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2017届河北衡水中学高三摸底联考(全国卷)数学(文)试题(解析版)


2017 届河北衡水中学高三摸底联考(全国卷) 数学(文)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? x | x ? 3x ? 0 , B ? ? x |1 ? x ? 3? ,则如图所示阴影部分表示的集合
2

?

?

为(



A. ?0,1? 【答案】

C 【 解

B. ? 0,3? 析

C. ?1,3? 】

D. ?1,3? 试 题 分 析 :

A ? ? x | x 2 ? 3x ? 0? ? ? x | x ? 0或x ? 3? , B ? ? x |1 ? x ? 3? , ?R A ? ?x | 0 ? x ? 3? , 图
中阴影部分所表示的集合为 ?R A ? B ? ?x |1 ? x ? 3? ,故选 C. 【考点】集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的运算;容易题;有关集合运算的考题,在高考中多以选择 题或填空题形式呈现,试题难度不大,多为低档题,对集合运算的考查主要有以下几个 命题角度:1.离散型数集间的交、并、补运算;2.连续型数集间的交、并、补运算;3. 已知集合的运算结果求集合;4.已知集合的运算结果求参数的值(或求参数的范围). 2.已知向量 m ? ? a, 2 ? , n ? ?1,1 ? a ? ,且 m ? n ,则实数 a 的值为( A. 0 B. 2 【答案】B C. ?2 或 1 D. ?2

?

?

??

?

??

?



【解析】试题分析:因为 m ? n ,所以 m ? n ? a ? 2(1 ? a) ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,故选 B. 【考点】向量的坐标运算. 3 .设复数 z 满足 ?1 ? i ??z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则复数 z 对应的点位于复平面内
3

??

?

?? ?

( ) A.第一象限 【答案】A

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】试题分析:因为 ?1 ? i ??z ? 1 ? 2i ,所以 z ?
3

1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? i) 3 1 ? ? ? i, 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

即复数 z 对应的点位于复平面内第一象限,故选 A. 【考点】1.复数相关的概念;2.复数的运算. 4.已知 4 张卡片上分别写着数字 1, 2,3, 4 ,甲、乙两人等可能地从这 4 张卡片中选择 1 张,则他们选择同一张卡片的概率为( )

第 1 页 共 16 页

A. 1

B.

1 16

C.

1 4

D.

1 2

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 甲 、 乙 两 人 选 择 卡 片 的 所 有 基 本 事 件 为

(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4) , (3,1),

(3, 2) ,(3,3),(3, 4),(4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4) ,共 16 个基本事件,选择同一张卡片的有
4 个,所以他们选择同一张卡片的概率为 P ? 【考点】古典概型. 5 .若直线 l : mx ? ny ? 4 和圆 O : x2 ? y 2 ? 4 没有交点,则过点 ? m, n ? 的直线与椭圆

4 1 ? ,故选 C. 16 4

x2 y 2 ? ? 1 的交点个数为( 9 4
A. 0 B.至多有一个 【答案】D

) C. 1 D. 2

【 解析】 试题分 析:因为 直线 l : mx ? ny ? 4 和 圆 O : x2 ? y 2 ? 4 没有 交点,所 以

4 m ?n
2 2

? 2 , 即 m2 ? n2 ? 2 , 所 以 点 (m, n) 在 圆 O 内 , 即 点 (m, n) 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 内部,所以过点 (m, n) 的直线与椭圆有两个公共点,故选 D. 9 4
【考点】1.直线与圆的位置关系;2.点与圆、点与椭圆的位置关系;3.直线与椭圆的位 置关系. 6.在四面体 S ? ABC 中, AB ? BC, AB ? BC ? 2, SA ? SC ?? 2, SB ? 6 ,则该 四面体外接球的表面积是( A. 8 6? 【答案】D 【解析】试题分析:因为 AB ? BC , AB ? BC ? 2, 所以 AC ? SA ? SB ? 2 ,设 AC 的 中 点 为 D , 连 接 AD , 则 三 角 形 S A C 的 外 心 O1 为 在 线 段 AD 上 , 且 B. 6? ) C. 24? D. 6?

