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【2010年高考精品】历届数学高考试题重组金卷——不等式


【2010 年高考精品】历届数学高考试题重组金卷 不等式 (A 卷)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.(2007 湖南理)不等式

x?2 ≤ 0 的解集是( ) x ?1 A. (??, 1) ? (?1 2] B. [?1 2] C. (??, 1) ? [2, ?) ? , , ? ?

D. (?1 2] ,

2.(2004 北京文、理)已知 a、b、c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项中一定成立 的是( ) 2 2 A. ab ? ac B. c(b ? a ) ? 0 C. cb ? ab D. ac(a ? c) ? 0

3.(2006 安徽文)不等式 A. (??, 2)

1 1 ? 的解集是( ) x 2 B. (2, ??) C. (0, 2) D. ?? ?,0? ? (2, ??)

4.(2004 全国卷Ⅱ文、理)已知集合 M={x|x2<4 } ,N={x|x2-2x-3<0 } ,则集合 M∩N= ( ) (A){x|x<-2 } (B){x|x>3} (C){x|-1<x<2 } (D){x|2<x<3 } 5. (2006 江西文、 若不等式 x ? ax ? 1≥ 0 对一切 x ? ? 0, ? 成立, a 的最小值为 理) 则 (
2

? ?

1? 2?



A. 0

B. ?2

C. ?

5 2

D. ?3

1 4 6.(2006 陕西文)设 x、y 为正数,则有(x+y)( + )的最小值为( x y A.15 B.12 C.9 D.6



7. (2007 安徽理)若对任意 x ?R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1



8.(2008 天津理)已知函数 f ?x ? ? ? ( ) (A) (C)

?? x ? 1 ? x ?1
(B) (D)

x?0 ,则不等式 x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1的解集是 x?0

?x | ?1 ? x ? 2 ?1? ?x | x ? 2 ?1?

?x | x ? 1?

?x | ?

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?

?x? y?0 ? 9. (2008 天津文、理)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 5 x ? y 的最大值 ?x ? 2 y ? 1 ?
为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

10.(2006 四川理)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产 品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克。 乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元。 甲、 月初一次性购进本月用原料 A、B 各 c1、c2 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克 才能使月利润总额达到最大。在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y 千克,月利润总额为z元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条 件为( )

? a1 x ? a2 y ? c1 , ? a1 x ? b1 y ? c1 , ?b x ? b y ? c , ? 2 2 (B) ? a2 x ? b2 y ? c2 , (A) ? 1 ? ? ? x ? 0, ? x ? 0, ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?

? a1 x ? a2 y ? c1 , ?b x ? b y ? c , 2 2 (C) ? 1 ? x ? 0, ? ?y ? 0 ?

? a1 x ? a2 y ? c1 , ? (D) ?b1 x ? b2 y ? c2 , ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2008 江西文)不等式 2
x2 ? 2 x ? 4

?

1 的解集为 2

_________



12.(2004 重庆文)已知

5 3 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_____________ x y

, 13.(2007 山东文)当 x ? (1 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ______ .
2

14. ( 2007 福 建 文 、 理 ) 已 知 实 数 x 、 y 满 足 ? x ? y ? 2, 则 z = 2x - y 的 取 值 范 围 是

? x ? y ? 2, ? ?0 ? y ? 3, ?

___________ .

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 15.(2005 春招北京理) 设函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M,
函数 g ( x) ? 1 ? 求: (1)集合 M,N;

2 的定义域为集合 N。 x ?1 (2)集合 M ? N , M ? N 。

16. (2008 广东文)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x ? 10)层,则每平方米的 平均建筑 费用为 560+48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少 层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

17.(2008 湖北文) 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即 图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空 白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形 广告面积最小?

18.(2007 山东文)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大 收益是多少万元?

19.(2005 全国卷Ⅰ文科)已知二次函数 f (x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集 为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x) 的解析式; (2)若 f (x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

20.(2007全国Ⅱ文)已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小 值, 且0<x1<1<x2<2. (1)证明a>0; (2)若z=a+2b,求z的取值范围。

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(A 卷) 参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 C

6 C

7 B

8 C

9 D

10 C

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11. {x|-3≤x≤1} ; 12. 15 ; 13.

