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广东省汕头市2013届高三第二次模拟考试数学理试题


汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测评试题(二) 理 科 数 学 一、选择题 1. 算数 z 满足 ( z ? i ) i ? 2 ? i ,则 z ? A. ? 1 ? i
M ?

B. 1 ? i

C. ? 1 ? 3i
3? x
2

D. 1 ? 2 i

2.已知集合 韦恩图中阴影部分表示的集合为 A . D.

?x | y ?
?

? , N ? ? x | ? 3 ? x ? 1? ,且 M , N 都是全集 U
B .

的子集,则右边
x ? ?

?x | ?

3 ? x ?1

? x | ?3 ?

x ? 1?

C .

?x | ?3 ?

3

?

?x |1 ?

x ?

3

?

1

3. 执行右边的框图,若输出的结果为 2 ,则输入的实数 x 的值是

1

3

2

A. 4

B. 2

C. 2
2

D. 2

4.如图所示,图中曲线方程为 y ? x ? 1 ,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是

5.给出平面区域 G,如图所示,其中 A (5 , 3 ), B ( 2 ,1), C (1, 5 ) ,若使目标函数 z ? a x ? y ( a ? 0 ) 取 得最小值的最优解有无穷多个,则 a 的值为

1

2

A. 2

B. 3

C.2

D.4

6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是
40
20 5

50

41

A. 3

B.

3

C. 3

D. 6

7.已知数列

? a n ? , ?bn ? 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 其 首 项 分 别 为
*

a1 , b



a 1 ? b1 ? 5 , a 1 ? b1 , a 1 , b 2 ? N

,则数列 C.85

? b n ? 的前 10 项和等于
D.100

A.55

B.70
2013

8.关于二项式 ( x ? 1)

有下列命题:
C 2013 x
2013
6 2007

(1)该二项展开式中非常数项的系数和是 1; (2)该二项展开式中第六项为



(3)该二项展开式中系数最大的项是第 1007 项; (4)当 x ? 2 0 1 4 时, ( x ? 1)

除以 2014 的余

数是 2013。 其中正确命题有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题 (一)必做题(9-13 题) 9. 某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏,但可 见 部 分 如 下 图 , 据 此 可 以 了 解 分 数 在 [5 0 , 6 0 ) 的 频 率 为 为 。 ,并且推算全班人数

10. 下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 2 米后水面宽 米。

11. ? A B C , A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a ? 在 角 且

2, c ?

3, A ?45 ?

, 则角 C ? 。 。



12.已知正方形 A B C D 的边长为 1,点 E 是 A B 边上的点,则 D E ? C B 的值为 13.若 ? x ? R ,使 | x ? a | ? | x ? 1 |? 4 成立,则实数 a 的取值范围是 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

???? ??? ?

14.直角坐标系 x O y 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A , B 分别在曲
? x ? 2 ? cos ? ? C1 : ? C :? ?1 ? y ? 5 ? s in ? ? 线 ( ? 为参数)和曲线 2 上,则 | A B | 的最大值为



15. 如图, 已知 R t ? A B C 的两条直角边 A C , B C 的长分别为 3 c m , 4 c m , A C 边为直径与 A B 交 以 于点 D ,则三角形 A C D 的面积为 。

三、解答题
f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? )( A , ? ? 0 , | ? |?

?
2

)

16.已知函数

的图像与 y 轴交于
(m ?

(0, 3

2)

,它在 y 右侧

?
2

的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为

(m , 6)

, ?6)





(1)求函数 f ( x ) 的解析式及 m 的值; (2)若锐角 ? 满足 ta n ? ? 2 2 ,求 f (? ) 。

17.高三(1)班和高三(2)班各已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛,比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛;②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,但不得
1

参加两盘单打比赛;③先胜两盘的队获胜,比赛结束。已知每盘比赛双方胜的概率均为 2 。 (1)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少? (3)设高三(1)班代表队获胜的盘数为 ? ,求 ? 的分布列和期望。

18.已知动点 P ( x , y ) 与两个定点 M ( ? 1, 0 ), N (1, 0 ) 的连线的斜率之积等于常数 ? ( ? ? 0 ) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状;
E ( ? 3 , 0 ), F ( 3 , 0 ) (3)当 ? ? 2 时,对于平面上的定点 ,试探究轨迹 C 上是否存在点 P ,使

得 ? E P F ? 1 2 0 ? ,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

19.如图,在梯形 A B C D 中 A B / / C D , A D ? C D ? C B ? a , ? A B C ? 6 0 ? ,平面 A C F E ? 平

面 A B C D ,四边形 A C F E 是矩形, A E ? a ,点 M 在线段 E F 上。 (1)求证: B C ? 平面 A C F E ; (2)当 E M 为何值时, A M / / 平面 B D F ?证明你的结论; (3)求二面角 E ? E F ? D 的余弦值。

20.在数列

? a n ? 中, a 1
a4 , a5 , a6

? 0

,且对任意

k ? N , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ?1
*

成等差数列,其公差为 2 k 。

(1)证明:
Tn ?