DO1 ?

1 3 AD ? D ? A CB D ,A C ? , 又三角形 ABC 的外心为 D , 又S 3 3

, 所以 AC ?

平面 SDB ,过 D 垂直于平面 ABC 的直线与过 O1 垂直于平面 SAC 的直线交于点 O , 则 O 为四面体外接球的球心,在三角形 SDB 中,由余弦定理得 cos ?SDB ? ?

3 ,所 3

第 2 页 共 16 页



? 3 sin ?ODO1 ? sin(?SDB ? ) ? ? cos ?SDB ? 2 3
1







O

? O
2

t 1 ?O a

6 3 2 R ? SO12 ? OO1 2 ? ,所 n D? ,设外接圆半径为 O ? D,则 R O 1 2 6

以 S ? 4? R ? 6? ,故选 D.

【考点】1.球的切接问题;2.球的表面积与体积. 7.已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,公差为 d ,若 值为( A. ) B.

S 2017 S ? 17 ? 100 ,则 d 的 2017 17

1 20

1 10

C. 10

D. 20

【答案】B

n(n ? 1 ) d S (n ? 1 ) 2 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 n ? ? a1 ? d , 所 以 n n 2 S 2 0 1 7S 2017 ? 1 17 ? 1 1 ? ?1 a17? d ? (a1 ? d ) ? 1000d ? 100 ,所以 d ? ,故选 B. 2017 17 2 2 10 【考点】等差数列的前 n 项和公式与性质. na1 ?
8.若函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0? 的部分图象如图所示,则关于 f ? x ? 的描述中 正确的是( )

A. f ? x ? 在 ? ?

? 5? ? ? , ? 上是减函数 ? 12 12 ?

第 3 页 共 16 页

B. f ? x ? 在 ?

? ? 5? , ?3 6

? ? 上是减函数 ?

C. f ? x ? 在 ? ? D. f ? x ? 在 ? 【答案】C

? 5? ? ? , ? 上是增函数 ? 12 12 ? ? ? 5? , ?3 6 ? ? 上是增减函数 ?

【解析】试题分析:由图象可知, A ? 2, T ? 2[

?

? 2? ? (? )] ? ? ,所以 ? ? ? 2 ,这 3 6 T

? (? ) 6 ? ? 时 , f ( x) 有 最 大 值 , 即 时 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) , 又 因 为 当 x ? 3 2 12 ? ? ? ? ? ? f ( )? 2 s i n ( ?2 ? ? ?) , 2 所 以 sin( ? ? ) ? 1 , 所 以 ? ? ? , ? ? , 即 12 12 6 6 2 3
f ( x) ? 2 s i n ( x 2 ?

?

?

?
3

) ,由正弦函数的性质可知 f ? x? 在 ? ?

? 5? ? ? , ? 上是增函数,故选 ? 12 12 ?

C. 【考点】三角函数的图象与性质. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,属中档题;三角函数的图象与性质 是高考的必考内容, 根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定 A , 再根据 周期确定 ? ,由最高点的值或最低点的值确定 ? ,求出解析式后再研究函数相关性质. 9.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

23 ,则( 12



A. a ? 13 B. a ? 12 C. a ? 11 D. a ? 10 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 该 程 序 框 图 逆 反 心 理 表 示 的 算 法 功 能 为

S ? 1?
, 由2?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 1?1? ? ? ? ? ??? ? ? 2? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 k ? (k ? 1) 2 2 3 3 4 k k ?1 k ?1

1 23 ? 提, k ? 11 ,这时运行程序得 k ? 11 ? 1 ? 12 ,所以 a ? 11 符合题意, k ? 1 12

故选 C. 【考点】程序框图. 第 4 页 共 16 页

10. 函数 f ? x ? ? 是( A. ? )

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的一个充分必要条件 3 2
B. ?1 ? a ? ? D. ?

