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2014届高考数学第一轮基础知识突破训练题5


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2014 届高三一轮“双基突破训练” (详细解析+方法点拨) (5)

一、选择题 1.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f?
?x+3? ?的所有 x 之和为( ?x+4?

) B.3 D.8

A.-3 C.-8 【答案】C

【解析】因为 f(x)是连续的偶函数,且 x>0 时是单调函数,由偶 函数的性质可知若 f(x)=f?
?x+3? ?, ?x+4?

只有两种情况:①x=

x+3 x+3 ;②x+ =0. x+4 x+4

由①知 x2+3x-3=0,故两根之和为 x1+x2=-3. 由②知 x2+5x+3=0,故两根之和为 x3+x4=-5. 因此满足条件的所有 x 之和为-8. 故选择 C. 本题考查函数的性质及推理论证能力,易错之处是只考虑 x= x+3 x+3 ,而忽视了 x+ =0,误选了 A. x+4 x+4 4 2.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域 |x|+2 是[0,1],那么满足条件的整数数对(a,b)共有( A.2 个 C.5 个 【答案】C 【解析】f(x)在[0,+∞)递减,在(-∞,0]上递增,且 f(0)=1, f(-2)=f(2)=0,故(a,b)可以是(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2), (0,2),共 5 个.故选择 C. 3.对于函数①f(x)=lg(|x-2|+1),②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x B.3 个 D.无数个 )

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+2).判断如下三个命题的真假: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数; 命题丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( A.①③ C.③ 【答案】D 【解析】 本题考查函数的增减性、 奇偶性、 考查真假命题的概念, 考查分析问题的能力. 方法 1:函数①、②使命题甲为真,函数③使命题甲为假,排除 A、C 选项;根据函数图像分析,函数①、②使命题乙为真;函数② 使命题丙也为真,但函数①使命题丙为假,因此选 D. 方法 2:由命题甲 f(x+2)是偶函数,可知①、②满足条件,排除 ③; 作出①②函数的图像,可知②满足命题乙的条件,①不满足乙的 条件,排除①.因此选 D. 4.函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,又 a∈R,则( A.f(a)>f(2a) C.f(a2+a)<f(a) 【答案】D 【解析】法 1:取 a=0,由 f(x)在 R 上是减函数,去 A、B、C, ∴选 D. 法 2:∵f(x)是 R 上的减函数,而 a>0 时,a<2a.a<0 时,a>2a, ∴f(a)与 f(2a)大小不定,同样 a2 与 a,a2+a 与 a 的大小关系不确定, 1 从而 f(a2)与 f(a), 2+a)与 f(a)的大小关系不定, a2+1-a=(a-2)2 f(a 但 3 +4>0,∴a2+1>a,从而 f(a2+1)<f(a).故选 D. 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对
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)

B.①② D.②

)

B.f(a2)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)

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任意的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范 围是( ) B.[2,+∞) D.[- 2,-1]∪[ 2, 3]

A.[ 2,+∞) C.(0,2] 【答案】A

【解析】当 t=1 时,x∈[1,3],若 x=3,则 f(x+t)=f(4)=15,2f(x)=2f(3)=18, 故 f(x+t)≥2f(x)不恒成立,故答案 C、D 错误;
?3 7? 3 当 t=2时,x∈?2,2?, ? ?

3? ? 令 g(x)=f(x+t)-2f(x)=?x+2?2-2x2
? ?

9 =-x2+3x+4,
?3 7? ?7? 1 g(x)在?2,2?上是减函数,g(x)≥g?2?=2, ? ? ? ? ?3 7? g(x)≥0 在?2,2?上恒成立, ? ? ?3 7? 即 f(x+t)≥2f(x)在?2,2?上恒成立. ? ?

3 故 t=2符合题意,答案 B 错误.故选择 A. 二、填空题 6.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a= 【答案】-1 【解析】∵f(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a, 由函数为偶函数得 a+1=0,解得 a=-1. .