成等比数列;
?? ? n
2

(2)求数列
3

? a n ? 的通项公式;

2

2

?

3

2

(3)记

a2

a3

an

,证明: 2

? 2 n ? Tn ? 2 ( n ? 2 )

21.已知函数 f ( x ) ? x ? a x , g ( x ) ? ln x 。
2

(1)若 f ( x ) ? g ( x ) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
1 3 x 1 ? (0, ) h ( x1 ) ? h ( x 2 ) ? ? ln 2 2 ,证明: 4 ,且 ;

(2)设

h (x ) ? f (x ) ? ( x ) g

有两个极值点

x1 , x 2

r ( x )? f x ? g ( )

(3)设
r ( x)? k(? 1
2

1 ? ax ( 2

) 对于任意的 a? (1, 2,总存在

)

x0 ? [

1 2

,1]

,使不等式

a

)

成立,求实数 k 的取值范围。

2013 年理科数学二模参考答案 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.C 9. 0 .0 8 10. 4 2 11. 6 0 ? 或 1 2 0 ? 12.1 13. [ ? 3, 5 ] 14.5
54 cm
2

25

15. 2 5

16.

由 tan ? ? 2 2

? ? (0,

?
2

)

? s in ? ?

2 3

2

? cos ? ?

1 3


?
4

??????(9 分)

f (? ) ? 6 sin( 2 ? ? ? 6

?
4

) ? 6 sin 2 ? cos 2 ( 2 cos
2

?
4

? 6 cos 2 ? sin

2 sin ? cos ? ? 3

? ? 1)

????(11 分)

? 6

2 ?

2 3

2

?

1 3

? 3

1 2 8? 7 2 [ 2 ? ( ) ? 1] ? 3 3

2

?????(12 分)

方法二:因为由 tan ? ? 2 2
f (? ) ? 6 sin( 2 ? ?

? ? (0,

?
2

)

?
4

) ? 6 sin 2 ? cos
2

?
4

? 6 cos 2 ? sin
2

?
4

所以:
? 3

? 3

2 ( 2 sin ? cos ? ? cos
2 2

? ? sin

?)

??????(9 分)

2 ( 2 sin ? cos ? ? cos sin
2

? ? sin

2

?)

? ? cos ? ?1

? ?
? 8? 7 3
A3
2

? 3

2 ?

2 tan ? ? 1 ? tan tan
2

2

2

??????(12 分) 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
1

1

17. 解: (Ⅰ)参加单打的队员有

所以,高三(1)班出场阵容共有

A 3 ? C 2 ? 12 ( 种 )
2

种) ???????????(3 分) .

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜.
1 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 3 8 .

所以,连胜两盘的概率为 2

?????????????(7 分)

(Ⅲ) ? 的取值可能为 0,1,2.
P ?? ? 0 ? ? 1 2 1 2 1 2 ? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ? 1 4 .?????????????(8 分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2

P ?? ? 1? ?

?

?

?

?

?

?

.?????????????(9 分)
? 1 2 ? 1

P ?? ? 2 ? ?

?

?

?

?

?

?

. 2 ????????????(10 分)

所以 ? 的分布列为
?
p

0
1 4

1
1 4

2
1 2

E? ? 0 ?

1 4

? 1?

1 4

? 2?

1 2

?

5 4 .



?????????????(12 分)

18.解、 (Ⅰ)由题设可知; PM , PN 的斜率存在且不为 0,
y ? y ? ?
2

所以 x ? 1 x ? 1 (Ⅱ)讨论如下:

x

?

y

2

,即

?

