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【T】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列


有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

上海市重点中学高中讲义汇编
专题:数列
一、填空、选择题: 1、 (2016 年上海高考)无穷数列 {an }由 k 个不同的数组成, S n 为 {an }的前 n 项和.若对任意 n ∈ N ? , S n ∈ {2,3}, 则 k 的最大值为___

_____. 【答案】4 【解析】试题分析: 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1, ?1, 0, 0, 0, ??? ,所以最多由 4 个不同的数组成. 2、 (2015 年上海高考)记方程①:x +a 1 x+1=0,方程②:x +a 2 x+2=0,方程③:x +a 3 x+4=0,其中a 1 ,a 2 ,a 3 是正实数.当a 1 ,a 2 ,a 3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( A.方程①有实根,且②有实根 C.方程①无实根,且②有实根 B. 方程①有实根,且②无实根 D.方程①无实根,且②无实根
2 2 2 2 2



【解:当方程①有实根,且②无实根时,△ 1 =a 1 ﹣4≥0,△ 2 =a 2 ﹣8<0, 2 2 2 即a 1 ≥4,a 2 <8,∵a 1 ,a 2 ,a 3 成等比数列,∴a 2 =a 1 a 3 ,

即方程③的判别式△ 3 =a 3 ﹣16<0,此时方程③无实根, 故选:B】 3、 (2014 年上海高考)设无穷等比数列 {an } 的公比为 q ,若 = a1 lim ( a3 + a4 + ? + an ) ,
n →∞

2

则q =

.

a3 a1q 2 5 ?1 ?1 ± 5 【解析】 : a1 = ,∵ 0 < q < 1 ,∴ q = = ? q2 + q ?1 = 0 ? q = 2 1? q 1? q 2

a a = 4, a3 + a4= 3, 4、 (虹口区 2016 届高三三模)若等比数列 {an } 的公比 q 满足 q < 1 ,且 2 4

___________ . a1 + a2 + ? + an ) = 则 lim( n →∞
【解析】 :16

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 5、 (浦东新区 2016 届高三三模)已知公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若
17 9

S5 a = 3 ,则 5 = S3 a3

【答案】

【解析】 S5 =3S3 ?

a 17 5 3 ( a1 + a5 ) =3 ? ( a1 + a3 ) ? d =4a1 ,所以 a5 = 17a1 , a3 = 9a1 ,所以 5 = 2 2 a3 9

6、 (杨浦区 2016 届高三三模)若两整数 a 、 b 除以同一个整数 m ,所得余数相同,即

a ?b = k (k ∈ Z ) , m

则称 a 、 b 对模 m 同余,用符号 a ≡ b(mod m) 表示,若 a ≡ 10(mod 6) (a > 10) , 满足条件的 a 由小到大依次记为 a1 , a2 , ???, an , ??? ,则数列 {an } 的前 16 项和为

7、 (黄浦区 2016 届高三二模)已知数列 {an } 中,若 a1 = 0 , ai = k (i ∈ N , 2 ≤ i < 2
2 * k

k +1

,k = 1, 2,3,?) ,

则满足 ai + a2i ≥ 100 的 i 的最小值为

= 8、 (静安区 2016 届高三二模) 已知数列 {a n } 满足 a1 = 81 ,an ?
的前 n 项和 S n 的最大值为 .

2k , ??1 + log 3 an ?1 , n =
an?1 ? 3 ,

= n 2k + 1

(k ∈ N *) , 则数列 {a n }

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 9、 (闵行区 2016 届高三二模) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,S n ? n ? 2a | n ? 2016 |( a > 0 ) , 则使得 an ≤ an +1
2

( n ∈ N )恒成立的 a 的最大值为
*

.

则这个数列的前 n 项 10、 (浦东新区 2016 届高三二模) 已知数列 {an } 的通项公式为 an =( ?1) ? n + 2 ,n ∈ N ,
n n

*

和 S n = ___________.

11、 (徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)在等差数列 {an } 中,首项 a1 = 3, 公差 d = 2, 若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185, 则此连续 10 项的和为__________________.

12、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)数列 1,,,,,,,,,, ??? ,则

1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1

8 是该数列的第 9

项.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 13、 (崇明县2016届高三上学期期末)已知数列 的各项均为正整数,对于 ,



其中k为使 an +1 为奇数的正整数. 若存在



当n>m且 an 为奇数时, an 恒为常数p,则p的值为

14、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 {a n } 是等差数列, a 2 和 a 2014 是方程 5 x ? 6 x + 1 = 0 的两根,则数
2

列 {a n } 的前 2015 项的和为__________.

15、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)在等差数列 {an } 中, a1 + a3 + a= 9, a2 + a4 + a= 15, 5 6 则数列 {an } 的前 10 项的和等于_ ____.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 6、976 7、128 8、127 9、

1 2016

? n +1 n 2 + ? 2, n为偶数 ? ? 2 10、 S n = ? n ?2n +1 ? ? 5 , n为奇数 ? ? 2 2
11、200 12、128 13、1 或 5 14、 1209 15、80

二、解答题 1、 (2016 年上海高考)若无穷数列 {an } 满足:只要 = a p aq ( p, q ∈ N * ) ,必有 a p +1 = aq +1 ,则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 = a1 1, = a2 2, = a4 3, = a5 2 , a6 + a7 + a8 = 21 ,求 a3 ; (2) 若无穷数列 {bn } 是等差数列, 无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b = c= 1, b= c= 81 , a= bn + cn 1 5 5 1 n 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;

bn + sin an ( n ∈ N ) .求证: (3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an +1 = “对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条件为
*

“ {bn } 是常数列”. 【答案】 (1) a3 = 16 . (2) {an } 不具有性质 Ρ . (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据已知条件,得到 a6 + a7 + a8 = a3 + 3 + 2 ,结合 a6 + a7 + a8 = 21 求解. (2)根据 {bn } 的公差为 20 , {cn } 的公比为 通过计算 a = a= 82 , a2 = 48 , a6 = 1 5

