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安徽省淮北一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷


淮北一中 2014-2015 学年度高三第四次月考 数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 题,每题 5 分,合计 50 分) 1、复数 z 满足 (2 ? i) z ? ?3 ? i ,则 z =( A. 2 ? i 2、若 a ?
? ?

) D. ? 1 ? i )

B. 2 ? i
? ? ?

C. ? 1 ? i
? ?

2 , b ? 2, ( a ? b ) ? a ,则 a , b 的夹角是(
B.

A.

5? 12

?
3
2 2

C.

?
6

D.

?
4
) D.

3、已知 a ? b, ab ? 1, 则 a ? b 的最小值是(
a ?b

A. 2 2

B.

2

C.

2

1
)

4、 “ 4 ? k ? 6 ”是“方程 A.必要不充分条件 C.充要条件

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆”的( 6?k k ?4
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

5、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a13 ? ( A. 143 B. 156 C. 168 D. 195

)

6、直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角的变化范围是( A. (0,

)

3? ,? ) 4 4 4 2 7、已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能

?

)

B. (0, ? )

C. (0,

?

]

D. [0,

?

]?[

是(



8、已知 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ?1 ? 0 , 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约 ?2 x ? y ? 3 ? 0
2 2

束条件下取到最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为(
1

)

A.5

B.4

C. 5

D.2

9、已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线 C 的 焦点,若 AF ? 2 BF ,则 k ? ( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

10、已知函数 f ( x) 的导函数的图像如图所示, a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的 边,且 3a ? 3b ? c ? 4ab ,则一定成立的是(
2 2 2



y

A. f (sin A) ? f (cosB) C. f (sin A) ? f (sin B)

B. f (sin A) ? f (cosB) D. f (cos A) ? f (cosB)

O

1

x

二、填空题(共 5 题,每题 5 分,合计 25 分) 11、 已知幂函数 y ? f ? x ? 的图像经过点 ?

?1 1? 则该函数的解析式为 , ?, ?4 2?

. .

12、 已知函数 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 单调递增, 则实数 m 的取值范围为

13、已知圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 和两点 A(?m,0), B(m,0)(m ? 0) ,若圆 C 上存在点 P 使得 ?APB ? 90 ,则 m 的最大值为
?

.

14、已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,外接圆半径是 1,且满足

2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (sin A ? sin B)b ,则 ?ABC 的面积的最大值为
15、已知定义在R上的函数 f ?x ? 是奇函数且满足 f ?

.

?3 ? ? x ? ? f ?x ? , f ?? 2? ? ?3 ,数列 ?2 ?

?an ?满足 a1 ? ?1 ,且
则 f ?a5 ? ? f ?a6 ? ?

Sn a ? 2 ? n ? 1 (其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和), n n
.

三、解答题(共 6 题,合计 75 分) 16、(本题 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 ,

cos B ?

7 . 9 (1)求 a , c 的值;
(2)求 sin( A ? B) 的值.

2

17、(本题 12 分)已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a 21 的 等比中项. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N ? ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 {
2 18、 (本题 12 分)已知向量 a ? (mx , ?

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

? 1 ? cos 2 x x 1 ? (2 cos 2 ? 1) 2 ), b ? ( ,? x ) , (m 2 2 mx ? 1

是常数) 。 (1)若 f ( x) ?

1
? ?

是定义域内的奇函数,求 m 的值;

a? b

(2)若 f ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围。 19、(本题 12 分) 已知椭圆 C:

直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长为 2,离心率为 。 2 a b 2

(2)若线段 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) ,证明: 2k 2 ? 1 ? 2m 。
20、 (本题 13 分)已知数列 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a4 ? ?

1 2

7 , 16

且有 S1 , S3 , S2 成等差数列; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 已知 bn ? n( n ? N? ) , 记 Tn ?

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3

?

bn , 若 (n ? 1 ) 2 ? mT ( n ?n ? 1 ) an

对于 n ? 2 恒成立,求实数 m 的范围.
21、 (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1 ( a 为常数).
2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 ,如果对于任意的 x1 , x2 ? (0,??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 恒成立, 求实数 a 的取值范围。

淮北一中 2014-2015 学年度高三第四次月考 数学试卷(文科)
3

答案: 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 13、6 5 C 14、 6 D 7 A 15、3 8 B 9 D 10 A

11、 f ( x) ?

x

12、 (??,1]

3 3 4

7 14 与余弦定理得, a 2 ? c 2 ? 4 ? ac , 9 9 又 a+c=6,解得 a ? c ? 3 ?????6 分
16、 (1)由 cosB=

(2)又a=3,b=2, sin B ?

4 2 2 2 1 与正弦定理可得, sin A ? , cos A ? , 9 3 3
10 2 27
?????12分

所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=

17、 (1)设等差数列 {a } 的公差为 d ( d ? 0 ), n 则?

? ? d ? 2, ?6a1 ? 15d ? 60, 解得 ? ∴ an ? 2n ? 3 .???5分 2 a ? 5, a a ? 20 d ? a ? 5 d , ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 1

* (2)由 bn?1 ? bn ? an ,∴ bn ? bn?1 ? an?1 n ? 2, n ? N ,

?