4 1 ?a?? 3 3

1 2

C. ?2 ? a ? 0 【答案】D

6 3 ?a?? 5 16

【解析】试题分析: f ? ? x ? ? ax2 ? ax ? 2a ? a( x ? 2)( x ?1) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 或

x ? 1 , 所 以 函 数 f ( x) 的 两 个 极 值 点 为 ?2 和 1 , 所 以 函 数

1 1 f ? x ? ? ax3 ? ax 2 ? 2ax ? 2a ? 1 的 图 象 经 过 四 个 象 限 的 一 个 充 分 必 要 条 件 是 3 2 6 3 ? ? ? a ? ? ,故选 D. f (? 2 )f ( ? 1) ? 0 5 16
【考点】1.导数与函数的单调性、极值;2.函数的图象与性质. 11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

113 3

B. 35

C.

104 3

D.

107 4

【答案】C 【解析】试题分析:上三视图可知,该几何体为下面的多面体 ABCDEF ,其体积可分 割为三棱柱 EGH ? FG1H1 与两个四棱锥 F ? AG1H1D 、 E ? GBCH 的体积,所以多 面体的体积 V ?
F

1 1 104 ? 4? 4?3 ? 2? ? 2? 2? 4 ? ,故选 C. 2 3 3
E

D A

H1

H

C

G1

G

B

【考点】多面体的表面各与体积. 12.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?log5 ?1 ? x ?? x ? 1? ? ?? ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 1?
2

,则关于 x 的方程 f ? x ?

? ?

1 ? ? 2 ? ? a ,当 x ?

1 ? a ? 2 时实根个数为(

) 第 5 页 共 16 页

A. 5 个 B. 6 个 【答案】B

C. 7 个

D. 8 个

【解析】试题分析:令 t ? x ?

1 ? 2 ,则 x

1 ? ? f ? x ? ? 2 ? ? a 转化为 f (t ) ? a ,在直角坐 x ? ?

标系内作出函数 y ? f ( x) 与函数 y ? a 的图象, 由图象可知, 当 1 ? a ? 2 时, f (t ) ? a 有 三 个 根

t1 , t2 , t3
x







?2 4t? 1

? 4? t,2 1 ?

由 ?t3 2 , , ? 2

?

3

x?

1 2 ? x

1

t?,

1 1 ? 2 2? t , ? x x x

?3 2 共有 ?t6 ,个不同的解,故选 ? 得 B. x

【考点】函数与方程. 【名师点睛】 本题考查函数与方程, 属中档题; 函数与方程是最近高考的热点内容之一, 解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解, 如本题就是将方程转化为两个函 数图象交点,通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.

二、填空题 13.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ? 2, ?1? ,则它的离心率 为 【答案】 .

5 2

【解析】试题分析:因为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点

? 2, ?1? ,所以 ?1 ? ? a ? 2 ,即 a ? 2b, c ?
【考点】双曲线的几何性质;
2

b

a 2 ? b2 ? 5b ,所以 e ?

c 5 ? . a 2

14.曲线 f ? x ? ? x ? 3x ? 2ln x 在 x ? 1 处的切线方程为 【答案】 x ? y ? 3 ? 0



2 【 解 析 】 试 题 分 析 : f ?1? ? 1 ? 3 ? 2ln1 ? ?2 , f ? ? x ? ? 2 x ? 3 ?

2 , x

f ? ?1? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1,所以切线方程为 y ? 2 ? x ? 1 即 x ? y ? 3 ? 0 .
第 6 页 共 16 页

【考点】导数的几何意义. 15.某大型家电商场为了使每月销售 A 和 B 两种产品获得的总利润达到最大,对某月 即将出售的 A 和 B 进行了相关调查,得出下表:

如果该商场根据调查得来的数据,月总利润的最大值为 【答案】 960

元.

?300 x ? 200 y ? 3000 ?50 x ? 100 y ? 1100 ? 【解析】试题分析:设月销售 A 产品 x 台,B 产品 y 台,则 ? ,利 ?x ? 0 ? ?y ? 0
润 z ? 60 x ? 80 y ,在直角坐标系中作出可行域,由图可知当目标函数经过可行域内的 点 B(4,9) 时,利润的最大值,最大值为 z ? 60 ? 4 ? 80 ? 9 ? 960 .