1 5? n ,写出通项公式,从而可得 an = bn + cn = 20n ? 19 + 3 . 3

304 , a2 ≠ a6 ,即知 {an } 不具有性质 Ρ . 3

(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. 试题解析: (1)因为 a5 = a2 ,所以 a6 = a3 , a a= 2. = a= 3 , a= 7 4 8 5

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 于是 a6 + a7 + a8 = a3 + 3 + 2 ,又因为 a6 + a7 + a8 = 21 ,解得 a3 = 16 . (2) {bn } 的公差为 20 , {cn } 的公比为

1 , 3
n ?1

?1? 所以 bn = 81 ? ? ? 1 + 20 ( n ? 1) =20n ? 19 , cn = ?3? an = bn + cn = 20n ? 19 + 35? n . a = a= 82 ,但 a2 = 48 , a6 = 1 5
所以 {an } 不具有性质 Ρ . (3)[证]充分性: 当 {bn } 为常数列时, an +1 = b1 + sin an .

35? n . =

304 , a2 ≠ a6 , 3

对任意给定的 a1 ,只要 a p = aq ,则由 b1 + sin a p = b1 + sin aq ,必有 a p +1 = aq +1 . 充分性得证. 必要性: 用反证法证明.假设 {bn } 不是常数列,则存在 k ∈ Ν ,
?

使得 b1 = b2 = ??? = bk = b ,而 bk +1 ≠ b . 下面证明存在满足 an += bn + sin an 的 {an } ,使得 a1 = a2 = ??? = ak +1 ,但 ak + 2 ≠ ak +1 . 1 设 f ( x) = x ? sin x ? b ,取 m ∈ Ν ,使得 mπ > b ,则
?

f ( mπ )= mπ ? b > 0 , f ( ?mπ ) = ?mπ ? b < 0 ,故存在 c 使得 f ( c ) = 0 .
取 a1 = c ,因为 an +1= b + sin an ( 1 ≤ n ≤ k ) ,所以 a2 = b + sin c = c= a1 , 依此类推,得 a1 = a2 = ??? = ak +1 = c . 但 ak + 2= bk +1 + sin ak +1= bk +1 + sin c ≠ b + sin c ,即 ak + 2 ≠ ak +1 . 所以 {an } 不具有性质 Ρ ,矛盾. 必要性得证. 综上, “对任意 a1 , {an } 都具有性质 Ρ ”的充要条件为“ {bn } 是常数列” . 学科&网

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 2、 (2015 年上海高考)已知数列{a n }与{b n }满足a n+1 ﹣a n =2(b n+1 ﹣b n ) ,n∈N . (1)若b n =3n+5,且a 1 =1,求数列{a n }的通项公式;
* *

, 求 λ的取值范围,使得{a n }有最大值M与最小值m,且 ∈(﹣2,2) . (3)设a 1 =λ<0,b n =λ (n∈N ) 2、 (1)解:∵a n+1 ﹣a n =2(b n+1 ﹣b n ) ,b n =3n+5, ∴a n+1 ﹣a n =2(b n+1 ﹣b n )=2(3n+8﹣3n﹣5)=6, ∴{a n }是等差数列,首项为a 1 =1,公差为 6, 则a n =1+(n﹣1)×6=6n﹣5; (2)∵a n =(a n ﹣a n﹣1 )+(a n﹣1 ﹣a n﹣2 )+…+(a 2 ﹣a 1 )+a 1 =2(b n ﹣b n﹣1 )+2(b n﹣1 ﹣b n﹣2 )+…+2(b 2 ﹣b 1 )+a 1 =2b n +a 1 ﹣2b 1 ,

,求证:数列{b n }的第n 0 项是最大项; (2)设{a n }的第n 0 项是最大项,即 an0 ≥a n (n∈N )
n *

②当λ=﹣1 时,a 2n =3,a 2n﹣1 =﹣1, ∴M=3,m=﹣1, (﹣2,2) ,不满足条件. ③当λ<﹣1 时,当n→+∞时,a 2n →+∞,无最大值; 当n→+∞时,a 2n﹣1 →﹣∞,无最小值. 综上所述,λ∈(﹣ ,0)时满足条件.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 3、 (2014 年上海高考)已知数列 {an } 满足 an ≤ an +1 ≤ 3an , n ∈ N , a1 = 1 .
*

1 3

(1) 若 = a2 2= , a3 x= , a4 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, S n = a1 + a2 + ? + an . 若 S n ≤ S n +1 ≤ 3S n , n ∈ N ,求 q 的取值范围;
*

1 3

(3) 若 a1 , a2 , ? , ak 成等差数列,且 a1 + a2 + ? + ak = 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值时相应数 列 a1 , a2 , ? , ak 的公差. 3、 【解析】 : (1)依题意,

1 2 1 a2 ≤ a3 ≤ 3a2 ,∴ ≤ x ≤ 6 ,又 a3 ≤ a4 ≤ 3a3 ,∴ 3 ≤ x ≤ 27 , 3 3 3 综上可得 3 ≤ x ≤ 6 ; 1 1 n ?1 (2)由已知得 an = q ,又 a1 ≤ a2 ≤ 3a1 ,∴ ≤ q ≤ 3 3 3 1 n 当 q = 1 时, S n = n , S n ≤ S n +1 ≤ 3S n ,即 ≤ n + 1 ≤ 3n ,成立 3 3 qn ?1 1 1 q n ? 1 q n +1 ? 1 qn ?1 当 1 < q ≤ 3 时, S n = , S n ≤ S n +1 ≤ 3S n ,即 , ≤ ≤3 q ?1 3 3 q ?1 q ?1 q ?1


?3q n +1 ? q n ? 2 ≥ 0 1 q n +1 ? 1 ,∵ q > 1 , ≤ n ≤ 3 ,此不等式即 ? n +1 n 3 q ?1 ?q ? 3q + 2 ≤ 0
n +1