?? ?,?5?

;

14. [-5,7 ]

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 3 15. 解:(Ⅰ) M ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ? {x | x ? }; 2 2 x?3 N ? {x | 1 ? ? 0} ? {x | ? 0} ? {x | x ? 3或x ? 1} x ?1 x ?1 (Ⅱ) M ? N ? {x | x ? 3}; 3 M ? N ? { x| x 或 x? .} ?1 2
16、解:设楼房每平方米的平均综合费用为 y 元,依题意得

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? N * ) 2000 x x 10800 解法 1: y ? 560 ? 2 48x ? ? 2000 x 10800 当且仅当 48 x ? ,即 x=15 时,“=”成立。 x 因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元. 10800 10800 ? 0 ,解得 x ? 15 解法 2: y ? ? 48 ? ,令 y? ? 0 ,即 48 ? 2 x x2 当 x ? 15 时, y? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y? ? 0 , y ? (560 ? 48 x) ?

因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元. 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 17.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、 不等式等知识解决实际问题的能力.(满分 12 分) 解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b



≥18500+2 25a ? 40b =18500+2 1000 ? 24500 ab . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8 y ? 25 , 其中 x 2

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >20,y>25

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20 360000 因为 x-20>0,所以 S≥2 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20 360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, 当且仅当 x ? 20 18000 此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= +25,得 y=175, x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 18. 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元, 由题意得 y ? x ? y ≤ 300,

? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

500

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .

300 l 200 100 M

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

0

100

200 300

x

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900. 200) ? 点 M 的坐标为 (100, . ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
联立 ? 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益 是 70 万元.

19.本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满 分 12 分. 解:(Ⅰ)? f ( x) ? 2 x ? 0的解集为 1,3). f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)(x ? 3),且a ? 0.因而 (

f ( x) ? a( x ? 1)(x ? 3) ? 2x ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a. ① 由方程 f ( x) ? 6a ? 0得ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0. ② 2 因为方程②有两个相等的根,所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 , 1 2 解得 a ? 1或a ? ? . 即 5a ? 4a ? 1 ? 0. 5 1 由于 a ? 0, 舍去 a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的解析式 5 1 6 3 f ( x) ? ? x 2 ? x ? . 5 5 5 1 ? 2a 2 a 2 ? 4 a ? 1 2 ) ? (Ⅱ)由 f ( x) ? ax ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ? a a 2 a ? 4a ? 1 . 及 a ? 0, 可得f ( x)的最大值为? a ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 由? 解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0. a ?a ? 0, ?
故当 f (x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0).

2 20. 解:求函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? ax ? 2bx ? 2 ? b .

(Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?( x) ? 0 的 两个根. 所以 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 时, f ( x ) 为增函数, f ?( x) ? 0 ,由 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .

? f ?(0) ? 0 ? (Ⅱ)在题设下, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 等价于 ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?
?2 ? b ? 0 ? 化简得 ? a ? 3b ? 2 ? 0 . ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ?

?2 ? b ? 0 ? 即 ? a ? 2b ? 2 ? b ? 0 . ? 4a ? 4b ? 2 ? b ? 0 ?

4 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0,a ? 5b ? 2 ? 0 .

所围成的 △ ABC 的内部,其三个顶点分别为: A ? , ?,B(2,,C (4, . 2) 2)

?4 6? ?7 7?
b

16 ,8 . 6, 7 ? 16 ? 所以 z 的取值范围为 ? ,? . 8 ? 7 ?

z 在这三点的值依次为

2

B(2, 2) C (4, 2)

1

?4 6? A? , ? ?7 7?

O

2

4

a

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 卷)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1(2007全国Ⅱ文)不等式 (A)(-3,2)

x?2 ? 0 的解集是( x?3

) (D) (-?,-2)∪(3,+?)

(B)(2,+?)

(C) (-?,-3)∪(2,+?)

2.(2007 山东文、 理) 已知集合 M ? ??1,1 ,N ? ? x ? (A) ??1,1? (B)

??1?

(C) ?0?

? 1 ? ? 2x?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ?( ) ? 2 ?