【考点】线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划,属中题;线性规划也是高考中常考的知识点,一般以 客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有: 纵截 距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图 形是解决问题的关键. 16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型: 数字 1 出现在第 1 行; 数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5, 4 (从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行, 依此类推,則第 20 行从左至右的第 4 个数字应是 .

第 7 页 共 16 页

【答案】 194 【解析】试题分析:则题意可知,前 19 行共有

1 ? 19 ? 19 ? 190 ,所第 20 行从左到右 2

的数字依次 191,192,193,194,? ,所以第 4 个数为 194 . 【考点】1.归纳推理;2.等差数列的前 n 项和公式. 【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前 n 项和公式,属中档题;归纳推理 是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理, 解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其 中的规律,要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性. 三、解答题 17.已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

b2 ? c2 ? a2 ? bc .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2 2

【答案】 (1) 60 ? ;(2)

3 4

2 2 2 2 2 2 【解析】试题分析: (1)由 b ? c ? a ? bc 得 b ? c ? a ? bc 代入余弦定理即可求

出角 A ; (2)由正弦定理先求出边 a ,再由余弦定理可求出 bc ,代入三角形面积公式 即可.
2 2 2 2 2 2 试题解析: (1)由 b ? c ? a ? bc 得 b ? c ? a ? bc ,

故 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2
∴ A ? 60?

又∵ 0 ? A ? ? (2)由

a ? 2 得 a ? 2sin A ? 3 sin A

2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A



? 3?

2

1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 60? ,即 3 ? 4 ? 2bc ? ∴ bc ? 1 2

∴ S?ABC ?

1 1 3 . bc sin A ? ?1? sin 60? ? 2 2 4
第 8 页 共 16 页

【考点】正弦定理与余弦定理. 【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用,容易题;解三角形时,有时可用正弦定理, 有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或 边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则 考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 18.如图,三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB, AB ? AA1, ?BAA1 ? 60? .

(1)证明: AB ? AC ; 1 (2)若

AB ? CB ? 2, AC 1B 1C1 的体积. 1 ? 6 ,求三棱住 ABC ? A

【答案】 (1)见解析; (2) 3

AB 垂直即可, 【解析】试题分析: (1)欲证 AB ? AC ,可构造过 AC 1 1 的一个平面与
取 AB 的中点 O ,构造平面 OAC , 证明 AB ? 平面 OAC 即可; (2) 由题设知 ?ABC 与 1 1

?AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,只要证 OA1 ? 平面 ABC ,即可求三棱柱的体积.
试题解析: (Ⅰ)证明:如图,取 AB 的中点 O ,连结 OC , OA1 , A1B .因为 CA ? CB , 所以 OC ? AB . 由于 AB ? AA 1 B 为等边三角形, 1 , ?BAA 1 ? 60 ,故 ?AA
?

所以 OA 1 ? AB .

AB ? 平面 OAC 因为 OC ? OA . 1 1 ? 0 ,所以
又 AC ,故 AB ? AC . ? 平面 OAC 1 1 1

第 9 页 共 16 页

(Ⅱ)由题设知 ?ABC 与 ?AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC ? OA ? 6 ,则 A1C ? OC ? OA1 ,故 OA1 ? OC . 1 ? 3 .又 AC 1
2 2
2

因为 OC ? AB ? 0 ,所以 OA1 ? 平面 ABC, OA 1B 1C1 的高. 1 为三棱柱 ABC ? A 又 ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 . 故三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? S?ABC ? OA 1 ? 3? 3 ? 3 . 【考点】1.线面垂直的判定与性质;2.多面体的表面积与体积. 19. 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业, 在一个开学季内, 每售出 1 盒 50 30 该产品获利润 元;未售出的产品,每盒亏损 元.根据历史资料,得到开学季市场 需求量的频率分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x (单位:盒,100 ? x ? 200 )表示这个开学季内的市场需求量, (单位:元)表示这个 开学季内经销该产品的利润. (1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的中位数; (2)将 y 表示为 x 的函数; (3)根据直方图估计利润不少于 4800 元的概率.