? 1( y ? 0 )

??????????????(3 分)

(1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ? 1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0)(1,0) , ) (4)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴两个端 点)?????????????????????????????(7 分)
x
2

(Ⅲ) 、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为

?

y

2

? 1( y ? 0 )

2
0

,显然定点 E、F 为其左右焦点。

假设存在这样的点 P,使得 ? EPF ? 120
2

,记 ? EPF ? ? , PE ? m , PF ? n , EF ? 2 3 ,

? m ? n ? 2 ? m ? n ? 2 mn ? 4 ? 1 ? mn sin ? ? S ? EPF ? 2 ? ? ( 2 3 ) 2 ? m 2 ? n 2 ? 2 mn cos ? 那么在 ? EPF 中: ? ??????????(9 分)
2

整理可得: 2 mn (1 ? cos ? ) ? 8 ,所以
S ? EPF ? 1 2 1 2
0

mn ?

4 1 ? cos ?

?

4 1 ? cos 120
0

?

8 3 ???(10 分)

mn sin 120

?

1 2

?

8 3

?

3 2

?

2 3

3

所以

??????????(11 分)
2 3 3

又因为

S ? EPF ?

? EF ? y P ?

1 2

? 2

3 ? yP ?

??????(12 分)
? 2? ?? ? ? 3? 2
2

所以

yP ?

2

,

3 故

yP ? ?

2

,

3 代入椭圆的方程可得:

xP

2

?

? 1( y ? 0 )

所以
11 3

xP ? ?

11 3

,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为
11 3 , 2 ) ( 11 3 ,? 2 ) (? 11 3 ,? 2 ) 3 ??????(14 分)

(

,

2

)

(?

3 ,

3 ,

3 ,

19.证明: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ A B

? C D , AD ? D C ? C B ? a,? ABC ? 60?



∴四边形 ABCD 是等腰梯形,??????(1 分) 且?DCA
? ? D A C ? 3 0 ?, ? D C B ? 1 2 0 ?,

∴ ? A C B ? ? D C B ? ? D C A ? 9 0 ? ,∴ A C ? B C . ??????(2 分) 又∵平面 A C F E ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ B C ? 平面 ACFE. ??(4 分) (Ⅱ)当
EM ? 3 3 a

时, A M

?

平面 BDF. 现在证明如下: ,连结 FN,则 C N
: F M ? 1 : 2,

在梯形 ABCD 中,设 ∵
EM ? 3 3 a

AC ? BD ? N

: N A ? 1 : 2.

而 EF

? AC ?

3a

,∴ E M

∴MF ? AN,

?

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ A M 又∵ N F
?

? NF.

平面 BDF, A M

?

平面 BDF. ∴ A M

?

平面 BDF. ??(8

分) (Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ D G ? E F . ∵ B C ? 平面 ACFE,∴ B C ? E F . 又∵ E F 又∵ G H
? FB
? FC

,∴ E F

? FB.

,∴ E F

? GH .

∴ ? D G H 是二面角 B—EF—D 的平面角. ??(11 分) 在△BDE 中 D E
? 2a, DB ? 3a , B E ? AE
2

? AB

2

?

5a.

∴ BE

2

? DE

2

? DB

2

∴?EDB

? 90?





DH ?

5 2

a.



DG ?

5 2

a,G H ?

2 2

a.

∴在△DGH 中,
10

由余弦定理得

cos ? D G H ?

10 10

,

即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为 10

??(14 分)

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:
D( 3a 2 ,? a 2 ,0 )

C ( 0 ,0 ,0 ) B ( 0 , a ,0 ) F ( 0 ,0 , a )

,

,

,

, E ( 3 a ,0 , a )
3a 2 a 2

所以

EF ? ( ?

3 a ,0 ,0 )



BF ? ( 0 , ? a , a )

DF ? ( ?

,

,a)



??(10 分)

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) , n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 )
? n ? EF ? ? 3 ax ? 0 ? 1 1 ? ? n 1 ? BF ? ? ay 1 ? az 1 ? 0 ?

所以

,令 y 1 ? 1 ,则 x 1 ? 0 , z 1 ? 1 ??(11 分)

? n ? EF ? ? 3 ax ? 0 2 2 ? ? 3a a x2 ? y 2 ? az ? n 2 ? DF ? ? 2 2 又?
n 2 ? ( 0 ,1 , ? 1

2

? 0

显然 x 2 ? 0 ,令

y 2 ? 1, 则 z 2 ? -

1 2 ??(12 分)

所以

n 1 ? ( 0 ,1 ,1 )



) 2 ,设二面角的平面角为 ? , ? 为锐角
1 2 2 ? 5 2

cos ? ?

n1 ? n 2 n1 ? n 2

( 0 ,1 ,1 ) ? ( 0 ,1 , ? ?

) ?