?

bn ? ?bn ? bn?1 ? ? ?bn?1 ? bn?2 ? ?
? an?1 ? an?2 ? ? a1 ? b1

? ?b2 ? b1 ? ? b1

? ? n ?1?? n ?1? 4? ? 3 ? n ? n ? 2? .??? 8分
* ∴ bn ? n ? n ? 2? n ? N .∴

?

?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?

1? 1 1 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? 2? 3 2 4

?

1 1 ? ? ? n n?2?

1?3 1 1 ? 3n2 ? 5n .???12分 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?
2 ? 2 1 ? cos 2 x ? ? ? ? 1 ? 2 x ? ? 2cos ? 1? ? ? ? mx 2 ,1? b ? ? , ?x ? 得 18、由 a ? ? mx , ? ? 2 2 ? ? ? ? mx ? 1 ? ?

f ? x? ?

1 1 mx ? 1 1 ? ? ? m ? ,?????3 分 x x a ? b mx2 ? 1 ? x mx ? 1

4

因为

f ? x ? 为定义域内的奇函数,所以 f ? ?x ? ? ? f ? x ? , x ? 0
1 1 ? ? m ? 恒成立,即 m ? 0 ??????6 分 x x x ? 0 即 x ? ? mx ?1? ? 0 mx ? 1
(*)的解为 x ? 0 (*)的解为 x ? 0 或 x ? (*)????8 分

即m?

(2)由 a ? b ? 0 ? 当 m ? 0 时, 当m ? 0时

1 m

当m ? 0时

(*)的解为

1 ? x ? 0 ???????11 分 m

综上所述????????????????????????12 分 19、 (1)设椭圆 C 的标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? 由已知可得 ?2b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
解得 a 2 ? 2, b 2 ? 1 . 故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 .???5 分 2

? y ? kx ? m ? (2)联立方程 ? x 2 ,消 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
当 ? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? 1 ? m 2 时,

x1 ? x 2 ?

2m 2 ? 2 ? 4km x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2km m ? ? , 1 . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

5

y1 ? y 2 1 ? (? ) 2 2 ? ? 1 ,化简整理得: 2k 2 ? 1 ? 2m . ???12 分 又 x1 ? x2 k ?0 2
20、 (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,? S1 , S3 , S 2 成等差,? 2S 3 ? S1 ? S 2 ,

1 , ? 2a1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1 (2 ? q) ,得 2q 2 ? q ? 0 , ? q ? ? 或 q ? 0 (舍去) 2 7 1 1 ? a1 ? a 4 ? a1 (1 ? q 3 ) ,? a1 ? ? ,? a n ? (? ) n , ??5 分 又? 16 2 2
(Ⅱ)

b 1 bn ? n, an ? (? )n ,? n ? n ? 2n , 2 an

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??Tn ? 2 ? 22 ? 23 ?

? n ? 2n ? ?(n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

? 2n ? n ? 2n?1

2 ? 2n?1 ?Tn ? ?( ? n ? 2n?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 1? 2
若 (n ?1) ? m(Tn ? n ?1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ?1)2 ? m[(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? n ?1] ,
2

(n ?1)2 ? m(n ?1) ? (2n?1 ?1) ,? m ?

n ?1 对 n ? 2 恒成立 2n ?1 ? 1

??10 分

令 f ( n) ?

n ?1 n n ?1 (2 ? n) ? 2n?1 ? 1 , f (n ? 1) ? f (n) ? n? 2 ? ? ?0 2n ?1 ? 1 2 ? 1 2n?1 ? 1 (2n? 2 ? 1)(2n?1 ? 1)
1 7

所以当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? f (n) , f ( n) 为减函数,? f (n) ? f (2) ?

?m ?

1 7
'

??13 分

(1)由题意知 f 21、

? x? ?
'

a ?1 2ax ? a ? 1 ? 2ax ? , x ? 0 ,???????2 分 x x
故 f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增; 故 f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递减;

当 a ? 0 时, f

? x? ? 0
'

当 a ? ?1 时, f

? x? ? 0

6

当 ?1 ? a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 得 x ?

?

a ?1 , 2a

则当 x ? ? 0, ?

? ? ?

? ? a ?1 ? a ?1 , ?? 时, f ' ? x ? ? 0 当 x ? ? ? 时 f ' ? x? ? 0 ? ? ? ? ? 2a ? 2a ? ? ? ? a ?1 ? a ?1 , ?? 上单调递增,在 ? ? ? ? ? ? 单调递减??7 分 2a ? 2 a ? ? ?

故 f ? x ? 在 ? 0, ?

? ? ?

(2)不妨设 x1 ? x2 ,而 a ? ?1 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减 所以对任意的 x1, x2 ? ? 0, ??? , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 等价于 对任意的 x1, x2 ? ? 0, ??? , 令 g ? x? ?

f ? x2 ? ? 4x2 ? f ? x1 ? ? 4x1
a ?1 ? 2ax ? 4 x a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 x



f ? x ? ? 4x , g ' ? x ? ?

①式等价于 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减,即

?4 x ? 1 ? 2 x ? 1? a? 2 ? ?2 2x ? 1 2 x2 ? 1
2

所以 a ? ? ??, ?2

?

??????14 分

7


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