(D)

??1,0?

b c 3.(2005 上海春招)若 a 、 、 是常数,则“ a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有
a x 2 ? b x ? c ? 0 ”的( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. 件.
(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条

4.(2008 海南、 宁夏文、 理)已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取 值范围是( ) A.(0,

1 ) a1

B. (0,

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3

5.(2008 江西理) 若 0 ? a1 ? a2 ,0 ? b1 ? b2 ,且 a1 ? a2 ? b1 ? b2 ? 1 ,则下列代数式中值最大 的是( )

A. a1b1 ? a2b2

B. a1a2 ? b1b2

C. a1b2 ? a2b1

D.

1 2

6.(2008 山东文)不等式 A. ? ?3, ?

? ?

1? 2?

x?5 ≥ 2 的解集是( ) ( x ? 1) 2 ? 1 ? ?1 ? B. ? ? , C. ? , ? ?1, 3? 1? 3? ? 2 ? ?2 ?

D. ? ? , ? ?1, 1? 3?

? 1 ? ? 2 ?

7.(2005 重庆理)若 x,y 是正数,则 ( x ? A.3 B.

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是( 2y 2x



7 2

C.4

D.

9 2

8.(2007 全国Ⅰ文)下面给出的四个点中,位于 ? (A)(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2)

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( ) ?x ? y ? 1 ? 0
(D)(2,0)

? x ? y ? 10, ? 9.(2006 山东文)已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z=2x+3y 的最小值是 ? 2 x ? 7. ?
( ) (A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 10.(2007 四川文、理)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲 的投资不小于对项目乙投资的

2 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 3

万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确提财 投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2004 浙江文、理)已知 f ( x) ? ? ? 是 。

1, x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集 ? ? 1, x?0,

12.(2007 上海理)若 x,y ? R + ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是



13.(2007 湖南文、理)设集合

A ? ?? x, y ? | y ?| x ? 2 |, x ? 0?, B ? ?? x, y ? | y ? ?x ? b?, A ? B ? ? ,
b 的取值范围是
.

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? 14.(2005 山东文、理)设 x , y 满足约束条件 ? ? 0 ? x ? 3, ? 0 ? y ? 4. ?
则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 是_______
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q . 15.(2007 北京文)记关于 x 的不等式 x ?1 (错误! 未找到引用源。 若 a ? 3 , P ; ) 求 (错误! 未找到引用源。 若 Q ? P , ) 求正数 a 的取值范围.

16. 2004 全国Ⅲ卷文、 ( 理) 某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。 在温室内, 沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温 室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

2

2 17.(2006全国Ⅱ卷文)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为A,

B ? ?x |1 ? x ? 3?, A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

18.(2008 安徽文)设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2 (Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。

2 19. (2007 湖北文)(本小题满分 12 分)设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a, 方程 f ( x) ? x ? 0

的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试比较 f (0) f (1) ? f (C) 与

1 的大小,并说明理由. 15

2.0.(2006 浙江文)设 f ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c , 若a ? b ? c ? 0 ,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ)方程 f ( x) ? 0 有实根。 (Ⅱ) -2<

b <-1; a

(错误!未找到引用源。)设 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则.

3 2 ?| x1 ? x2 | < 3 3

历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(B 卷)
一、选择题:(每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1 C

2 B

3 A

4 B

5 A

6 D

7 C

8 C

9 B

10 B

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11. (?? , ] ;

3 2

12.

1 16



? 13。 [1, ?) ;

14. 27

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) x?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? . 15.解:(错误!未找到引用源。)由 x ?1 (错误!未找到引用源。) Q ? x x ? 1 ≤1 ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? .

?

?

由 a ? 0 ,得 P ? x ?1 ? x ? a ,又 Q ? P ,所以 a ? 2 ,

?

?

? 即 a 的取值范围是 (2, ?) .
16.本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力. 满分 12 分. 解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则

ab ? 8 0 0 .