10 10

所以

??(14 分)

? a a a 20.证明: (Ⅰ)因为 a 1 ? 0 ,且 ? k ? N , 2 k ? 1 , 2 k , 2 k ? 1 成等差数列,其公差为 2 k 。



2 a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1



a 2 k ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2 k

??????(1 分)

a ? 8 , a 5 ? 12 , a 6 ? 18 所以,分别取 k ? 1 , 2 , 3 代入解得 4 ,??????(2 分)

显然满足

a5

2

? a4a6

,即 a 4 ,

a5



a6

成等比数列;??????(3 分) 对 ? k ? N 恒成立
?

(Ⅱ)由题意可知: 所以

a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 4 k ,

a 2 k ? 1 ? a 1 ? ( a 3 ? a 1 ) ? ( a 5 ? a 3 ) ? ( a 7 ? a 5 ) ? ..... ? ( a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 )
( k ? 1 )( 0 ? 4 k ) 2
2

? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ...... ? 4 k =

?

? 2 k ( k ? 1)

?????(5 分)



a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2 k

,所以

a 2 k ? a 2 k ?1 ? 2 k
2

= 2 k ( k ? 1 ) ? 2 k ? 2 k ??????(6 分)

an

所以数列

?a n ?
n

的通项公式为
2

?n ?1 , ( n ? 2 k ? 1) ? ? 2 ? ? 2 ?n , (n ? 2k ) ? 2 ?

, k? N

?

或写为

an ?

?

( ? 1)

n

?1

,n ? N

?

2

4

(注意:以上三种写法都给全分)????(7 分)

T ? 2 2n ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 (Ⅲ)先证右边: (1)当 n ? 2 时, n , 显然满足结论。
n
2

(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时,

an ?

?1 2



n

2

?

2n n
2

2

所以

an

?1

? 2

2 ?

n

2

? ? n

2
2

,且
n
2

an n
2

1 ? ? 1 ? ?? ? ? n ?1? ?1 ?n ?1 n
2

当 n 为偶数时,
Tn ? 2

an ?

? 2

2 ?

? 0

2 ,
2

an n
2



an

2

?

3

? ........ ?

? 2 ( n ? 1)

综上可知 所以

a2

a3

an

,当 n ? 2 时取等号
?

2 n ? T n ? 2 n ? 2 ( n ? 1) ? 2

对任意的 n ? 2 , n ? N 成立。??????(9 分)

再证左边:
? ( 2
2

因为

2n ? Tn ? 2n

?

3

2

? ........ ?

n

2

) ? 2 ? (2 ?

2

2

) ? (2 ?

3

2

) ? ... ? ( 2 ?

n

2

)

a2

a3
?

an

a2

a3

an

所以(1)当 n ? 2 k ? 1 , k ? N 时
2n ? Tn ? 2 ? 0 ? 2 3
2

?1

? 0 ? 5

2
2

?1

? 0 ? 7

2
2

?1

? .... ? 0 ?

2 ( 2 k ? 1)
2

?1

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 4 6 2k 2k ? 2 ? 2k ? 2 ? ? 2 ?2 ? 3 2 ? 1 2k ? 2 ? 3 2
?

???(11 分)

(2)当 n ? 2 k , k ? N 时
2n ? Tn ? 2 ? 0 ? 2 3
2

?1

? 0 ? 5

2
2

?1

? 0 ? 7

2
2

?1

? .... ? 0 ?

2 ( 2 k ? 1)
2

?1

? 0

1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? 4 4 6 2k ? 2 2k ? 2 ? 3 2 ? 1 2k ? 3 2
3

1 ? ? ?1 )? ? 2 ? ? ? ? 2k ? ? ?2

?(13 分)
?

综上可知对 21.解析:

?n ? N ,n ? 2

,2

? 2n ? Tn ? 2

成立。 ??????(14 分)

2 (Ⅰ)由题意: f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ax ? ln x , ( x ? 0 )

a ? x ?

ln x x
2

(x ? 0)

分离参数 a 可得:
? (x) ? x ?
ln x x
/

??????(1 分)
x ? ln x ? 1 x
2

? (x) ?