∴ 3q

? qn ? = 2 q n (3q ? 1) ? 2 > 2q n ? 2 > 0 ,
n +1

对于不等式 q

? 3q n + 2 ≤ 0 ,令 n = 1 ,得 q 2 ? 3q + 2 ≤ 0 ,解得 1 ≤ q ≤ 2 ,

又当 1 < q ≤ 2 时, q ? 3 < 0 , ∴q
n +1

? 3q n + 2 = q n (q ? 3) + 2 ≤ q (q ? 3) + 2 = (q ? 1)(q ? 2) ≤ 0 成立,

∴1 < q ≤ 2



1 1 ? qn 1 1 1 ? q n 1 ? q n +1 1 ? qn , S n ≤ S n +1 ≤ 3S n ,即 , ≤ ≤3 ≤ q < 1 时, S n = 3 1? q 3 1? q 1? q 1? q 3

?3q n +1 ? q n ? 2 ≤ 0 即 ? n +1 , 3q ? 1 > 0, q ? 3 < 0 n ?q ? 3q + 2 ≥ 0
∵ 3q
n +1

? qn ? = 2 q n (3q ? 1) ? 2 < 2q n ? 2 < 0

q n +1 ? 3q n + 2 = q n (q ? 3) + 2 ≥ q (q ? 3) + 2 = (q ? 1)(q ? 2) > 0

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

1 ≤ q < 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ≤ q ≤ 2 3
∴ (3)设公差为 d ,显然,当 = k 1000, = d 0 时,是一组符合题意的解, ∴ kmax ≥ 1000 ,则由已知得 ∴?

1 + (k ? 2)d ≤ 1 + (k ? 1)d ≤ 3[1 + (k ? 2 d)] , 3

? (2k ? 1)d ≥ ?2 2 2 ,当 k ≥ 1000 时,不等式即 d ≥ ? , ,d ≥ ? 2k ? 1 2k ? 5 ?(2k ? 5)d ≥ ?2 2 k (k ? 1)d , a1 + a2 + ... + ak = k + = 1000 , 2k ? 1 2 2000 ? 2k 2 ≥? , k (k ? 1) 2k ? 1

∴d ≥ ?

= ∴ k ≥ 1000 时, d

解得 1000 ? 999000 ≤ k ≤ 1000 + 999000 ,∴ k ≤ 1999 ,

= ? ∴ k 的最大值为 1999 ,此时公差 d =

2000 ? 2k k (k ? 1)

1998 1 = ? 1999 ×1998 1999

4、 (虹口区 2016 届高三三模)
? 若数列 An : a1 , a2 ,? , an ( n ∈ N , n ≥ 2) 满足 a1 = 0,

ak +1 ? ak = 1 (k = 1, 2, ? , n ? 1),

则称 An 为 L 数列.记 S ( An ) = a1 + a2 + ? + an . (1)若 A5 为 L 数列,且 a5 = 0, 试写出 S ( A5 ) 的所有可能值; (2)若 An 为 L 数列,且 an = 0, 求 S ( An ) 的最大值; (3)对任意给定的正整数 n (n ≥ 2) , 是否存在 L 数列 An , 使得 S ( An ) = 0? 若存在,写出满足条件的一个 L 数列 An ;若不存在,请说明理由. 4、解: (1)满足条件的 L 数列 A5 ,及对应的 S ( A5 ) 分别为: (i) 0, 1, 2,1, 0. S ( A5 ) = 4; (iii) 0, 1, 0,-1, 0. S ( A5 ) = 0; (v) 0, -1, 0,-1, 0 . S ( A5 ) = ?2; (ii) 0, 1, 0,1, 0. S ( A5 ) = 2; (iv) 0, -1, -2,-1, 0. S ( A5 ) = ?4; (vi) 0, -1, 0, 1, 0. S ( A5 ) = 0.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 因此, S ( A5 ) 的所有可能值为: ?4, ? 2, (2) 由于 An 为 L 数列,且 a = a = 0, 1 n 故 n 必须是不小于 3 的奇数. 于是使 S ( An ) 最大的 An 为:

0,

2,

4.

……5 分

ak +1 ? ak = 1 (k = 1, 2, ? , n ? 1),
……7 分

0, 1 , 2, 3 , ? , k ? 2 , k ? 1, k , k ? 1, k ? 2 , ? , 3 , 2, 1 , 0.
这里 n = 2k + 1 ≥ 3 ( k、 n ∈ N ? ), 并且

……9 分

S ( An )= 2 [1 + 2 + ? + ( k ? 1) ] + k = k 2 , k =
因此, S ( An ) max

n ?1 . 2
……11 分

? n ?1 ? =? 3 ). ? (n为不小于的奇数 ? 2 ?

2

ak +1 ? ak (k = 1, 2, ? , n ? 1), 则 ck = ±1 , 于是由 a1 = 0, 得 (3)令 ck =

a2 = c1 ,

a3 = a2 + c2 = c1 + c2 ,

a4 = a3 + c3 = c1 + c2 + c3 , ? ,

an = an ?1 + cn ?1 = c1 + c2 + ? + cn ?1.
故 S ( An ) = a1 + a2 + + a3 + ? + an = (n ? 1)c1 + (n ? 2) c2 + (n ? 3)c3 + ? + 2cn ? 2 + cn ?1 = [ (n ? 1) + (n ? 2 +)(n ? 3) + ? + 2 + 1] + + (n ? 1)(c1 ? 1) + (n ? 2)(c2 ? 1) + (n ? 3)(c3 ? 1) + ? + 2( cn ? 2 ? 1) + (cn ?1 ? 1) = n(n ? 1) ? [ (n ? 1)(1 ? c1 ) + (n ? 2)(1 ? c2 ) + (n ? 3)(1 ? c3 ) + ? + 2(1 ? cn ? 2 ) + (1 ? cn ?1 ) ] . 2

因故 ck = ±1, 1 ? ck (k = 1 , 2 ,? , n ? 1) 为偶数,所以

(n ? 1)(1 ? c1 ) + (n ? 2)(1 ? c2 ) + (n ? 3)(1 ? c3 ) + ? + 2(1 ? cn ? 2 ) + (1 ? cn ?1 )为偶数.
于是要使 S ( An ) = 0, 必须为偶数,

n(n ? 1) 2

即 n(n ? 1)为4的倍数, 亦即 ……14 分

n =4m, 或 n =4m + 1 (m ∈ N ? ).