蔬菜的种植面积

S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8

? 808? 2(a ? 2b).
所以 S ? 808? 4 2ab ? 648 m2 ). ( 当 a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648 m2 ). ( 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最 大种植面积为 648m2. 17.. 解:由 f(x)为二次函数知 a ? 0 令 f(x)=0 解得其两根为 x1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 a a a a

由此可知 x1 ? 0, x2 ? 0 (i)当 a ? 0 时, A ? {x | x ? x1} ? {x | x ? x2 }

6 A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 3 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 3 解得 a ? a a 7 (ii)当 a ? 0 时, A ? {x | x1 ? x ? x2 }
A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 1 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 1 解得 a ? ?2 a a 6 综上,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??) 7

18.解: (1)

f ' ( x) ? ax2 ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,所以 f ' (1) ? 0 即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1
即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立

(2) 方法一:由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g (a) ? a( x ? 2) ? x ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数
2 2

( a ? R)
所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0

于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0? 方法二:由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

?

即 a( x ? 2) ? x ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x2 ? 2 x ?2 ∴ ?2 ? x ? 0 于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0?
于是 a ? 19.解法 1:(Ⅰ)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得

?? ? 0, ? 1? a ?a ? 0, ? ? 1, ? ?0 ? ? ?? 1 ? a ? 1, ? 0 ? a ? 3 ? 2 2. 2 ? ? g (1) ? 0, ? ?a ? 3 ? 2 2 , 或a ? 3 ? 2 2 , ? ? ? g (0) ? 0.
故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 ). (Ⅱ)f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2, 令 h(a)=2a2. ∵当 a>0 时 h(a)单调增加, ∴当 0<a<3-2 2 时 0<h(a)<h(3-2 2 )=2(3-2 2 )2=2(17-12 2 )=2·

1 1 1 ? ,即f (0) ? f (1) ? f (0) ? . 16 17 ? 12 2 16
解法 2:(Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,由(Ⅰ)知 0<a<3-2 2 ∴4 2 a-1<12 2 -17<0,又 4 2 a+1>0,于是

1 1 1 ? (32a 2 ? 1) = (4 2a ? 1)( 4 2a ? 11) ? 0, 16 16 16 1 1 ? 0, 故 f(0)f(1)-f(0)< . 即 2a216 16
2a2-

解法 3:(Ⅰ)方程 f(x)-x=0 ? x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得

?? ? 0, ?x ? x ? 0 ? 1 2 x 1 ? x2 ? 1 ? a, x1 x2 ? a, 于是 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? ? ?(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? 0, ?(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0, ? ?a ? 0, ? ? ?a ? 1, ? 0 ? a ? 3 ? 2 2. ? ?a ? 3 ? 2 2 , 或a ? 3 ? 2 2 , 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 )
(Ⅱ)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2),则由 0<x1<x2<1 得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=[x1(1-x1)][x2(1-x2)]

1 1 ? x ? 1 ? x1 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? <? 1 ?? ? ? , 故f (0) f (1) ? f (0) ? . 2 2 16 ? ?? ? 16
2 2

20.本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知识 分析和解决问题的能力。满分 14 分。

证明:(Ⅰ)若 a = 0, 则 b = -c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) ? ?c ? 0 ,与已知矛盾, 所以 a ≠ 0.
2

方程 3ax ? 2bx ? c = 0 的判别式 ? ? 4(b2 ? 3ac), 由条件 a + b + c = 0,消去 b,得
2

1 3 ? ? ? ? 4(a 2 ? c 2 ? ac) ? 4 ?(a ? c)2 ? c 2 ? ? 0 2 4 ? ?
故方程 f (x) = 0 有实根. (Ⅱ)由 f (0)f (1) ? 0 ,可知 c(3a ? 2b ? c) ? 0 又 a + b + c = 0,所以 c ? ?(a ? b) 所以 (a ? b)(2a ? b) ? 0 ,又 a ≠ 0. 所以 a ? 0
2

b b b ? 1)( ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? ? ?1, a a a 2b c a?b ?? (Ⅲ)由条件,知 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? , 3a 3a 3a 4 b 3 2 1 所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? ( ? ) ? . 9 a 2 3 b 1 4 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 因为 ?2 ? ? ?1, 所以 a 3 9 3 2 故 ? x1 ? x2 ? 3 3
所以 (



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