,则

??????(2 分)

由于函数 y ? x , y ? ln x 在区间 ( 0 , ?? ) 上都是增函数,所以
2

函数 y ? x ? ln x ? 1 在区间 ( 0 , ?? ) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0
2

所以当 x ? ( 0 ,1 ) 时, ? ( x ) ? 0 ,当 x ? (1 , ?? ) 时, ? ( x ) ? 0
/ /

所以函数 ? ( x ) 在 x ? ( 0 ,1 ) 上是减函数,在 x ? (1 , ?? ) 上是增函数 所以 ? ( x ) min ? ? (1 ) ? 1 ,所以 a ? ? ( x ) min ? 1 即 a ? ( ?? ,1 ] ??????(4 分)
h (x) ?
|

2x

2

? ax ? 1 x

(Ⅱ)由题意知道: h ( x ) ? x ? ax ? ln x ,且
2

, (x ? 0)

所以方程

2x

2

? ax ? 1 ? 0 ( x ? 0 )

有两个不相等的实数根

x1 , x 2

,且

x1 ? (0 ,

1 2

)



又因为

x1 x 2 ?

1

,

x2 ?

1 2 x1

? (1 , ?? )

2 所以
2

,且
2

ax

i

? 2 xi

2

? 1, ( i ? 1, 2 )

????(6 分)

而 h ( x 1 ) ? h ( x 2 ) ? ( x 1 ? ax 1 ? ln x 1 ) ? ( x 2 ? ax
? [ x 1 ? ( 2 x 1 ? 1 ) ? ln x 1 ] ? [ x 2
2 2 2

2

? ln x 2 )

? (2 x 2

2

? 1 ) ? ln x 2 ]
1

? x2

2

? x 1 ? ln

2

x1 x2
1

? x2

2

? (

1 2x2

)

2

? ln

2x2 x2

? x2

2

?

1 4x2
2

? ln 2 x 2

2

, ( x 2 ? 1)

u(x) ? x

2

?



4x

2

? ln 2 x , ( x ? 1 )
2

u (x) ?
/

(2 x

2

? 1)
3

2

? 0

,则
3 4 ? ln 2 h ( x1 ) ? h ( x 2 ) ? 3 4

2x

u ( x ) ? u (1 ) ?

? ln 2

所以

,即
1 ? ax 2

??????(8 分)

r(x) ? f (x) ? g (

) ? x

2

? ax ? ln

ax ? 1 2
2

(Ⅲ)

r (x) ? 2 x ? a ?
|

a ax ? 1
2

?

2 ax

2

? a x ? 2x
2

2 ax ( x ? ?

a

? 2

)

2a ax ? 1

所以

ax ? 1

??????(9 分)

a

? 2

因为 a ? (1, 2 ) ,所以

?

a 2

?

1 a

?

2 2

?

1 2

?

1 2

2a

x? (

1 2

, ?? )

所以当

时, r ( x ) 是增函数,所以当
a ?1 2

x0 ? [

1 2

, 1]

时,

r ( x 0 ) max ? r (1 ) ? 1 ? a ? ln

, a ? (1, 2 ) ??????(10 分)

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:
1 ? a ? ln a ?1 2 ? k (1 ? a )
2

? ( a ) ? 1 ? a ? ln

a ?1 2

? k (1 ? a )
2

,令
? ( a ) ? 1 ? a ? ln
a ?1 2
2

, a ? (1, 2 )

即对任意
/

a ? (1, 2 )

? k (1 ? a )
2


1 a ?1 ? 2 ka ? 2 ka

? 0 恒成立

? (a ) ? ?1 ?

? 2 ka ? a a ?1

?

a a ?1

( 2 ka ? 2 k ? 1 )

因为 分类讨论如下:

???(11 分)

(1)若 k ? 0 ,则

? (a ) ?
/

? a a ? 1 ,所以 ? ( a ) 在 a ? (1 , 2 ) 递减,

此时 ? ( a ) ? ? (1 ) ? 0 不符合题意
? (a ) ?
/

2 ka a ?1

(2)若 k ? 0 ,则

(a ?

1 2k

? 1)

,所以 ? ( a ) 在 a ? (1 , 2 ) 递减,

此时 ? ( a ) ? ? (1 ) ? 0 不符合题意。
? (a ) ?
/

2 ka a ?1 1

(3)若 k ? 0 ,则

(a ?

1 2k

? 1)

1

?1?1

1

?1

,那么当 2 k

时,假设 t 为 2 与 2 k
(1 , min{ 2 , 1 2k ? 1})

中较

t ? min{ 2 ,

? 1}

小的一个数,即
? ( a ) ? ? (1 ) ? 0

2k

, 则 ? (a ) 在 区 间

上递减,此时

不符合题意。

?k ? 0 ? ? 1 1 1 ?1?1 k ? [ , ?? ) ? 4 ,即实数 k 的取值范围为 4 综上可得 ? 2 k 解得 ??????(14 分)


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