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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课时作业13 理 新人教A版


课时作业 13

变化率与导数、导数的计算

一、选择题 1.函数 y=x cosx 在 x=1 处的导数是( A.0 C.cos1-sin1
2 2 2 2

) B.2cos1-sin1 D.1
2

解析:∵y′=(x cosx)′=(x )′cosx+x (cosx)′=2

xcosx-x sinx,∴y′|x=1= 2cos1-sin1. 答案:B 2.(2014·大纲卷)曲线 y=xe A.2e C.2 解析:y′=e 答案:C 3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( A.0 C.2 解析:因为 y′=a- D. 答案:D 4.设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a-3)x 的导函数为 f′(x),且 f′(x)是偶函数, 则曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( A.9x-y-16=0 C.6x-y-12=0
2 3 2

x-1

在点(1,1)处切线的斜率等于( B.e D.1

)

x-1

+x·e

x-1

,∴y′|x=1=e +1×e =2.

0

0

) B.1 D.3 1

x+1

,所以在点(0,0)处切线的斜率为 a-1=2,解得 a=3,故选

) B.9x+y-16=0 D.6x+y-12=0
2

解析:f′(x)=3x +2ax+a-3,由于 f′(x)是偶函数,所以 a=0,此时 f′(x)=3x

-3, f′(2)=9, f(2)=2, 所以曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 y-2=9(x-2), 即 9x-y-16=0. 答案:A 5.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)?(x-a8),则 f′(0) =( )
1

A.2 C.2

12

B.2 D.2

9

8

6

解析:f′(x)=(x-a1)(x-a2)?(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)?(x-a8)]′,故 f′(0) =a1a2?a8=(a1a8) =2 . 答案:A 1 ax 2 2 6.函数 f(x)=- e (a>0,b>0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x +y =1 相切,则 a+b
4 12

b

的最大值是( A.4 C. 2

) B.2 2 D.2

a ax a 1 解析:f′(x)=- e ,所以 x=0 处的切线斜率 k=f′(0)=- ,又 f(0)=- ,所以 b b b
1 a 2 2 切线方程为 y+ =- (x-0)即 ax+by+1=0, 由题意该直线与圆 x +y =1 相切, 故 1

b

b

a +b2

2

?a+b? =1 即 a +b =1,由 a +b ≥ 得 a+b≤ 2,故最大值为 2. 2
2 2 2 2

2

答案:C 二、填空题 7.函数 y=f(x)的图象在点 P(3,f(3))处的切线方程为 y=x+2,f′(x)为 f(x)的导函 数,则 f(3)+f′(3)=________. 解析:(3,f(3))在切线 y=x+2 上,∴f(3)=5,又 f′(3)=1,∴f(3)+f′(3)=6. 答案:6 8. (2014·江西卷)若曲线 y=e 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐 标是________. 解析:设 P(x0,y0),∵y=e ,
-x -x

答案:(-ln2,2) 1 3 2 9. 若以曲线 y= x +bx +4x+c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数, 3 则实数 b 的取值范围是________. 解析:y′=x +2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ =4b -16≤0,∴-2≤b≤2.
2 2

2

答案:[-2,2] 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x +(1-a)x -a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解:f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得?
? ?f?0?=b=0, ?f′?0?=-a?a+2?=-3, ?
2 3 2

解得 b=0,a=-3 或 1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f′(x)=3x +2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ =4(1-a) +12a(a+2)>0,即 4a +4a+1>0, 1 ∴a≠- . 2 1? ? 1 ? ? ∴a 的取值范围是?-∞,- ?∪?- ,+∞?. 2? ? 2 ? ? 11.已知函数 f(x)= x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且 在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程. 1 a 解:f′(x)= ,g′(x)= (x>0),由已知得: x 2 x
2 2 2

? x=alnx ? ? 1 a = ? ?2 x x

1 2 ,解得 a= e,x=e . 2
2

∴两条曲线交点的坐标为(e ,e), 切线的斜率为 k=f′(e )=
2

1 , 2e

1 2 2 所以切线的方程为 y-e= (x-e ),即 x-2ey+e =0. 2e

1.已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e C. 1 e B.-e 1 D.- e

)

3

1 解析:y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则有 k=f′(x0)= ,∴切线

x0

1 1 1 方程为 y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0),则 x0=e,y0=1,∴k=f′(x0)= = ,故选 x0 x0 e C. 答案:C 1 3 2 2 2.下列四个图象中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -4)x+1(a∈R,a≠0)的导函 3 数 y=f′(x)的图象,则 f(1)=( )

A.

10 3

B.

4 3

2 C.- 3

D.1

1 3 2 2 2 2 解析:∵f(x)= x +ax +(a -4)x+1(a∈R,a≠0),则 f′(x)=x +2ax+(a -4), 3 由 a≠0,结合导函数 y=f′(x)的图象知导函数图象为③,从而可知 a -4=0,解得 a=-2 1 3 2 2 或 a=2,再结合-a>0 知 a=-2,代入可得函数 f(x)= x +(-2)x +1,∴f(1)=- ,故 3 3 选 C. 答案:C 3.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号) ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x
3 2

②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sinx ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tanx ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=lnx

2

解析:对于①,y′=3x ,y′|x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x 在点 P(0,0)处的 切线,画图可知曲线 C:y=x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,①正确;
4
3

2

3

②中,y′=2(x+1),x=-1,y′=0,x=-1 不是切线; ③中, y′=cosx, x=0, y′=1, 切线方程为 y=x, 又 x<0 时, x<sinx; x>0 时, x>sinx, 符合; ④中,y′=?

?sinx?′=cos x+sin x= 1 ,x=0,y′=1,切线为 y=x.当 x>0 时, ? 2 2 cos x cos x ?cosx?

2

2

x>tanx;当 x<0 时,x<tanx,符合;
1 ⑤中,y′= ,x=1,y′=1,切线方程为 y=x-1.当 x<1 时,x-1>lnx;当 x>1 时,

x

x-1>lnx,不满足(ⅱ).
综述,①③④正确. 答案:①③④ 4. 已知函数 f(x)=ax +3x -6ax-11, g(x)=3x +6x+12 和直线 m: y=kx+9, 又 f′(- 1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是 y=g(x)的切线;如果存 在,求出 k 的值;如果不存在,说明理由. 解:(1)因为 f′(x)=3ax +6x-6a,所以 f′(-1)=0,即 3a-6-6a=0,所以 a=- 2. (2)因为直线 m 恒过点(0,9). 设切点为(x0,3x0+6x0+12),因为 g′(x0)=6x0+6. 所以切线方程为 y-(3x0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入得 x0=±1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9,当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由 f′(x)=0 得-6x +6x+12=0,即有 x=-1,x=2. 经检验,当 x=2 时,y=f(x)的切线方程为 y=9,∴y=9 是公切线, 又由 f′(x)=12 得-6x +6x+12=12,∴x=0 或 x=1, 经检验,x=0 或 x=1 不是公切线, ∴k=0 时 y=9 是两曲线的公切线.
2 2 2 2 2 3 2 2

5


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