【答案】 (1)

?80 x ? 4800,100 ? x ? 160 460 ; (2) y ? ? ; (3) p ? 0.9 3 ?8000,160 ? x ? 200

1 时对应的横坐标即为 2 中位数的值; (2)每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元,分
【解析】试题分析: (1)频率分布直方图中从左到右面积之和为 需求量大于 160 与需求量在 [100,160] 之间分别求其利润即可列出函数关系式; (3)由

80 x ? 4800 ? 4800 ,解得 x ? 120 ,由频率分布表可知,利润在 100 ? x ? 120 之间的 概率为 0.1 ,由对立事件即可求概率.
试题解析: (1)由频率直方图得:需求量为 ?100,120? 的频率= 0.05 ? 20 ? 0.1 , 需 求 量 为 ?120,140? 的 频 率 = 0.01? 20 ? 0.2 , 需 求 量 为 [140,160 ) 的 频 率 = 0.015 ? 20 ? 0.3 , 则中位数 x ? 140 ?

2 460 ? 20 ? 3 3
第 10 页 共 16 页

(2)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元,

y ? 50x ? 30 ? ?160 ? x ? ? 80x ? 4800 所以当 100 ? x ? 160 时, ,
当 160 ? x ? 200 时, y ? 160 ? 50 ? 8000

?80 x ? 4800,100 ? x ? 160 y?? ?8000,160 ? x ? 200 所以 .
(3)因为利润不少于 4800 元,所以 80 x ? 4800 ? 4800 ,解得 x ? 120 , 所以由(1)知利润不少于 4800 元的概率 p ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 【考点】1.频率分布直方图;2.对立事件的概率. 20 .在平面直角坐标系 xOy 中 , 过点 C ? 2, 0? 的直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两 点, A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? . (1)求证: y1 y2 为定值; (2) 是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在, 求该直线方程和弦长;如果不存在,说明理由. 【答案】 (1)见解析; (2)存在平行于 y 轴的定直线 x ? 1 被以 AC 为直径的圆截得的 弦长为定值. 【解析】试题分析: (Ⅰ)设出过点 C ? 2,0? 的直线方程,与抛物线方程联立消去未知 数 x ,由根与系数关系可得 y1 y2 ? ?8 为定值; (Ⅱ)先设存在直线 l : x ? a 满足条件, 求 出 以 AC 为 直 径 的 圆 的 圆 心 坐 标 和 半 径 , 利 用 勾 股 定 理 求 出 弦 长 表 达 式

2 r 2 ? d 2 ? ?4(1 ? a) x1 ? 8a ? 4a 2 ,由表达式可知,当 a ? 1 时,弦长为定值.
试题解析: (Ⅰ) (解法 1)当直线 AB 垂直于 x 轴时, y1 ? 2 2 , y2 ? ?2 2 , 因此 y1 y2 ? ?8 (定值), 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) 由?

? y ? k ( x ? 2) 2 得 ky ? 4 y ? 8k ? 0 2 ? y ? 4x

? y1 y2 ? ?8 因此有 y1 y2 ? ?8 为定值
(解法 2)设直线 AB 的方程为 my ? x ? 2

由?

?my ? x ? 2 2 得 y ? 4my ? 8 ? 0 2 y ? 4 x ?

? y1 y2 ? ?8

因此有 y1 y2 ? ?8 为定值. 第 11 页 共 16 页

(Ⅱ)设存在直线 l : x ? a 满足条件,则

AC 的中点 E (

x1 ? 2 y1 , ) , AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 2 2
1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y1 ? x1 ? 4 2 2 2

因此以 AC 为直径的圆的半径 r ? 又 E 点到直线 x ? a 的距离 d ?|

x1 ? 2 ?a| 2
1 2 x ?2 ( x1 ? 4) ? ( 1 ? a) 2 4 2

所以所截弦长为 2 r ? d
2

2

?2

?