(i)当 = a= 0, a4 k ? 2 =1, = n 4m (m ∈ N ? ) 时, L 数列 An 的项在满足: a 4 k ?1 4 k ?3

1, 2,? , m) 时, S ( An ) = 0 . a4 k = ?1 (k =

……16 分

(ii)当 n =4m + 1 (m ∈ N ? ) 时, L 数列 An 的项在满足: a = a= 0, a4 k ? 2 =1, 4 k ?1 4 k ?3

, m), a4 m +1 0 时 S ( An ) = 0. = a4 k = ? 1 (k 1, 2,? =
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……18 分

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 5、 (静安区 2016 届高三二模)已知数列 {a n } 满足 a n = 3a n ?1 + 3 n ( n ≥ 2, n ∈ N ) ,首项 a1 = 3 .
?

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ; ( 3 ) 数 列 {bn } 满 足 bn = log 3

an ,记数列 n

? 1 ? ? 的 前 n 项 和 为 Tn , A 是 △ABC 的 内 角 , 若 ? ? bn ? bn +1 ?

sin A cos A >

3 Tn 对于任意 n ∈ N ? 恒成立,求角 A 的取值范围. 4
?

5、 (1)数列 {a n } 满足 a n = 3a n ?1 + 3 n ( n ≥ 2, n ∈ N ) ∴ a n ? 3a n ?1 = 3 n ,∵ 3 n ≠ 0 ,∴

a n a n ?1 ? = 1 为常数,…………2 分 3 n 3 n ?1

∴数列 ?

a ? an ? 是等差数列,首项为 1 = 1 ,公差为 1 …………4 分 n ? 3 ?3 ?
∴ a n = n ? 3 n (n ∈ N )
?

an =n 3n

…………6 分

(2) S n = 3 + 2 ? 32 + 3 ? 33 + 4 ? 34 + ? + (n ? 1) ? 3n ?1 + n ? 3n

3S n = 32 + 2 ? 33 + 3 ? 34 + 4 ? 35 + ? + (n ? 1) ? 3n + n ? 3n +1 ?2 S n =3 + 32 + 33 + 34 + ? + 3n ?1 ? n ? 3n +1

S n =? n 3n +1 ?

3n +1 3 + …………10 分 2 2

(3)数列 {bn } 满足 bn = log 3

an ,则 bn = log 3 3 n = n ,…………11 分 n

1 1 1 1 = ? = bnbn +1 n(n + 1) n n + 1
因此有: Tn =(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? + ( ? =1 ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 n

1 ) n +1

1 n +1

…………13 分

第 11 页 /共 23 页

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ∴ 由 题 知 △ABC 中 , sin = A cos A

1 3 sin 2 A > Tn 恒 成 立 , 而 对 于 任 意 n ∈ N ? , Tn < 1 成 立 , 所 以 2 4

1 3 3 即 sin 2 A ≥ , sin 2 A ≥ 2 4 2
又 A ∈ (0, π ) ,即 2 A ∈ (0,2π )

…………16 分



π
3

≤ 2A ≤

2π ?π π ? ,即 A ∈ ? , ? . 3 ?6 3?

…………18 分

6、 (闵行区 2016 届高三二模) 已知 n ∈ N ,数列 {an } 、 bn + an + 1 , bn += {bn } 满足: an+= 1 1
*

1 an ,记 = cn an 2 ? 4bn . 2

(1)若 a1 = 1 , b1 = 0 ,求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)证明:数列 {cn } 是等差数列; (3)定义 f n ( x) =x + an x + bn ,证明:若存在 k ∈ N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 f k ( x) 有两个整数零点,则必
2 *

有无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点. 6、 (1) an = n , ………………………………………………………………2 分

1 n ? bn +1 = bn + an = bn + , 2 2

∴ 由累加法得 bn= b1 + (b2 ? b1 ) + (b3 ? b2 ) + ??? + (bn ? bn ?1 )

…………………4 分

1 n(n ? 1) .……………………………………6 分 = 0 + [1 + 2 + ??? + (n ? 2) + (n ? 1)]= 2 4
(2) cn +1 ? cn= an +1 ? 4bn +1 ? (an ? 4bn ) ……………………………………………8 分
2 2

1 = (an + 1) 2 ? 4( an + bn ) ? (an 2 ? 4bn ) = 1 2

∴ {cn } 是公差为 1 的等差数列.……………………………………………………11 分
(3)由解方程得: x =
2

?an ± cn ?ak ± ck ,由条件, f k ( x) = 0 两根 x = 为整数,则 ? =ck 必为完全平方数, 2 2
…………12 分

不妨设 = ck m (m ∈ N) ,

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 此时 x =

?ak ± ck ?ak ± m 为整数,∴ ak 和 m 具有相同的奇偶性,………13 分 = 2 2

由(2)知 {cn } 是公差为 1 的等差数列,取 n = k + 2m + 1

∴ ck + 2 m +1 = ck + 2m + 1 = m 2 + 2m + 1 =
此时 x

( m + 1)

2

………………………………15 分

?ak + 2 m +1 ± ck + 2 m +1 ?(ak + 2m + 1) ± (m + 1) = 2 2

? ak 和 m 具有相同的奇偶性,∴ ak + 2m + 1 和 m + 1 具有相同的奇偶性, …17 分
所以函数 f k + 2 m +1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.………………………18 分

