3, n ? N ) 等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部 分种植不同颜色的花. (1)如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1 , a 2 , a3 ,有多少不同的种植方法?如图 2,圆环分 成的 4 等份为 a1 , a 2 , a3 , a 4 ,有多少不同的种植方法?

(2)如图 3,圆环分成的 n 等份为 a1 , a 2 , a3 ,??,an,有多少不同的种植方法?

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 D 7 B 8 A 9 B 10 B 11 A 12 D 13 B 14 C 15 B 16 D

提示 1.D

用公式验证,也可以用特殊值法.

3 3 4 2 5 1 2.B 分三步: C5 C4 ? C5 C4 ? C5 C4 ? 74.

2 0 4.B 分 8 类: 0 3 4 5 10 0 1 2 10 0 1 2 10 C10 ? C10 ? C10 ??? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ??? C10 ? (C10 ? C10 ? C10 ) ? 2 ? (1 ? 10 ? 45) ?8968. 1 5 5 5 5 7 n ?1 1 5.B 2 ? 512,? n ? 10, 中间项为 T6 ? C10 x ( x ) ? C10 x x . 2 2 3 3 2 2 5 6.D 按首位数字的奇偶性分两类: A2 A3 ? ( A3 ? A2 ) A2 ? 20 3.C
1 2 3 7.B 分三步: C6C5 C3 ? 60

C6 4 ? 3 ? 12.

8.A

3 A9 ? 504, 或

9 A9 ? 504. 6 A6

9.B 原式=

(1 ? x)3[1 ? (1 ? x) 2003 ] ?(1 ? x)3 ? (1 ? x) 2006 4 ? 即求(1 ? x) 2006中x 4的系数为C2006 . 1 ? (1 ? x) x

2 1 3 10.B 设有男生 x 人,则 Cx C8 ? x A3 ? 90,即x( x ? 1)(8 ? x) ? 30 ,检验知 B 正确.

11.A 12.D

f ( x) ? x( x ? 9)( x ? 8) ?( x ? 9 ? 19 ? 1) ? x 2 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4) ?( x 2 ? 81).
C32 32 ? 27.
3 2

13.B 先排甲、乙外的 3 人,有 A3 种排法,再插入甲、乙两人,有 A4 种方法,又甲排乙 的左边和甲排乙的右边各占 1 2 ,故所求不同和站法有

1 3 2 A3 A4 ? 36(种). 2

14.C 共有(1,1,1)(1,2,2)(1,3,3)(1,4,4)(2,2,2)(2,2,3)(2, , , , , , , 3,3)(2,4,4)(3,3,3) , , (3,3,4)10 种.

15.B 每人值班 2 天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法,再加上甲值周一且乙值周
2 2 1 2 2 六的排法,共有 C6 C4 ? 2 A5C4 ? A4 ? 42(种).

16.D 设 f(x)=( 2-x)10,则(a0+a2+?+a10)2-(a1+a3+?+a9)2=(a0+a1+?+a10)(a0 -a1+a2-?-a9+a10)=f(1)f(-1)=( 2+1)10( 2-1)10=1。 二、填空题
1 2 3 4 17.13 按焊点脱落个数为 1,2,3,4 分四类,有 C2 (C , F中选一) ? C4 ? C4 ? C4 ? 13. 3 2C10 ? 240

18.240

19.31 设 f(x)=(x-2)5=a5x5+ a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 则 f(1)=(1-2)5= a5+ a4+a3+a2+a1+a0=-1, 又,a0=(-2)5=-32.故 a1+a2+a3+a4+a5=31 20.65 分二类:第一类,甲上 7 楼,有 52 种; 第二类:甲不上 7 楼,有 4×2×5 种,共有 52+4×2×5=65 种. 21 . - 1 或 6 ( x ? 1) (ax ? 1) ? ( x ? C6 x ? C6 x ? C6 x ? C6 x ? 1)(a x ? 2ax ? 1).x
6 2 6 1 5 2 4 3 3 5 2 2 3

项的系数为 C6 ?1 ? C6 (?2a) ? C5 ? a ? 56, 即a ? 5a ? 6 ? 0,? a ? ?1或a ? 6.
3 4 5 2 2

三、解答题 22.解 法 1:∵7 =1+ 1+ 1+4= 1+1+ 2+3 =1 +2+ 2+2,∴ 分三类,共有 分法
1 2 1 C4 ? A4 ? C4 ? 20(种).