x1 ? 4 ? ( x1 ? 2 ? 2a ) 2 ? ? 4(1 ? a ) x1 ? 8a ? 4a 2

2

当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x ? 1 . 【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质;2.直线与抛物线的位置关系;3.直线与圆的 位置关系. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线 与圆的位置关系,属难题;解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种: (1)从特殊入手, 求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关; (2)直接计算、推理, 并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数 运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运 算. 21.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ? a, b ? R ? .
2

(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (2)设 a ? 0 ,且对于任意的 x ? 0, f ? x ? ? f ?1? ,试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 【答案】 (1) f ( x ) 的最大值为 2 , f ( x ) 的最小值为 2 ? ln 2 ; (2) ln a ? ?2b
2 【解析】试题分析: (1)当 a ? ?1, b ? 3 时, f ? x ? ? ?x ? 3x ? ln x ,且 x ? ? , 2 ? , 2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

f ?? x? ? ?

? 2 x ? 1?? x ? 1? ,讨论函数在区间 ? 1 , 2? 上的单调性与极值,与两端点值比
x

? ?2

? ?

较即可求其最大值与最小值; (2) 因为 x ? 0, f ? x ? ? f ?1? , 所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) , 设 f ?( x) ? 0 的两个根为 x1 , x 2 ,则 x1 x 2 ? ?

1 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0 ,则 x2 ? 1 , 2a

所 以 有 即 b ? 1 ? 2a , 令 g ? x ? ? 2 ? 4x ? ln x , 求 导 讨 论 函 数 g ( x) 的 单 调 性 可 得

?1? g ? x ? ? g ? ? ? 1 ? ln 4 ? 0 ,即 g (a) ? 0 ,可证结论成立. ?4?

第 12 页 共 16 页

试题解析: (1)当 a ? ?1, b ? 3 时, f ? x ? ? ?x2 ? 3x ? ln x ,且 x ? ? , 2 ? , 2

?1 ?

? ?

f ? ? x ? ? ?2 x ? 3 ?
由 f ?( x) ? 0 ,得

? 2 x ? 1?? x ? 1? . 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ?? ?? x x x

1 ? x ? 1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 , 2 1 所以函数 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递增;函数 f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减, 2
所以函数 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 仅有极大值点 x ? 1 ,故这个极大值点也是最大值点, 2 故函数在 ? , 2 ? 上的最大值是 f ?1? ? 2 , 2 又 f ? 2 ? ? f ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ? ? 故 f ? 2? ? f ?

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

?1? ?2?

3 ?5 ? 3 ? ln 2 ? ? ? 2ln 2 ? ? ln 4 ? 0 , 4 ?4 ? 4

?1 ? ?1? ? ,故函数在 ? , 2 ? 上的最小值为 f ? 2? ? 2 ? ln 2 . ?2 ? ?2?

(Ⅱ)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取到最小值, 又 f ' ( x) ? 2ax ? b ?

1 2ax 2 ? bx ? 1 ? x x

设 f ' ( x) ? 0 的两个根为 x1 , x 2 ,则 x1 x 2 ? ? 不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0 ,

1 ?0 2a

则 f ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,在 ( x2 ,??) 单调递增,故 f ( x) ? f ( x2 ) , 又 f ( x) ? f (1) ,所以 x2 ? 1 ,即 2a ? b ? 12 ,即 b ? 1 ? 2a 令 g ? x ? ? 2 ? 4x ? ln x ,则 g ' ? x ? ? 当0 ? x ?

1? 4x 1 令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? , x 4

1 ? 1? 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增; 4 ? 4?

当x

1 1 ? x 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 在( , ? ? )上单调递减; 4 4

因为 g ? x ? ? g ?

?1? ? ? 1 ? ln 4 ? 0 ?4?

故 g ? a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 ,即 ln a ? ?2b . 【考点】1.导数与函数的单调性、极值、最值;2.函数与不等式.

第 13 页 共 16 页

22.如图, A, B, C , D 四点在同一个圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的 延长线上.