7、 (闸北区 2016 届高三二模)已知数列 {an } , S n 为其前 n 项的和,满足 S n = (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

n(n + 1) . 2

1 } 的前 n 项和为 Tn ,数列 {Tn } 的前 n 项和为 Rn ,求证:当 n ≥ 2, n ∈ N * 时 R = n(Tn ? 1) ; n ?1 an m n 1 ) < ( ) m ,其中 m = 1, 2,? , n , n+3 2
a

(3)已知当 n ∈ N * ,且 n ≥ 6 时有 (1 ?
n n n

求满足 3 + 4 + ? + ( n + 2) = ( an + 3) n 的所有 n 的值. 7、解: (1)当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 又? a = S= 1 ,所以 an = n 1 1 (2)、<法一> ?

n(n + 1) (n ? 1)n ? = n 2 2
……………………………5 分

1 1 1 1 = ,∴Tn =1 + + ? + , 2 an n n 1 1 1 1 1 ∴ Rn ?1 =1 + (1 + ) + (1 + + ) + ? + (1 + + ? + ) 2 2 3 2 n ?1 1 1 1 = (n ? 1) ?1 + (n ? 2) ? + (n ? 3) ? + ? + 1? 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 )分 = n(1 + + + ? + ? 1 + ) = n(1 + + + ? + + ? 1) = n(Tn ? 1)(n ≥ 2 …6 2 3 2 3 n ?1 n n ?1 n
① n = 2 时, R= T= 1 1

<法二>:数学归纳法

1 1 1 = 1 , 2( T2 ? 1) = 2( + ? 1) = 1 ………………………1 分 a1 a1 a2
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ②假设 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N *) 时有 R = k (Tk ? 1) k ?1 ………………………1 分

当 n= k + 1 时, Rk = Rk ?1 + Tk = k (Tk ? 1) + Tk = (k + 1)Tk ? k = (k + 1)(Tk +1 ?

1 )?k ak +1

1 )?k = (k + 1)(Tk +1 ? 1) ∴ n = k + 1 是原式成立 k +1 由①②可知当 n ≥ 2, n ∈ N * 时 R ………………………4 分 = n(Tn ? 1) ; n ?1 m n 1 (3)、 (理)? (1 ? ) < ( ) m , m = 1, 2,? , n n+3 2 (k + 1)(Tk +1 ? 1 + 1 ? =
n+2 n 1 ) < n+3 2 n +1 n 1 = m 2时,( ) < ( )2 n+3 2 n n 1 m 3时,( ) < ( )3 = n+3 2 ? = m 1时,( ? ? ? ? ? ? ? ? ? 相加得, ? ? ? 4 n 1 n ?1 ? m= n ? 1时,( ) <( ) ? n+3 2 ? 3 n 1 m n时,( ) < ( )n ? = ? n+3 2 ?

(

n + 2 n n +1 n 4 n 3 n 1 1 2 1 3 1 1 ) +( ) +?+ ( ) +( ) < + ( ) + ( ) + ? + ( ) n ?1 + ( ) n n+3 n+3 n+3 n+3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ( )n < 1, ? + ( ) 2 + ( )3 + ? + ( ) n ?1 + ( ) n = 2 2 2 2 2 2
∴ 3n + 4n + ? + (n + 2) n < (n + 3) n
∴ n ≥ 6 时,∴ 3n + 4n + ? + (n + 2) n = (n + 3) n 无解
又当 n = 1 时; 3 < 4 , n = 2 时, 3 + 4 = 5 ; n = 3 时, 3 + 4 + 5 = 6
2 2 2 3 3 3 3

………………………4 分

n = 4 时, 34 + 44 + 54 + 64 为偶数,而 7 4 为奇数,不符合 n = 5 时, 35 + 45 + 55 + 65 + 75 为奇数,而 85 为偶数,不符合
综上所述 n = 2 或者 n = 3 ……………………………4 分

1 (3)、易知 q ≠ 0 ,否则若 q = 0 ,则 f ( x) = ,与 lim f (a = 0( n ∈ N *) 矛盾 n) n →∞ p qx qx 因为函数 f ( x) 的定义域为 R ,所以 ( p ? 1) ? 3 + 1 恒不为零,而 3 的值域为 (0, +∞) ,所以 p ? 1 ≥ 0 ,又 p = 1 时, f ( x) = 1 ,与 lim f (a= 0( n ∈ N *) 矛盾,故 p > 1 n)
n →∞

= ? f (an )

1 1 q = 且 lim f (an ) = 0 ∴ 3 > 1 ,∴ q > 0 qn q n n →∞ ( p ? 1) ? 3 + 1 ( p ? 1)(3 ) + 1
……………………………8 分
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即有 p + q > 1 。

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 8、 (长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)已知正项数列 {an } , {bn } 满足:对任意 n ∈ N ,
*

都有 an , bn , an +1 成等差数列, bn , an +1 , bn +1 成等比数列,且 a1 = 10 , a2 = 15 . (1)求证:数列

{ b }是等差数列;
n

(2)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (3)设 S n =

1 1 1 b + + ? + ,如果对任意 n ∈ N* ,不等式 2aS n < 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取值范围. an a1 a2 an
①,
2 an +1 = bn bn +1

8、 (1)由已知, 2bn = an + an +1 由②可得, an +1 =

②,

………1 分

bnbn +1

③,

……………………………2 分

将③代入①得,对任意 n ∈ N* , n≥2 ,有 2bn = 即 2 bn =

bn ?1bn + bnbn +1 ,
…………………………4 分

bn ?1 + bn +1 ,所以
n

{ b }是等差数列.
n

(2)设数列

{ b }的公差为 d ,由 a = 10 , a
1

2

= 15 ,得 b1 =

25 , b2 = 18 ,……6 分 2
……………………7 分

所以 b1 =

2 5 2 , b2 = 3 2 ,所以 d = b2 ? b1 = , 2 2 b1 + (n ? 1)d =

所以, bn = 所以, bn =

5 2 2 2 + (n ? 1) ? = (n + 4) , ………………8 分 2 2 2

(n + 4) 2 (n + 3) 2 (n + 4) 2 2 , an = bn ?1bn = , ……………………9 分 ? 2 2 2 (n + 3)(n + 4) . …………………………………………………………10 分 an = 2 1 2 1 ? ? 1 = = 2? ? (3)解法一:由(2) , ? , ……………11 分 an (n + 3)(n + 4) ?n+3 n+ 4?