3 解法 2(隔板法) :将 7 个小球排成一排,插入 3 块隔板,故共有分法 C6 ? 20(种).
n 2 23.解:⑴由题设知 Cn ? 2 ? 45, 即Cn ? 45,? n ? 10.

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10? r ? ( x 3 ) r ? C10 x 4 ? C10 x 3 ? 210 x 3 .

?

1

2

11r ?30 12

,令

11r ? 30 6 ? 3, 得r ? 6, 含x 3的项为T7 ? C10 x 3 12

5 ⑵系数最大的项为中间项,即 T6 ? C10 x

55?30 12

? 252 x 12 .

25

3 24.解: (Ⅰ) A?15 ? ? ?15 ?? ?16 ?? ?17 ? ? ?4080 ;

(Ⅱ)性质①、②均可推广,推广的形式分别是: ① Ax ? xAx ?1 ,
m m ?1

② Ax ? mAx
m

m ?1

m ? Ax ?1 ? x ? R, m ? N ? ?

事实上,在①中,当 m ? 1时,左边 ? Ax ? x ,
1

右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;
0

当 m ? 2 时,左边 ? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? ? x ? m ? 1?

? x ?? x ? 1?? x ? 2 ?? ? ? x ? 1? ? ? m ? 1? ? 1? ? ? ?

? xAxm??1 , 因此,① Axm ? xAxm??1 成立; 1 1
在②中,当 m ? 1时,左边 ? Ax ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;
1 0 1

当 m ? 2 时, 左边 ? x ? x ? 1??x ? 2 ?? ?x ? m ? 1 ? ? mx ?x ? 1??x ? 2 ?? ?x ? m ? 2 ?

? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? ? x ? m ? 2 ? ?? x ? m ? 1? ? m ? ? ? ? ? x ? 1? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? ?? x ? 1? ? m ? 1? ? ?

? Axm?1 ? 右边,
因此 ② Ax ? mAx
m m ?1

? Axm?1 ? x ? R, m ? N ? ? 成立。
/

3 (Ⅲ)先求导数,得 Ax

? ?

? 3x 2 ? 6 x ? 2 .

令 3x ? 6 x ? 2 >0,解得 x<
2

3? 3 3? 3 或 x> . 3 3

因此,当 x ? ? ? ?,

? ? ?

3? 3 ? ? 时,函数为增函数, 3 ? ?

当x??

?3? 3 ? ,?? ? 时,函数也为增函数。 ? 3 ? ? ?

令 3x ? 6 x ? 2 <0,解得
2

3? 3 3? 3 <x< . 3 3

因此,当 x ? ?

?3? 3 3? 3 ? ? ? 3 , 3 ? 时,函数为减函数. ? ?
3

所以,函数 Ax 的增区间为 ? ??,

? ? ?

? 3? 3 ? 3? 3 ? , ?? ? ; ?, ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?

函数 Ax 的减区间为 ?
3

? 3? 3 3? 3 ? ? 3 , 3 ? ? ? ?

25.解: (1)如图 1,先对 a1 部分种植,有 3 种不同的种法,再对 a2、a3 种植, 因为 a2、a3 与 a1 不同颜色,a2、a3 也不同. 所以 S(3)=3×2=6(种) 如图 2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种) ⑵如图 3,圆环分为 n 等份,对 a1 有 3 种不同的种法,对 a2、a3、?、an 都有两种 不 同的种法,但这样的种法只能保证 a1 与 ai(i=2、3、??、n-1)不同颜色,但不能保

证 a1 与 an 不同颜色. 于是一类是 an 与 a1 不同色的种法,这是符合要求的种法,记为 S (n)( n ? 3) 种. 另一类 是 an 与 a1 同色的种法,这时可以把 an 与 a1 看成一部分,这样的种法相当于对 n-1 部 分符合要求的种法,记为 S (n ? 1) . 共有 3×2n
-1

种种法.
n ?1

这样就有 S (n) ? S (n ? 1) ? 3 ? 2 即 S (n) ? 2 ? ?[ S (n ? 1) ? 2
n n ?1

.

] ,则数列 {S (n) ? 2 n }( n ? 3) 是首项为

S (3) ? 2 3 公比为-1 的等比数列.
则 S (n) ? 2 ? [ S (3) ? 2 ]( ?1)
n 3 n ?3

(n ? 3).

由(1)知: S (3) ? 6

? S (n) ? 2 n ? (6 ? 8)( ?1) n?3 .

? S (n) ? 2 n ? 2 ? (?1) n?3 .
答:符合要求的不同种法有 2 ? 2 ? (?1)
n n ?3

种(n ? 3).



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