【答案】1+2 2
?x2-2x≥0, ?x≤0或x≥2, ? ? ? 2 【解析】由 得? ? ? ?x -5x+4≥0 ?x≤1或x≥4,

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∴函数的定义域为 x≤0 或 x≥4, 而原函数在(-∞,0]上为减函数,在[4,+∞)上是增函数,当 x =0 时 f(x)=4,而当 x=4 时,f(x)=1+2 2,故 f(x)的最小值为 1+ 2 2. 8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的 值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)= 【答案】-2x2+4 【解析】∵f(-x)=f(x)且 f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2 =bx2+(2a+ab)x+2a2, ∴-(2a+ab)=2a+ab,即 2a+ab=0, ∴a=0 或 b=-2. 当 a=0 时,f(x)=bx2,∵f(x)值域为(-∞,4], 而 y=bx2 值域不可能为(-∞,4],∴a≠0. 当 b=-2 时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2]. ∴2a2=4,∴a2=2,∴f(x)=-2x2+4. 三、解答题 9.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,求不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集. x 【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x), ∴
? ?f?x?>0, ?f?x?<0, f?x?-f?-x? 2f?x? = x <0,即? 或? x ?x>0, ?x<0. ?

.

因为 f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数, 故 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 由 f(1)=0 知 f(-1)=0,
?f?x?<0, ?f?x?<f?1?, ? ? ∴? 可化为? ∴0<x<1, ? ? ?x>0, ?x>0,

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?f?x?>0, ?f?x?>f?-1?, ? ? ? 可化为? ∴-1<x<0. ? ? ?x<0, ?x<0,

∴原不等式的解集为{x|-1<x<0 或 0<x<1}. 10.设函数 f(x)=x2-2x-1 在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t), 求 g(t)的解析式. 【解析】f(x)=(x-1)2-1. 当 t+1≤1,即 t≤0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数, ∴最小值 g(t)=f(t+1)=t2-2; 当 t≥1 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴最小值 g(t)=f(t)=(t-1)2-2; 当 t<1<t+1,即 0<t<1 时, 最小值 g(t)=f(1)=-2, t≤0 ?t -2 ? ∴g(t)=?-2 0<t<1 ??t-1?2-2 t≥1 ?
2

.

11.函数 f(x)=-x2+2tx+t 在[-1,1]上的最大值为 g(t),求函数 g(t)的解析式;画出其图像,据图像写出函数 g(t)的值域. 【解析】f(x)=-x2+2tx+t=-(x-t)2+t2+t,(-1≤x≤1) 当-1≤t≤1 时,函数 f(x)的最大值为 f(t)=t2+t. 当 t<-1 时,函数 f(x)在[-1,1]上是减函数, ∴最大值为 f(-1)=-1-t. 当 t>1 时,函数 f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴最大值为 f(1)=-1+3t.

?t +t ? 综上可得 g(t)=?-1-t ? ?-1+3t
2

?-1≤t≤1? ?t<-1? ?t>1?

图像如下:

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? 1 ? ∴g(t)的值域为:?-4,+∞?. ? ?

12.设二次函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0 的两根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1. (1)求实数 a 的取值范围; 1 (2)试比较 f(0)f(1)-f(0)与16的大小,并说明理由. 【解析】方法 1:(1)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意 可得

?Δ>0, ?0<1-a<1, ? 2 ?g?1?>0, ?g?0?>0,
?0<a<3-2 2.

?a>0, ? ??-1<a<1, ?a<3-2 2或a>3+2 ?

2,

故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0) g(1)=2a2, 令 h(a)=2a2. ∵当 a>0 时,h(a)单调增加, ∴当 0<a<3-2 2时, 0<h(a)<h(3-2 2)=2(3-2 2)2 =2(17-12 2) 1 1 =2· <16, 17+12 2 1 即 f(0)f(1)-f(0)<16.
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方法 2:(1)同方法 1. (2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2, 由(1)知 0<a<3-2 2, ∴4 2a-1<12 2-17<0. 又 4 2a+1>0,于是 1 1 2a2-16=16(32a2-1) 1 =16(4 2a-1)(4 2a+1)<0, 1 即 2a2-16<0, 1 故 f(0)f(1)-f(0)<16. 方法 3: (1)方程 f(x)-x=0?x2+(a-1)x+a=0. 由韦达定理得 x1+x2=1-a,x1x2=a,于是

?Δ>0,>0, ?x +x 0<x <x <1??x x >0, ??1-x ?+?1-x ?>0, ??1-x ??1-x ?>0,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

?a>0, ? ??a<1, ?a<3-2 ?

2或a>3+2 2,

?0<a<3-2 2. 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2),则由 0<x1<x2<1 得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2) =[x1(1-x1)][x2(1-x2)]
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<?

?x1+1-x1?2?x2+1-x2?2 1 ?? ?= , 16 2 2 ? ?? ?

1 故 f(0)f(1)-f(0)<16.

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