(1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

FB ,证明: EF ? CD . (2)若 EF ? FA?
【答案】 (1)

6 ;(2)见解析. 6

【解析】试题分析: ( 1 ) 由 圆 的 知 识 及 已 知 先 证 ?ECD ? ?EAB , 所 以 有

EC ED DC EC 1 ED 1 CD ? ? ? , ? ,可求出 ,又 ; ( 2 ) 欲 证 EF ? CD, 证 EA EB AB EB 3 EA 2 AB ?F E A ? ? E DC 即可,由已知先证 ?FAE ? ?FEB 由此可得 ?FEA ? ?FBE ,又由 ? EDC ? ?EBF ,即可证 ?FEA ? ?EDC . 圆的性质得
试题解析:解:因为 A, B, C , D 四点共圆;??EDC ? ?BEF ,又

? ?DEC ? ?BEA,??ECD ? ?EAB,?

EC ED DC ? ? EA EB AB

,



?


EC 1 ED 1 CD 6 ? , ? , ? . EB 3 EA 2 AB 6
2 )

? EF 2 ? FA?FB,?

EF FB ? FA EF

,



? ?EFA ? ?BFE,??FAE ? ?FEB ??FEA ? ?FBE ,
又因为 A, B, C , D 四点共圆;??EDC ? ?EBF ??FEA ? ?EDC ? EF ? CD .

【考点】1.三角形相似;2.圆的性质与应用. 23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l 的 参数方程为: 第 14 页 共 16 页

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4cos? . ? ?y ? 1 t ? ? 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值. 【答案】 (1) 曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ,l 的普通方程为 x- 3 y+1 ? 0 ;
2 2

(2) 7 . 【解析】试题分析: (1)在极坐标方程两边同乘以 ? ,利用极坐标与直角坐标的互化公 式即可将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程,消去参数即可求出直线 l 的普通方 程; (2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,由直线参数的几何意义与根与系数 关系即可求 PQ . 试题解析: ( 1 ) ? ? ? 4cos? ,? ? 2 ? 4cos? , 由

? 2 ? x2 ? y2 , ? cos? ? x , 得

x2 ? y 2 ? 4 x ,
? 3 x ? ?1 ? t ? 2 ? 2 2 , 消 去 t 解得: 所以曲 线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 , 由 ? ?y ? 1 t ? ? 2
x- 3y +1? 0.所以直线 l 的普通方程为 x- 3 y+1 ? 0 .

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 x2 ? y 2 ? 4 x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 , (2)把 ? ?y ? 1 t ? ? 2
设 其 两 根 分 别 为
2

t1 , t2
2





t1 ?

3 t2 ?

3

, t1 ?

t2

5? ?

,? P

? 1Q . ?

t

? t1 4

?

2

t

7 ?t

【考点】1.极坐标与直角坐标的互化;2,参数方程与普通方程的互化;3.直线参数方 程参数的几何意义. 24.已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ? x ? ? x ?1 ? 2 . (1)解不等式 g ? x ? ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) ?x | ?2 ? x ? 4? ; (2) ? ??, ?5? ? ? ?1, ??? . 【 解 析 】 试 题 分 析 : ( 1 )

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g ? x ? ? 5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ? ?5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ? x ? 1 ? 3 ???3 ? x ? 1 ? 3 , 解
这即可; ( 2 ) 任 意 x1 ? R , 都 有 x2 ? R , 使 得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成 立 等 价 于

? y | y ? f ? x?? ? ? y | y ? g ? x?? ,分别求函数 f ( x) 与 g ( x) 的值域即可.
试题解析: (1) 由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5 , ? x ?1 ? 3 ,解得 ?2 ? x ? 4 . 所以原不等式的解集为 ?x | ?2 ? x ? 4? . (2)因为对任意 所以 有

x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立

? y | y ? f ? x?? ? ? y | y ? g ? x?? ,
f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 ? ? 2 x ? a ? ? ? 2 x ? 3? ? a ? 3
, 当 且 仅 当

? 2x ? a?? 2x ? 3? ? 0 时,取等号, g ? x? ? x ?1 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 3 ? 2 从而 a ? ?1 或
a ? ?5 .所以实数 a 的取值范围 ?

??, ?5? ? ??1, ???

.

【考点】1.含绝对值不等式的解法;2.含绝对值函数值域的求法.

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