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平面向量的线性运算


平面向量线性运算
知识梳理: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a , b 等表示;③平面向量的坐标表示:分别取与 x 轴、 y 轴 方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底。任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y , 使得 a ? x i ? y j , ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y ), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴 上 的 坐 标 , 特 别 地 , i ? (1,0), j ? (0,1), 0 ? (0,0). | a |?
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x 2 ? y 2 ; 若 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 则

AB ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) , | AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 .
3.零向量、单位向量:①长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ; ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.(注:
?
?

?

?

a

|a|
4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a , b , c 平行,记作
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就是单位向量) .
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a// b // c .共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.

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5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.②向量的减法向量 a 加上 的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即: a ? b ? a ? (? b ) ; 差向量的意义: OA ? a , OB ? b , 则 BA ? a ? b .
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③平面向量的坐标运算:若 a ? ( x1 y1 ), b ? ( x 2 , y 2 ), 则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , ? a ? (?x, ?y ). ④向量加法的交换律: a ? b ? b ? a ;向量加法的结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) . 7.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a
? ?
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(1) | ? a |?| ? || a | ; (2) ? >0 时 ? a 与 a 方向相同; ? <0 时 ? a 与 a 方向相反; ? =0 时 ? a = 0 ; (3)运算定律 ? ( ? a ) ? (?? ) a , (? ? ? ) a ? ? a ? ? a , ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b . 练习:
? ? ? ? ? ? ? ? ?

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1.化简 [ ( 2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] 的结果是 A. 2a ? b B. 2b ? a
? ? ?

1 1 3 2

( C. b ? a
? ? ?
?



D. a ? b
? ?

2.已知正方形 ABCD 边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c , 则 a ? b ? c 的模等于( A.0 B.3 C. 2 2 D. 2



3. 已知 a ? 2 2 , b ? 3 , a与b 的夹角为 A. 15 B.

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ,则以 e ? 5a ? 2b , f ? a ? 3b 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) 4
C. 14 D. 16

15
??? ? ????

4. O 是 ?ABC 所在平面内一点,满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ?ABC 为( A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、斜三角形 D、等边三角形 )

??? ? ????

??? ?



5.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 BC ? AB , BC ? ? CA, 则? 等于( A.3 B.

1 3

C. ? 3

D. ?

1 3
).

→ → → 1→ → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ=( 3 2 1 A. B. 3 3 1 C.- 3 2 D.- 3

→ → → → → 7.平面上不共线的 4 个点 A,B,C,D.若(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0,则△ABC 是( A.直角三角形
? ?

).

B.等腰三角形
? ?

C.钝角三角形
?

D.等边三角形 ( )

8.向量 ( AB? MB) ? ( BO? BC) ? OM 化简后等于 A. BC
?

B. AB

?

C. AC

?

D. AM

?

9.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心,则

MA ? MB ? MC 等于
A. O B. 4 MD C. 4 MF





D. 4 ME

10.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) ,则 AP ( A. ? ( AB ? AD).? ? (0,1)

????



???? ????

???? ???? 2 B. ? ( AB ? BC ).? ? (0, ) 2

C. ? ( AB ? AD).? ? (0,1)

???? ????

D. ? ( AB ? BC ).? ? (0,

???? ????

2 ) 2


11.如左图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的值等于 A.0
?



B.
?

9 4
?
?

C.4
?

D. ?

9 4

12.已知向量 a ? (2,3), a ? b ? (1,4), 则 b 在 a 方向上的投影等于(



A. ?

13 13

B.

13 13

C. ?

2 2

D. 2

13.已知

OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内部,且 ?AOC ? 300. 设
m ? n
D. ( )

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
A.

1 3

B.

3 3

C.

3

3

14. 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC ? a ,

BD ? b ,则 AF ? (
1? 1? a? b 2 A. 4



2? 1? a? b 3 B. 3

1? 1? a? b 4 C. 2

1? 2? a? b 3 D. 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ), ? ?[0, ??), 15.O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC |
则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

→ → → 16.(文)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a100OA+a101OC,且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O), 则 S200 等于________. 17.已知 a 、 b 是非零向量,指出下列等式成立的条件: ① a ? b ? a ? b 成立的条件是__________;② a ? b ? a ? b 成立的条件是_________; ③ a ? b ? a ? b 成立的条件是 ________; 18.已知平面上三点 A、B、C 满足 ④ a ? b ? a ? b 成立的条件是_____________。
? ?

AB ? 3 ,, CA ? 5 , AB ? BC ? BC ? CA ? CA? AB =

19.已知 A(1,5), B(4,2) ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,直线 AB 与 l 交于点 P ,则点 P 分 AB 所成的比 ? = 20.已知 e1 , e2 是两个不共线的向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? ke1 ? e2 .若 a 与 b 是共线向量,求实数 k 的值. 21. 如图, 平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°,OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA | =| OB |=1,| OC | = 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),求λ +μ 的值. 22. (1)如图 , OA, OB 不共线 , AP ? t AB(t ? R) 用 , OA, OB 表示 OP . (2) 设 , OA, OB 不共线, 点 P 在 O, A, B 所在的平面内, 且 OP ? (1 ? t ) OA? t OB (t ? R). 求证: A, B, P 三点共线.
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