1 ?? 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?1 ? ? + ? ? ? + ??? + ? ? = ?? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n + 3 n + 4 ?? ?4 n+4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n+4 ?1 故不等式 2aS n < 2 ? n 化为 4a? ? , ?<2? n+3 an ?4 n+ 4?
所以, = S n 2 ?? 即a <

(n + 2)(n + 4) 当 n ∈ N* 时恒成立, n(n + 3)

…………………………………………14 分

令 f ( n) =

(n + 2)(n + 4) n + 2 n + 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , = ? = ?1 + ??1 + + ? =1+ + n(n + 3) n n + 3 ? n ?? n + 3 ? n n + 3 n(n + 3)
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 则 f (n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) > 1 恒成立. 故 a≤1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?∞ , 1] . ………………………………17 分 ………………………………18 分

1 2 1 ? ? 1 = = 2? ? ? , ……………………11 分 an (n + 3)(n + 4) ?n+3 n+ 4? 1 ?? 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?1 = S n 2 ?? ? ? + ? ? ? + ??? + ? ? = 所以, ?? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n + 3 n + 4 ?? ?4 n+4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? 1 ? n+4 b ?1 故不等式 2aS n < 2 ? n 化为 4a? ? , ?<2? n+3 an ?4 n+ 4?
解法二:由(2) , 所 以 , 原 不 等 式 对 任 意 n ∈ N * 恒 成 立 等 价 于 ( a ? 1) n + 3( a ? 2) n ? 8 < 0 对 任 意 n ∈ N * 恒 成 立, ……………………………………14 分
2

设 f ( n) = ( a ? 1) n + 3( a ? 2) n ? 8 ,由题意, a ? 1≤0 ,
2

当 a = 1 时, f ( n) = ?3n ? 8 < 0 恒成立;
2

…………………………15 分

当 a < 1 时,函数 f ( x) = ( a ? 1) x + 3( a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x = ?

3 a?2 < 0, ? 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , + ∞) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) < 0 即可,

15 ,所以当 a≤1 时, 4aS n < bn 对 n ∈ N* 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?∞ , 1] . …………………………18 分
由 f (1) = 4a ? 15 < 0 ,得 a <

9、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) = log k x ( k 为常数, k > 0 且 k ≠ 1 ) , 且数列 { f (an )} 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列 {an } 是等比数列; (2) 若 b= an + f (an ) ,当 k = n

1 时,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 的最小值; 2

(3)若 cn = an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 {cn } 是递增数列?若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由. 9、解:(1) 证:由题意 f ( an ) = 4 + ( n ? 1) × 2 = 2n + 2 ,即 log k a = 2n + 2 , n ∴ an = k
2n+2

---------------------------------2 分

an +1 k k2 . = = ∴ 2n+2 an k
∵常数 k > 0 且 k ≠ 1 ,∴ k 为非零常数,
2

2( n +1) + 2

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ∴数列 {an } 是以 k 为首项, k 为公比的等比数列. -----------------------4 分
4 2

1 1 时, an = n +1 , f ( an ) = 2n+2 ,----------------------6 分 2 2 1? 1 ? 1? n ? ? 2n + 2 + 4 1 1 4 2 ? 所以 S n = n+ ? = n 2 + 3n + ? n +1 -------------------8 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 2 因为 n ≥ 1 ,所以, n + 3n + ? n +1 是递增数列, 2 2 1 1 15 因而最小值为 S1 = 1 + 3 + ? = 。----------------------10 分 2 4 4 2n+2 lg k ,要使 cn < cn +1 对一切 n ∈ N* 成立, (3) 由(1)知, cn = an lg an = (2n + 2) ? k 2 * 即 (n + 1) lg k < (n + 2) ? k ? lg k 对一切 n ∈ N 成立. ----------------------12 分
(2) 当 k =
* 当 k > 1 时, lg k > 0 , n + 1 < (n + 2)k 对一切 n ∈ N 恒成立;---------------14 分 2 2 * 当 0 < k < 1 时, lg k < 0 , n + 1 > (n + 2)k 对一切 n ∈ N 恒成立,

只需 k < ?
2

? n +1 ? ? ,-------------------------------------------------16 分 ? n + 2 ? min n +1 1 = 1? ∵ 单调递增, n+2 n+2 2 ? n +1 ? ∴当 n = 1 时, ? ? = . -----------------------------------17 分 ? n + 2 ? min 3
2

∴k <

2 6 ,且 0 < k < 1 , ∴ 0 < k < . 3 3
6 ) ? (1, +∞) 满足条件. ------------------18 分 3

综上所述,存在实数 k ∈ (0,

10、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 . Sn = am ,则称 {an } 是“H 数列” (1)、若数列 {an } 的通项公式 an = 2 ,判断 {an } 是否为“H 数列” ;
n

; (2) 、等差数列 {an } ,公差 d ≠ 0 , a1 = 2d ,求证: {an } 是“H 数列” (3) 、设点 ( S n , an +1 ) 在直线 (1 ? q ) x + y = = 2t > 0 , q ≠ 0 . r 上,其中 a 1 若 {an } 是“H 数列” ,求 q, r 满足的条件.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 10、解析:(1) = n 1, a = S= 2 1 1

1 ? 2n = 2n ? 1 1? 2 ∴ 2n ? 1 是奇数, 2m 是偶数 ∴ 2n ? 1 ≠ 2m
当 n ≥ 2 时, S= n ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) (2) S n = na1 + d= 2dn + d 2 2 对任意 n ∈ N ? ,存在 m ∈ N ? 使 Sn = am ,即 na1 +

1分 2分 3分 4分 6分 n(n ? 1) d =a1 + (m ? 1)d 2 8分 10 分

m= 2n ? 1 +

n, n ? 1 是一奇一偶,∴ m 一定是自然数 (3) n ≥ 2 时 r , (1 ? q ) S n ?1 + an = r (1 ? q ) Sn + an+1 =
0 (1 ? q ) an + an+1 ? an = ∴ an +1 = qan

n(n ? 1) 2

12 分

r (1 ? q ) × 2t + a2 =

?2t ( n = 1) ? ∴ an = ? n?2 ? ? p ? q ( n ≥ 2) ? ?2t ( n = 1) q = 1 时, an = ? ? ?r ( n ≥ 2 ) S n = 2t + ( n ? 1) r = r 不恒成立 显然 {an } 不是“H 数列” q ≠ 1时 1? q = n 1, = S1 a1 2t + Sn = p 1 ? q n ?1

a2 =r + 2qt ? 2t =p

13 分 14 分

15 分

(

)= 2t +

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

,所以对任意 n ≥ 2 时,存在 m ∈ N * 成立 {an } 是“H 数列”

p pq n ?1 ∴ S n = 2t + ? = pq m ? 2 1? q 1? q ∴q = 2 , p = 2t ,∴ r + 4t ? 2 = t 2t ,= r 0 ∴ q = 2, r = 0, t > 0 的正实数

18 分

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

= S 2 0, 11、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且
(1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并求数列 {an } 的通项公式;

+n n 2Sn =

n

a(n ∈ N ? ).

(2) 若数列 {bn } 满足 b1 + 3b2 + 5b3 + ? + (2n ? 1)bn = 2n ? an + 3, 求证:数列 {bn } 是等比数列; (3)由数列 {an } 的项组成一个新数列 {cn } : c1 = a1 , c2 = a2 + a3 ,

c3 = a4 + a5 + a6 + a7 , ? ,
n →∞

cn= a2 n?1 + a2 n?1 +1 + a2 n?1 + 2 + ? + a2 n ?1 , ? . 设 Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,试求 lim Tn 的值. n
4
(1)当 n = 1 时,由 11、解:

2 S1 + 1 = a1 , 得 a1 = ?1 ; 由 S 2 = a1 + a2 = 0, 得 a2 = 1 ;

= 2a3 + 3 = 3a3 , 得 a3 = 3 ; 当 n = 3 时,由 2 S3 + 3
当 n = 4 时,由 2 S 4 + 4= 2a4 + 1 = 04a4 , 得 a4 = 5 . 猜想: an =2n ? 3 (n ∈ N ? ). 下面用数学归纳法证明: ① 当 n = 2 时, a2 = 1 , 结论显然成立; ② 假设当 n = k ≥ 2 时, a S n nan ? n , 故 = 2k ? 3 . 由条件知 2= k ……(3 分)

2ak +1 = 2 S k +1 ? 2 S k = (k 1)ak +1 ? kak ? 1 , [ (k + 1)ak +1 ? (k + 1)] ? (kak ? k ) =+
于是 (k ? 1)ak +1 = kak + 1 = k (2k ? 3) + 1 = (k ? 1) (2k ? 1), 从而 ak +1 = 2( k + 1) ? 3.
? 故数列 {an } 的通项公式为: an =2n ? 3 (n ∈ N ).

……(6 分)

a1 , 得 a1 = ?1 ; 由 S 2 = a1 + a2 = 0, 得 a2 = 1 ; 另解(1) : 当 n = 1 时,由 2 S1 + 1 = = 2a3 + 3 = 3a3 , 得 a3 = 3 . 当 n = 3 时,由 2 S3 + 3
当 n = 4 时,由 2 S 4 + 4= 2a4 + 1 = 04a4 , 得 a4 = 5 . 当 n ≥ 3 时,由条件知 2= S n nan ? n , 故 ……(2 分)

2an = 2 S n ? 2 S n ?1 =

( nan ? n ) ? [ (n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)] =

nan ? (n ? 1)an ?1 ? 1 ,
……(4 分)

于是 (n ? 2) an ? (n ? 1)an ?1 = 1?

an a 1 1 , ? n ?1 = ? n ?1 n ? 2 n ? 2 n ?1

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

从而

an a a a a a a = ( n ? n ?1 ) + ( n ?1 ? n ? 2 ) + ? + ( 3 ? 2 ) + a2 2 1 n ?1 n ?1 n ? 2 n?2 n?3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) +? + ( )+( )= 2? =+ ? ? 1 2 2 3 3 4 n?3 n?2 n ? 2 n ?1 n ?1



2n ? 3 (n ≥ 3). 于是数列 {an } 的通项公式为: an =2n ? 3 (n ∈ N ? ). ……(6 分) an =
证: (2)当 n = 1 时, b1= 2a1 + 3= 1, 当 n ≥ 2 时,由条件得

(2n ? 1)bn =[b1 + 3b2 + 5b3 + ? + (2n ? 3)bn ?1 + (2n ? 1)bn ] ? [b1 + 3b2 + 5b3 + ? + (2n ? 3)bn ?1 ] =

(2

n

? an + 3) ? ( 2n ?1 an ?1 + 3) = 2n (2n ? 3) ? 2n ?1 (2n ? 5) = 2n ?1 (2n ? 1)
故数列 {bn } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.

? (8分)
……(10 分)

n ?1 从而 bn = 2 .

解: (3)由题意,得

cn = a2n?1 + a2n?1 +1 + a2n?1 + 2 + ? + a2n ?1 = (2 ? 2n ?1 ? 3) + (2 ? 2n ?1 ? 1) + (2 ? 2n ?1 + 1) + ? + (2 ? 2n ? 7) + (2 ? 2n ? 5) =
n ?1 n 2n ?1 ? ? ?(2 ? 2 ? 3) + (2 ? 2 ? 5) ? ?

2

3 = ? 4n ? 2n +1 4

?? (12分)

故 Tn = c1 + c2 + ? + cn =

3 (4 + 42 + ? + 4n ) + (22 + 23 + ? + 2n +1 ) 4 3 4( 4n ? 1) 22 ? (2n ? 1) = ? ? = 4n ? 4 ? 2n + 3?(14 ) 4 4 ?1 2 ?1
n n ? Tn ?1? ?1? ? lim = lim 1 4 3 ? ? + = ? ? ? ? ? ? 1. n →∞ 4 n n →∞ ?2? ?4? ? ? ? ?

??



从而

……(16 分)

注:在解答第(3)小题时,可直接求出 Tn .

12、 (黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知 a1 , a2 ,…, an 是由 n ( n ∈ N* )个整数 1 , 2 ,…, n 按任意次序 , c1 , c2 ,…, cn 是 1 , 2 ,…, n 按从大到小的 排列而成的数列,数列 {bn } 满足 bk = n + 1 ? ak ( k = 1, 2,? , n ) 顺序排列而成的数列,记 S n = c1 + 2c2 + ? + ncn . (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak = bk ( k = 1, 2,? , n )的数列 {an } . (2)写出 ck ( k = 1, 2,? , n ) ,并用含 n 的式子表示 S n . (3)利用 (1 ? b1 ) 2 + (2 ? b2 ) 2 + ? + (n ? bn ) 2 ≥ 0 ,

1 证明: b1 + 2b2 + ? + nbn ≤ n(n + 1)(2n + 1) 及 a1 + 2a2 + ? + nan ≥ S n . 6
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!
2 (参考: 12 + 22 + ? + n=

1 ) n(n + 1)(2n + 1) . 6

12、[证明](1)若 ak = bk ( k = 1, 2,? , n ) , 则 有 ak = n + 1 ? ak ,于是 ak = 当 n 为正偶数时, n + 1 为大于 1 的正奇数,故

n +1 . (2 分) 2

n +1 不为正整数, 2

因为 a1 , a2 ,…, an 均为正整数,所以不存在满足 ak = bk ( k = 1, 2,? , n )的数列 {an } 4 分

[解](2) ck =n ? ( k ? 1) ( k = 1, 2,? , n ) . (6 分) 因为 ck = (n + 1) ? k ,于是 S n = c1 + 2c2 + ? + ncn = [(n + 1) ? 1] + 2[(n + 1) ? 2] + ? + n[( n + 1) ? n]

= (1 + 2 + ? + n)(n + 1) ? (12 + 22 + ? + n 2= )

1 1 1 (10 分) n(n + 1) 2 ? n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n + 2) . 2 6 6

1 [证明](3)先证 b1 + 2b2 + ? + nbn ≤ n(n + 1)(2n + 1) . 6
2 2 (1 ? b1 ) 2 + (2 ? b2 ) 2 + ? + (n ? bn ) 2 = (12 + 22 + ? + n 2 ) ? 2( b1 + 2b2 + ? + nbn ) + (b12 + b2 + ? + bn ) ①,

这里, bk = n + 1 ? ak ( k = 1, 2,? , n ) , 因 为 a1 , a2 ,…, an 为从 1 到 n 按任意次序排列而成,
2 2 所以 b1 , b2 ,…, bn 为从 1 到 n 个整数的集合,从而 b12 + b2 (12 分) + ? + bn =12 + 22 + ? + n 2 ,

于是由①,得 0 ≤ (1 ? b1 ) 2 + (2 ? b2 ) 2 + ? + (n ? bn ) 2 = 2(12 + 22 + ? + n 2 ) ? 2( b1 + 2b2 + ? + nbn ) ,

1 因此, b1 + 2b2 + ? + nbn ≤ 12 + 22 + ? + n 2 ,即 b1 + 2b2 + ? + nbn ≤ n(n + 1)(2n + 1) . (14 分) 6
再证 a1 + 2a2 + ? + nan ≥ S n . 由 bk = n + 1 ? ak ,得 b1 + 2b2 + ? + n
n

= (b n + 1 ? a1 ) + 2 n + (1 ? a2 ) + ? + n(n + 1 ? an )

= [1(n + 1) + 2( n + 1) + ? + n(n + 1)] ? (a1 + 2a2 + ? + nan ) = 1 因为 b1 + 2b2 + ? + nbn ≤ n(n + 1)(2n + 1) , 6

n(n + 1) 2 ? (a1 + 2a2 + ? + nan ) 16 分 2

n(n + 1) 2 1 ? (a1 + 2a2 + ? + nan ) ≤ n(n + 1)(2n + 1) , 2 6 2 n(n + 1) 1 n(n + 1)(n + 2) 所以 a1 + 2a2 + ? + nan ≥ , ? n(n + 1)(2n + 1) = 2 6 6
即 即 a1 + 2a2 + ? + nan ≥ S n . (18 分)

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 13、 (静安区 2016 届高三上学期期末)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月 底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部 投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款? 13、解法 1: (1)设 n 个月的余款为 a n ,则

= a1 100000 ×1.2 × 0.9 ? 3000 = 105000 , = a2 100000 ×1.22 × 0.92 ? 3000 ×1.2 × 0.9 ? 3000 = 110400 ,
。 。 。 。 。 。

= a12 100000 ×1.212 × 0.912 ? 3000 ×1.211 × 0.911 ? ? ? 3000 ,
= 100000 × 1.2 × 0.9 ? 3000 ×
12 12

[1 ? (1.2 × 0.9)12 ] , ≈ 194890 (元) 1 ? 1.2 × 0.9

法 2:= a1 100000 ×1.2 × 0.9 ? 3000 = 105000 , 一般的, an = an ?1 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 , 构造 a n + c = 1.2 × 0.9(a n ?1 + c) , c = ?37500

an ? 37500= (105000 ? 37500)(1.2 × 0.9) n ?1 an = 37500 + 67500 × 1.08n ?1 ,

a12 ≈ 194890 。
(2)194890-100000×1.05=89890(元 ), 能还清银行贷款。

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

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